利用导数证明不等式.pdf

命题与解题 利用导数证明不等式 单 南京师范大学数学与计算机科学学院 210097 收稿日期 2005 05 23 导数是研究函数的重要工具 在证明不 等式时也极为有用 本文拟对此作一些介绍 1 预备知识 一般地 设函数y f x 在某个区间I 内可导 如果f x 0 x I 则f x 严格递 增 x I 如果f x 或 也可以改为 或 只要等号成立的点不形成一个 区间 2 无条件的不等式 对于无条件的不等式 通常运用上面的 预备知识即可解决 例1 求sin x 2 2 sinx x 0 的最 小值 解 由于函数f t t 2 2 t t 0 1 的导数 f t 1 2 2 t 2 t 2 4 2t 2 0 求导得 f t p at b ct d t 2 act bc ad p bd act 2 其中p at b 2 ct d 2表示正的 量 当t 2 0 所以 f t 严格 递增 当t 2 bd ac 时 f t 1 6 z 固定y 则 21中 等 数 学 z 1 2 y x 考虑x的函数f x x 4x 1 有 f x 严格递减 f x 0 1 4x x 4 x 1 2 1 4z z 4 z 1 2 当x 1 4 时 式 显然成立 左边负 右 边正 当xy 对 x x 4x 1 y 4y 1 1 6 4 1 6 1 其中y 1 3 x 同样处理 得出x y z 1 6 时 x 4x 1取得最大值 3 5 3 2 上面的解法同时得出 当y z 0 x 1 2 时 x 4x 1取得最小值 1 3 1 2 例6 已知x y z R 且x y z 1 求 x 4x 1 y 4y 1 z 4z 1 的最大值 解 此题与例5不同的地方是 条件x y z 1 2 换为x y z 1 不妨设x 1 3 z 固定y 有 f x x 4x 1严格递减 f x 0 1 4x x 4 x 1 2 0 x 1 4 1 2 8x 4 x 1 4x 1 4x 1 16x 4 x 1 0 x 1 4 1 2 1 24x 48x2 0 x 1 4 1 2 1 6t 3t2 0 t 1 2 不难看出 最后的不等式成立 所以 式 成立 因此 f x 递减 可将x调小z调大 x z保持不变 而f x 增加 直至x或z 中有一个成为 1 3 不妨设z 1 3 x y 对 g x x 4x 1 y 4y 1 1 3 4 1 3 1 同样处理 得出x y z 1 3 时 x 4x 1 取得最大值3 3 7 例6与例5的函数相同 只是条件x y z 1 2 换成了x y z 1 其调整就比 例5复杂一些 顺便指出 很多人喜欢用琴生 Jensen 不 等式来处理此类问题 但使用琴生不等式是 312006年第2期 有条件的 即函数应为凸 凹 函数 要证明函 数是凸 凹 的 需要求二阶导数 并证明二阶 导数恒负 正 除少数已知的凸 凹 函数 如 y lgx y ax 2 bx c y sinx x 0 等 例7 已知x y z R 且xyz 1 求 证 1 1 x 1 1 y 1 1 z 3 2 2 证明 不妨设x y z 当y 2时 固定x 则z 1 xy 函数 f y 1 1 x 1 1 y 1 1 z 递减 f y 0 1 1 y 3 2 1 1 z 3 2 1 xy 2 0 y 2 1 y 3 z 2 1 z 3 y 2 1 y 3递增 y 2 1 y 3 0 2y 1 y 3 y 2 y 2 y 0 最后一个不等式显然成立 因此 f y 递减 此时 可增大z减小y 直至y z 当y 2时 固定z 则x 1 yz y 1 1 x 1 1 y 1 1 z 递减 y 0 前面的z换成x y 2 1 y 3 x 2 1 x 3 y 2 1 y 3递减 y 2 1 y 3 0 y 2 y 0 最后一个不等式显然成立 因此 y 递减 此时 可减小y增大x 直至y 2 再用 前面的方法调整使y z 于是 式 化为 1 1 x 2 1 y 3 2 2 xy2 1 y x h y 1 1 x 2 1 y 递增 h y 0 1 1 x 3 2 1 y 3 1 1 y 3 2 0 y 2 1 y 1 x 1 y 1 x x xy 1 因为y x xy 2 1 则y 1 xy 1 所 以 h y 递增 可使y增大x减小 直至x y 1 在这个过程中 h y 一直增加 直至取 得最大值3 2 2 例8 已知x y z R 0 且x y z 1 求证 20 15 9x 2 9x 2 9 7 证明 当x y z 1 3 时 等号成立 9x 2 在x y z 1 3 时 取得最 大值 但 20 15 9x 2却不是在x y z 1 3 时 取得最大值 先说明如下 不妨设x y z 固定y 则 z 1 y x f x 20 15 9x 2递增 f x 0 x 15 9x 2 2 z 15 9z 2 2 0 由于x z 15 9x 2 15 9z2 所以 最 后一个不等式成立 从而 f x 递增 因此 可使x增大z减小 直至z变为0 在这个过 程中 20 15 9x 2一直增加 同样 可使x增 大y减小 直至y也变为0 x变为1 所以 20 15 9x 2 20 15 9 20 15 20 15 6 的最大值6在x 1 y z 0时取得 因为 20 15 9x 2 6 所以 在9 x 2 33 7 6 9 7 时 所证不等式成立 设9 x 2 33 7 5 不妨设x 1 3 z 固定y 则 41中 等 数 学 z 1 y x F x 20 15 9x 2 9x 2 递减 F x 0 20 x 15 9x 2 2 x 20z 15 9z 2 2 z 0 20 x 15 9x 2 2 x 0 20 15 27x2 15 9x2 3 15 5 10 所以 15 9x 2 3 20 15 27x 2 100 15 9x 2 20 15 27 x 2 20 60 72x 2 20 60 8 5 0 于是 F x 递减 可调小x增大z 直至 x或z成为 1 3 在此过程中 F x 一直增加 不妨设z 1 3 又设x 1 3 y 继续采 用上面的做法 便知所证不等式成立 其中等 号仅在x y z 1 3 时成立 本例也不适合用琴生不等式证明 因为 函数g x 20 15 9x 2 9x 2 并非凸函数 它 的二阶导数与上面的20 15 27x 2 15 9x 2 3 只差一个正因子 而20 15 27x 2 15 9x 2 3 并不恒负 例如 x 1或接近1 时 即取正值 例9 给定正整数n 求最小的正数 使对任何 i 0 2 i 1 2 n 只要 tan 1 tan 2 tan n 2 n 2 就有 cos 1 cos 2 cos n 解 当n 1时 cos 1 1 tan 2 1 1 2 3 3 3 3 设n 2 令xi tan 2 i 1 i n 则题 设条件变为 x1x2 xn 2 n 要求最小的 使 1 1 xi 不妨设x1 x2 xn中x1最大 则由式 有x1 2 若x2 2 则与例7中y 2的情况完全 一样 x即x1 y即x2 可以得出 1 1 xi x2 递减 从而 可调小x2直至x2 2 这时 x2 一直增加 同样 可设x3 2 x4 2 xn 2 再由例7中y 2的情况 可逐 步 调 整 使 得x2 x3 xn都 调 成 2 n x1 1 n 1 于是 只须求最小的 使 g y 1 1 x n 1 1 y 其中x 2 y xy n 1 2 n g y n 1 2 1 y 3 2 1 2 1 x 3 2 n 1 2 n y n n 1 2y x 1 x 3 y 1 y 3 g y 递增 g y 0 x 2 1 x 3 y 2 1 y 3 x2 1 y 3 y 2 1 x 3 0 当n 2时 xy 2 2 y 2 x 2 1 y 3 y 2 1 x 3 4 2 1 y 3 y y 4 3 2 y 2 y 3 0 所以 g y 递增 因此 最大值为g 2 2 3 即 2 3 当n 3时 xy n