2012年GCT入学资格考试数学精解.pdf

20201 12 2 年年 GCTGCT 入学资格考试数学基础能力试题入学资格考试数学基础能力试题 参考答案与解析参考答案与解析 1 答案 A 解析 本题主要考查了平面图形对称轴的概念 考查的是几何 图形的对称性 如图所示 正方形共有4条对称轴 故正确答案为A 2 答案 D 解析 本题主要考查了简单的方程应用 设甲村共有资金x万元 乙村共有资金y万元 依题意得 9220 xxy 解得72y 共需资金887288160y 万元 故正确答案为D 3 答案 B 解析 本题主要考查了特殊三角形的性质与三角形的面积公式 如 图 在AKE 中 因 为45KAEKEA 所 以 90AKE 由图知14AE 所以斜边AE上的高为7 故AKE 的面积 为 1 14749 2 平方厘米 故正确答案为B 4 答案 D 解析 本题主要考查了绝对值的概念与三角形边长之间的关系 因为三角形的两边之和大于第三边 所以 3abcbcacabbcacabcabcab 故正确答案为D 5 答案 C 解析 本题主要考查了等比数列的概念与等比中项公式 解法1 根据题意 3 11121312 a a aa 3 21222322 a a aa 3 31323332 a a aa 且 2 123222 a aa 所以 3339 11121321222331323312223222 a a aa a aa a aaaaa 由 9 22 1 512 a 得 22 1 2 a 故正确答案为C 解法2 特殊值代入法 取 1 2 3 ij ac i j 则 9 1 512 c 所以 22 1 2 ac 故正确答案为C 8cm 6cm K F EA B CD G P 6 答案 D 解析 本题主要考查了阶乘的概念与拆项法 因为 1231 2 3 4 213 1411 2 3 4 1111111 1 2 2 3 3 4 1 1 11 n M n n n nn n 故正确答案为D 7 答案 B 解析 本题主要考查了对称点的坐标 考查了平面直线斜率的概念 如题中图所示 设点C的横坐标为x 由于点A的坐标为 2 2 所以点B的坐标为 31 2 k x 点D的坐标为 2 x 由于BD过原点 所以直线BO与DO的斜率相等 即 312 2 k xx 即314k 故1k 故正确答案为B 8 答案 C 解析 本题主要考查了函数的简单性质 考查了特殊角的三角函数值 1 sin 2012 2 sin 2 2 sin 366 62 3 3 3 cos 3 2 cos 3 cos 3323 2 ffff ggg 故正确答案为C 9 答案 B 解析 本题主要考查了虚数单位的概念 复数的简单运算与复数模的计算 因为 23 234 ii2i34i3i3 iii z 所以 22 3 3 3 2z 故正确答案为B 10 答案 A 解析 本题主要考查了等可能事件的概率公式 考查了质数的概念与组合数的计算 从10张卡片中任取3张 共有 3 10 C种不同的取法 因为前10个正整数中共有4个质数2 3 5 7 所以任取的3张卡片中恰有1张卡片写的是质数的不同取法共有 12 46 C C种 故所求 概率为 12 46 3 10 65 4 1 2 109 8 2 32 C C P C 故正确答案为A 11 答案 D 解析 主要考查了不等式的简单性质 设4个候选人的得票数也分别用甲 乙 丙 丁表示 由题意 得 丁 乙 甲 乙 丙 丁 甲 丙 乙 丁 由 得 甲 丁 由 得 丁 丙 由 可知 甲 丁 乙 丙 故正确答案为D 12 答案 A 解析 本题主要考查了三角形中边与角的关系 余弦定理 解法1 因为 222 cos 2 bca A bc 222 cos 2 acb B ac 222 cos 2 abc C ab 所以 222 222222 coscoscos1 22 abcABCabcabc abcabcabcabc 故正确答案为A 解法2 特殊值代入法 取1abc 则60AB 所以 222 coscoscos111 3 322 abcABC abcabc 故正确答案为A 13 答案 C 解析 本题主要考查了空间几何体的位置关系 相切 考查了 平面图形的面积 如图所示 由于球的半径为1分米 立方体的棱长为4分米 所以 球在滚动时只可能与立方体每个面中间的部分接触 中间部分是边长 为2分米的正方形 每个面接触不到球的那部分的面积为16412 所以总的接触 不到球的那部分面积为6 1272 故正确答案为C 14 答案 D 解析 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系 考查了抛物线的顶点坐标和直角三 角形中锐角三角函数值的概念 2dm 1dm 由于上下开口的抛物线关于过顶点且平行于y轴的直线对称 从而可以得到ABC 为顶角 等于60 的等腰三角形 即等边三角形 利用过顶点的高可以在具有特殊角的直角三角形内处 理问题 抛物线 2 yaxbxc 的顶点C的纵坐标为 2 4 4 acb a 又 2 2 2 44 4 ABABAB bcbac ABxxxxx x aaa 所以 2 2 1 23 2 tan30 34 4 4 AB bac bac a 解得 2 412bac 故正确答案为D 15 答案 C 解析 本题主要考查了椭圆的半轴与半焦距的关系 考查了相似三角形对应边成比例的 性质 如图所示 在直角 11 FOB 与直角 12 BOA 中 因为 1121 B FOA BO 所以 11 FOB 与 12 BOA 相似 从而 cb ba 即 22 acac 整理得 2 10 cc aa 解得 51 2 c a 故正确答案为C 16 答案 B 解析 本题主要考查了函数的表示方法 由 1 1 1 lnln 2 1 1 xx f x xx 得 1 l n 1 x f x x 因此 1 ln 1 g x f g x g x 又由 lnf g xx 有 1 lnln 1 g x x g x 故 1 1 g x x g x 解得 1 1 x g x x 故正确答案为B 17 答案 A 解析 本题主要考查了平面几何中圆周长与计算极限问题 设第k的小圆的直径为 k d 则 kk ld 11 nn kk kn ldD 1 limlim n k nn k lDD 故正确答案为A 18 答案 A 解析 本题主要考查连续 导数的定义 极限的运算法则及可导与连续之间的关系 由 f x是连续非负的函数 由 2 lim 2 0 x f xf 2 2 22 222 2 2 2 8limlim 224 2 2 2 2 2 limlimlim 2242 xx xxx fxf xf x xxx f xf xff x xxx 即 2 24 8 lim 2 2 2 x f x x f 由此可知 2 lim 2 0 x f x 从而 2 2f 于是 22 2 24 8 2 limlim4 22 22 xx f xff x f xx 故正确答案为A 19 答案 A 解析 本题主要考查由参数方程确定的函数的导数及变限函数的导数 由于是求 3 d d t y x 不妨设0t 2 2 2 2 cos 2 dcos cot dsin sin 2 t t t t yyt t t xxt t t t 3 3 d3 cot d3 x x y t x 故正确答案为A 20 答案 B 解析 本题主要考查了取得极值的必要条件 1 eee e xxx y 由取得极值的必要条件和题设 存在 0 0 x 使得 0 1 e0 x 即 0 1 e x 所以0 又 0 0 x 0 1 ee x 故正确答案为B 21 答案 B 解析 本题主要考查了对称区间上奇函数的定积分为零的性质及定积分的分部积分法 sind dsin sin sind dcos cos cosd cosd cosd cosdcosd f xxxf xxf xxfxxx fxxfxxfxxx fffxxxfff xxxx fff xxxxxx cosd0 cosdfff xxxfff xxx 移项得 cosd 2 ff f xxx 故正确答案为B 22 答案 C 解析 本题主要考查行列式的计算和二次函数的二阶导数的特性 22 00000 230250 40364436 012012 50420 436436 1212 42 4 43 xxx xx f x xx x xx xx xx 第一列加到第二列上 第三行乘以 1加到第一行上 按第三行展开 由于 f x是二次函数 fx 等于二次项系数乘2 因此 8fx 从而 0 8 f 故正确答案为C 23 答案 B 解析 本题主要考查了向量可由向量组线性表出的定义和非齐次线性方程组有解的充要条 件 由题设得非齐次线性方程组 1 12233 xxx 无解 再由非齐次线性方程组无解的 充要条件知方程组 1 12233 xxx 的系数矩阵A的秩小于增广矩阵A的秩 由于 122 112112 0101 11120214 aa aaaa a 第一行乘以加到第三行上 A 当1a 时 秩 2r A 秩 3r A 方程组无解 故正确答案为B 24 答案 C 解析 本题主要考查了矩阵的运算 用矩阵A左乘等式 1 22 A BBE得2 2 BABE 于是 1 1 010110 2 2 110100 003002 ABBE 110100100010 2 100010010110 0020010011 00 2 初等行变换 BE E 因此 1 110010 100110 002