计算旋转体体积的一般积分公式.pdf

V 0 1 S N o 4 高等数学研究 D e c 2 0 0 2 S T U D I E SI NC O L L E G EM A T H E M A T I C S 1 1 计算旋转体体积的一般积分公式 姬小龙 济源职业技术学院数学教研室河南济源4 5 4 6 5 0 0 引言 本文首先讨论了平面曲线在直线上的投影长函数 平面曲线 图形 绕一共面直线旋转所得旋 转体的体积函数 给出了它们的积分表示式 进而得出计算旋转体体积的一般积分公式 关于旋转体体积的计算问题 一般标准分析教材 1 中只讨论了平面图形绕坐标轴旋转所得旋 转体的体积的积分公式 为了应用上的便利本文将其推广 给出平面图形绕任一共面直线旋转所得 旋转体体积计算的一般积分公式 一般认为平面曲线是 开 直线段到平面内的一一的 双方连续的 在上映射的象 3 在直线段 n 6 上引入坐标t 在平面上引入笛卡尔直角坐标 z y 则平面曲线的参数表示 方程 是 f f r f 6 或r r f d t 6 I Y Y 设曲线 c 上一z 口 f J 为平面简单光滑血线段 z A z B c 一0 为曲线 c 所 Y Y t J 在平面上的直线 且假定直线1 的任意一条垂线与曲线 c 至多有一个交点 下同 如图所示 对直线段n f b 的任一点f 都 有曲线 c 上的点尸与之对应 过P 作 直线f 的垂线 P 为垂足 这样P 又与 相对应 反之 对直线z 上的线段 M 上的任一点尸7 过P 作直线f 的 垂线交曲线 C 于P P 与P 相对应 而曲线段 C 是直线段n t b 到平 面的一一的双方连续的在上映射的 y J 一 t 口 一 6D 蕊 象 故在直线段d t 6 上有唯一确定的f 与之对应 这样便在直线段4 6 曲线 C 与直线 f 上的线段M I N 三者之间建立了一一对应的关系 记为 f P P o 一肘一M 7 6 一 其中 肘 P7 Q7 分别是曲线 c 上点M N P Q 在直线上的垂足 投影 对于直线段n b 上的任意 存在唯一确定的实数 弧M P 的弧长 与之对应 这样定义的 函数称之为曲线 c 的弧长函数 记作 S S D 口 t b 对于直线段n t b 上的任意 存在唯一确定的实数 线段M 7P 的长 与之对应 这样定义 的函数称之为曲线段 c 在直线z 上的投影长函数 记作 A f n f 6 对于直线段n b 上的任意t 有唯一确定的实数 平面图形 P7 P M 绕直线f 旋转所成旋 转体的体积 与之对应 这样定义的函数称之为益线绕直线旋转确定的旋转体的体积函数 记作 y V f m t b 收稿日期 2 0 0 2n 12 9 万方数据 1 2 高等数学研究2 0 0 2 年1 2 月 1 主要结论 下面给出弧长函数 投影长函数和旋转体的体积函数在参数表示意义下的表达式 最后得出旋 转体体积计算的一般积分公式 定理设曲线 c f 2 2 f Y 为平面光滑曲线 直线z A B y C 一0 与曲线 l Y Y L I J c 共面且它的任意垂线与曲线 c 至多有一个交点 则 r 弧长函数S S f 可表为 鼬 一f 扫葡下玎黜 f 一 3 f y 1 4 I Y Y z 2 投影长函数A 一 f 可表为 椭 一万寿面J l A y 一删 l 出 y 2 3 旋转体的体积函数可表成 V 石矿 j 百百而J A 卫 f B 3 心 十c 2I 以y 7 一B x f l 出 n r y 3 推论1 平面光滑曲线 c 2 y f 绕直线f A T B y 十c 一0 旋转一周所成 l J Y f 旋转体的体积的积分公式为 石F 1 百可两J A z B y t 十C 3 j J o 一B x J d t 4 推论2 平面光滑曲线弧 C Y 扛 口 t y 绕直线f A x B y 十C 一0 旋转所成旋 转体的体积的积分公式为 佴7 一石驴 二簖J z B y t c 2 I o 一B x o I d t 5 2 主要结论的证明 定理的证明 结论1 在教材 3 中都有 现证结论2 V f n 6 给血使t A t f i 6 曲 线 C 上相应于t 与f 出的点的坐标为P o y Q x r Y n 直接计算得P Q 在直线z 上的投影P Q 的坐标 P f 二墨墅 墨 兰 墨 墨墨 墨垒 墨 1 A2 Bz A z B 2 叭型业型掣箍掣业 型丝型掣箍p 业 丽一 I P 引一士号番掣 其中当 f i t 0 时取正号 当出 0 时取负号 必d t l i r a 丝土号 蔓塑 l i m 百V t Q t 她赤l 西b y A B 等I 一一 F 1 F 2 嬲了牙亍雨l 西一d 否I 一 志l a y 删 f 万方数据 第5 卷第4 期姬小龙 计算旋转体体积的一般积分公式1 3 而曲线 c 三 为光滑曲线 故窑在豳 6 上连续 积分可得 地 5 历南J I y 一B x l 出 8 6 结论3 的简证 V t 6 z 给出使t 6 则有 忡忙丝絮舻 扣 I I P P 个烈 石F 南 A z f B y t c 2 l A y 一B x o I d t 而曲线 c 是光滑曲线 窑在k 6 上连续 积分可得 3 式 在 3 式中令f 一6 便得推论1 推论 2 易见 4 应用举例 例1 求函数Y z 2 1 o z 1 绕直线 2 7 2 y 一0 旋转所成旋转体的体积 解由公式 5 可得 击肛叫蚪1 讹z 制d r 一訾 例2 求圆一 一2 y 一0 绕直线x Y 一2 0 旋转一周所成旋转体的体积 轮胎体 解将圆表成参数方程 三 O StY 1s i n t 三4 f 警 l 牟 4 剪成两个半圆 c c 山髓髯咖 c r 警 c c kx 一2 c o s t s i n t 警 r 警 分别计算这两个半圆绕直线所成旋转体体积 缈 一卉霹 c o s t s i n t 3 I C O S t S i O t 陋一警 半矿 耻赤詹 c o s t s i n t 3 z l c o s t s i n t 协一半一竽一 所求旋转体的体积 一W 3 虿扩 参考文献 1 同济大学数学教研室 高等数学 M 北京 高等教育出版社 1 9 8 8 3 4 5 3 5 0 2 华东师大数学系 数学分析 M 北京 高等教育出版社 1 9 8 0 3 0 3 3 0 7 3 梅向明黄欹之 微分几何 M 北京 高等教育出版社 1 9 8 1 6 0 7 8 万方数据 计算旋转体体积的一般积分公式计算旋转体体积的一般积分公式 作者 姬小龙 作者单位 济源职业技术学院数学教研室 河南济源 454650 刊名 高等数学研究 英文刊名 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 年 卷 期 2002 5 4 被引用次数 2次 参考文献 3条 参考文献 3条 1 同济大学数学教研室 高等数学 1988 2 华东师大数学系 数学分析 1980 3 梅向明 黄敬之 微分几何 1981 引证文献 2条 引证文献 2条 1 王汝亮 一般旋转曲面的求