数学期望值.doc

1 3 33 3 數學期望值數學期望值 重點整理重點整理 1 事件的數學期望值 簡稱期望值 設某事件成功之機率為 若p 該事件成功即可得到元 則元稱為此事件的數學期望值 mmp 2 試驗的數學期望值 簡稱期望值 設一試驗的樣本空間為 為樣本空間 的一個分割 且設事件發生的機率為 21n AAA k A 若事件發生 可得元 則稱為此 k pnk 3 2 1 k A k m n k kkm p 1 試驗數學期望值 簡稱期望值 3 期望值有平均價值的概念 重要例題 例 1 統一發票共八碼 每期開出一個特獎號碼 五個頭獎號碼 與特 獎號碼完全相同可得 2000000 元 與頭獎任一號碼相同 可得 200000 元 與頭獎末 7 碼相同可得 40000 元 貳獎 與頭獎末 6 碼 同可得 10000 元 參獎 與頭獎末 5 碼同可得 4000 元 肆獎 與 頭獎末 4 碼同可得 1000 元 與頭獎末三碼同可得 200 元 則一張 統一發票的平均價值為多少 期望值 2 例 2 投擲一粒公正的骰子一次 若出現點則可得元 求其期望值 kk 例 3 投擲二粒公正的骰子 1 若出現點數和為 則可得元 則其kk 期望值為 2 若出現點數差為 則可得 元 則其期rr 望值為 類 1 投擲十粒公正的骰子 若出現點數和為 則可得元 則其期kk 望值為 類 2 袋中有大小相同的紙牌 10 張 分別寫 3 張 100 元 2 張 50 元 5 張 10 元 任取一張 則獎金的期望值為多少 3 類 3 設袋中有 1 號球 1 個 2 號球 2 個 號球個 自袋中任取一nn 球 若取得號球可得元 則其期望值為 kk ANS 1 35 2 45 3 3 12 n 例 4 投擲四顆骰子有如下的獎金 則期望值為 出現 四骰同點恰三骰同點兩兩同點 獎金200 元100 元50 元 類 1 設袋中有 10 元 5 元硬幣各 3 枚 自袋中任取 2 枚 則期望值為 類 2 同時擲 10 個公正的硬幣 若有個硬幣出現正面 可得元 k k 2 則 1 恰得 32 元之機率為 2 期望值為 類 3 一人擲三個公正的硬幣一次 若出現個正面 則可得元 k13 k 若不出現正面則輸 15 元 求其期望值 3 2 1 k 4 ANS 1 15 2 1 2 3 63 256 10 2 3 4 7 例 5 一袋子中有 12 個球 其中有 4 個白球 1 從中一次取出 3 球 2 每次取一球 取後放回 連取三次 3 每次取一球 取後不放 回 連取三次 求白球個數的期望值 類 1 三人同解數學題 解出之機率分別為 今三人CBA 2 1 3 2 4 3 合解 48 題 則解對題數的期望值為 類 2 一箱子內有 9 個燈泡 其中有 4 個是壞的 從中取出 3 個 求壞 燈泡個數的期望值 類 3 一袋中有 3 紅 4 白球 每次從中取出一球 取後不放回 取到紅 球取完為止 求所取次數的期望值 5 類 4 從 1 2 3 4 5 中取出三相異數相加 求所得和的期望值 ANS 1 46 2 3 6 4 9 4 3 例 6 將 5 個球任意分配到三個不同的箱子中 求空箱的期望值 類 1 將 3 個球投入 3 個不同的袋子中 每次投一球 連續投 3 次 則 1 每個袋子都有球的機率為 2 3 個球都在同一個袋子的機率為 3 空袋子個數的期望值為 類 2 依據經驗 某人完成一件工作 可能是 1 天 2 天 3 天 4 天 在 1 天完成的機會是 0 2 2 天完成的機會是 0 4 3 天完成的機會是 0 3 4 天完成的機會是 0 1 求完成此工作天數的期望值 6 ANS 1 1 2 3 9 2 9 1 9 8 例 7 某次考試中 1 單一選擇題每題有五個選項 答對得五分 若 希望五個選項用猜的得分的數學期望值為 0 則答錯應倒扣幾分 2 複選題 每題五個選項 至少有一個選項是正確的 完全答對 給六分 若希望隨機猜題的得分期望值為 0 則答錯應到倒扣幾分 Ans 1 1 25 2 0 2 類 1 一遊戲機 投 10 元玩一次 若中獎則得 100 元 若希望讓玩家 每玩 10 次 商家則得 50 元 則商家在機器的設定上應讓玩家贏 的機率為 類 2 擲三個均勻的硬幣 若規定出現 3 正面可得 12 元 2 正面可得 8 元 一正面可得 4 元 為了公平起見 出現三反面應賠 Ans 1 2 48 22 3 例 8 甲乙二人桌球比賽 規定先勝 3 場者為贏 敗者應付給贏者 100 元 已知兩人獲勝機率均等 於甲勝 2 場 乙勝 1 場時 因故終止 比賽 則乙應付給甲 元才合理 7 類 1 1654 年在法國有甲乙兩人棋藝相等 約定比賽 先勝三場者可得 賭金 64 披索 金幣名 開始比賽甲先勝一次後 有要事停止比賽 對賭金難於分配 於是請教當時有名的數學家巴斯卡 這些賭金 應如何分配 類 2 設一年間一家失火的機率為 鄰家失火而被波及的機率為 1000 1 5 1 且各家同時失火的機率為 0 若投保期間一年 100 萬元的火險時 住在相鄰二家中之一家的人應至少繳多少錢才合理 類 3 某保險公司銷售一年期的人壽保險給一位 59 歲的先生 保額 100000 保費 520 元 根據統計 59 歲男人活到 60 歲的機率為 0 997 求保險公司的期望利潤 類 4 設擲某銅板出現正面的機率為 連續擲此銅板 4 次 p10 p 若第次出現正面則得 否則得 0 1 2 3 4 設總所得k k 2 1 k 的期望值為 總所得超過的機率為 則 A 為之一次多a 3 1 bap 項式 B C 為之二次多項式 D 1 16 15 abp 2 ppbp E ba 2 8 Ans 1 甲 44 乙 20 2 3 220 4 ADE 2497 3000000 例 9 某人擲兩粒骰子 若擲出之點數和為 7 點時 可得 100 元 並得 繼續投擲的權利 否則就停止 求此人所得的期望值 類 1 某人射箭 每回射中紅心的機率為 1 若欲使命中紅心的機率 1 3 達 至少需幾發 2 若規定射中一次紅心可得 1000 元 且90 可繼續發射直到沒有射中為止 求獲利的期望值 類 2 一袋中有 6 個黑球 3 白球 今自袋中取出一球 若取出的球為 白球 則停止取球 若取出黑球 則將球放回袋中 再從袋中取 出一球 如此進行 直到取得白球為止 求取球次數的期望值 9 Ans 1 1 6 2 500 2 3 預備題目 10 類 2 設擲某銅板出現正面的機率為 連續擲此銅板 4 次 p10 p 若第次出現正面則得 否則得 0 1 2 3 4 設總所得k k 2 1 k 的期望值為 總所得超過的機率為 則 A 為之一次多a 3 1 bap 項式 B C 為之二次多項式 D 1 16 15 abp 2 ppbp E ba 2 類 2 設擲某銅板出現正面的機率為 連續擲此銅板 4 次 p10 p 若第次出現正面則得 否則得 0 1 2 3 4 設總所得k k 2 1 k 的期望值為 總所得超過的機率為 則 A 為之一次多a 3 1 bap 項式 B C 為之二次多項式 D 1 16 15 abp 2 ppbp E ba 2 類 2 設一袋中裝有 1 個 1 號球 2 個 2 號球個號球 25 個 nn 25 號球 現自袋中任取一球 設每一個球被取到的機251 n 會都相等 而取得號球可得元 則取到 19 號球的機率n 100 n 為 而任取一球的期望值為 元 80 社 例 10 甲乙二人輪流投擲二粒公正骰子 約定先擲得點