基于辛数学方法的一维声子晶体禁带计算.pdf

振 动 与 冲 击 第 卷第 期 基于辛数学方法的一维声子晶体禁带计算 基金项目 国家自然科学基金 国家基 础 研 究 计 划 教 育 部 博 士 点 基 金 西北工业大学基础研究基金 西北工业大学研究生 创业种子基金 大连理工大学工业装备结构分析国家重 点实验室开放基金 资助项目 收稿日期 修改稿收到日期 第一作者 刘铁权 男 硕士 年生 通迅作者 邓子辰 男 教授 博士生导师 年生 刘铁权 邓子辰 周加喜 西北工业大学 力学与土木建筑学院 西安 大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室 大连 摘 要 将一维声子晶体的原胞简化为有限多个自由度的弹簧振子结构 在辛对偶变量体系下探讨晶格振动 引 入辛数学方法确定波矢与本证值的色散关系 通过本证值计数法计算特征频率 从而得到禁带区间 与传统集中质量法 相比 该算法的计算结果与之吻合很好 且提高了计算精度和计算效率 更重要的是在低频处收敛性更好 关键词 声子晶体 禁带 辛方法 色散关系 集中质量法 中图分类号 文献标识码 近年来 声子晶体作为周期性复合结构中经典波 传播的典型例子受到广泛关注 所谓声子晶体就 是其内部截止弹性常数和密度呈周期性变化的复合结 构介质 当弹性波在其中传播时 可产生类似于光波 在光子晶体中传播产生的禁带 即一定频率范围的弹 性波传播被抑制或禁止 声子晶体的这种特性在隔 声 减振等方面具有极大的理论价值和应用前景 一维声子晶体虽然结构简单 但是同样具有多维 声子晶体一样的特性 且易于获得较宽的带隙 一 维声子晶体弹性波带隙计算方法主要有平面波展开 法 传递矩阵法 集中质量法 和遗传算法 等 传递矩阵法只能计算有限结构的透射反射等特 性 无法进行周期结构中的禁带计算 平面波展开法 应用最为广泛 计算相对简单 但存在收敛慢的问题 集中质量法是基于振动力学连续系统离散化处理的思 想提出的一种算法 收敛性较好 但需要求解特征矩 阵 遗传算法只是为了对声子晶体的振子参数进行 优化 近年来辛数学理论的发展已为解决应用力学问题 提供新的思路 钟万勰 在研究一维周期原子链 振动时 在对偶体系下引入辛传递矩阵 从而求得晶格 振动的色散关系 并用于分析光子晶体禁带 声子晶 体是类比于光子晶体提出的周期结构 本文将一维声 子晶体原胞简化为有限多个自由度的弹簧振子结构 从而把一维声子晶体的禁带计算简化为求解周期弹簧 振子结构的弹性波能带 通过引入晶格振动理论 构造 了基于对偶体系和辛几何算法的声子晶体禁带计算方 法 在简单弹簧振子模型的基础上引入辛数学方法 为一维声子晶体禁带求解提供新的思路 一维声子晶体的力学模型 图 中两种不同弹性常数和密度的无限大平板材 料 和 在 方向上交替排列形成一维声子晶体 其 原胞是有无限多自由度的连续系统 采用有限元法 可 以将其离散为有限个集中质量 而集中质量间的连接 则简化为无质量的弹簧连接 由此 原胞就简化为有 限多个自由度的弹簧振子结构 如图 所示 简化的 弹簧振子结构的自由度数目越多 越接近于实际的原 胞 计算精度越高 图 一维二组元声子晶体结构 图 一维声子晶体的原胞可简化为 个自由度的弹簧振子 图 中每个离散单元只包含一种材料 长度为 每个振子位于简化单元的中心 振子两侧为等刚度的 弹簧 弹簧振子结构参数 为 式中的 为声子晶体截面面积 为划分单元的材料密 度 对于每半个离散单元 沿 方向的正应力及 方向 的剪切应力与对应方向的应变成正比 即有 式中 为此半个离散单元沿 方向及 方向的拉 压位移及剪切位移 和 为拉梅常数 沿某方向的 作用力与在此作用力下沿该方向的位移的比值定义为 刚度 因此对于每个离散单元 振子两侧弹簧的拉压 刚度及剪切刚度为 相邻振子间的弹簧连接可以看成是弹簧的串联 即当相邻两个离散单元为同种材料时 沿 方向的拉 压刚度及沿 方向的剪切刚度为 同理 当相邻两个离散单元为不同种材料时 沿 方向的拉压刚度及沿 方向的剪切刚度为 对于原胞中包含多种材料叠合的情况 仍可按上 述方法进行离散化处理 声子晶体禁带求解传统集中质量法 传统集中质量法来计算声子晶体禁带时 按上述 简化方式得到声子晶体的力学模型后 第 个质点的运 动方程为 根据 定理 在周期边界条件下 该质点运动 方程的解可写为振幅为 角频率为 的简谐振动 式中 表示第 和第 个振子的间距 为波矢 在 第一 区取值 即 将式 代入 式 化简后可得 由于弹簧振子结构周期排列 存在周期边界条件 将式 代入式 并用矩阵形式表示该线性方 程组 式中 若 有非零解 则其系数行 列式必须等于零 对式 的求解转化为求解 维 的一般复数矩阵 的特征值问题 由此可得到周期弹 簧振子结构的弹性波带结构 该方法的计算结果与平面波展开法一致 并且具 有较好的收敛性 但是需要利用系数行列式等于零 来求解 维的一般矩阵 及其特征值 在集中数较 大的情况下 计算量大 计算效率较低 一维单原子链晶格振动 无穷长原子链的振动本来是无穷多自由度的课 题 但是采用频域法 将时间坐标化为频域参数 从 而只剩下长度方向离散坐标的一维问题 图 一维单原子链 如图 在原子链上有质量为 的相同原子 原子 限定只能于 方向运动 紧相邻原子间有相同弹簧连 接 弹簧常数为 在最近邻作用近似下 忽略非线性作 用 弹性变形能 与动能 分别为 由变分原理 可以导出动力方程 再写成频域动力 方程形式为 频域法 动力势能 对 引入位移 的对偶变量 或表示 成对偶方程的形式 其中 引入状态向量 对偶方程就转换为迭代形式 传递矩阵 是辛矩阵 即 其中 取 代入式 作分离变 量求解 给出本征值方程 这就成了 辛矩阵的本征值问题 是本征值 而 是本征值向量 有 个本征值 故 它们可能取复值 本征向量 为 它们相互间可以辛归一化为 以 第 期 刘铁权等 基于辛数学方法的一维声子晶体禁带计算 本征向量 为列组成矩阵 它必定也是一个辛矩阵 对于双向无限延伸的原子链 有意义的解只可能 取 即 从波动的角度看其意义为向无穷远扩展的波 则 有本征解可导出 代入频域动力方程 可 以得到 上述色散方程 中 的物理意义可以从本征 解 来观察 下标 代表第 个周期格 子 一个格子的幅角为 而 为一个周期 所以波函 数以 个格子为一个周期 一个格子的长度为 故波长是 如果以波向量 来表达 则 故给定 也可以代以给定波向量 而 为格点坐标 在时域 表示下 与典型的波动表示相一致 根据上述分析 给定不同的 即确定简约波矢 可以求得本征值 从而确定两者间的色散关系 得到 振子能带图 可以看出 周期性的晶格振动具有波动 性 弹性波在周期结构的传播可以借鉴此理论 基于辛数学方法的一维声子晶体禁带计算 如前文所述 可以将一维声子晶体简化为一维多 原子链模型 基本周期顺次编号为 单个周期简化为 个弹簧振子 首先写出基本子结构的动力刚度阵 其中 为刚度矩阵 为质量矩阵 为 维 矩阵 对子结构的动力刚度阵按照内部位移与出口位 移进行分块表示为 其中下标 表示内部 表示出口 消去内部未知数后 得到子结构出口刚度矩阵 的求逆可以采用修正的三角化 分解法 内部原子的位移已经消元 但相应地应当用内部振动 的本征值计数 来补充 由变分原理 则可将频域动力方程写成 同原子链晶格振动一样 对子结构动力势能取出 口位移 的对偶变量 引入状态向量 对偶方程就转换为迭代形式 传递矩阵 是辛矩阵 对于无限 周期的声子晶体 有意义的解只可能是本征值取 即 可以得到色散 方程 给定不同的 这是一维的 超越本征值方程 按 照上式求解给出本征值 但不完全 还有内部振动本征 值 可以利用 算法 求得全部的 本征值 周期结构的本征值计数为 其中 从而得到 与 的色散关系 于是 将具有周期结构的声子晶体的声波传播问 题 转化为多原子链晶格振动 给定不同的 即确定简 约波矢 采用 算法求得全部的本征值 从而得 到波矢与特征频率的色散关系 同时得到声子晶体的 禁带结构 基于 计数法的频率值求解有很多的优点 方法简单 精确 结果可以达到计算机允许的任意精 度 不丢根 单根 重根均可处理 普通的 分解或 消元法即可 不必选主元 只须作分解或前消 去 无须回代过程 保留特征矩阵的带状稀疏性 由于 的计算只需要 对角线上负号元素的个数 而不要 数值 因此对数值误差不敏感 与传统集中质量法直接求特征矩阵相比 本文的 方法可以只需对 与 执行 算 法 降低了求解所需矩阵的维数 同时利用了该方法在 求解频率时的优点 明显缩短了计算量 提高了计算效 率 但本文方法是将声子晶体结构简化为线性系统的 基础上推导的 即没有考虑材料的阻尼 同时模型采用 的是无限周期结构 文 表明了无限周期弹簧振子结 构的振动带隙与有限周期结构相一致 所以本文方法 也可以判断有限周期声子晶体禁带 算例计算分析 分别采用传统集中质量法及本文算法计算铅 树 脂组成的一维声子晶体弹性波带隙结构 纵波模式 该声子晶体晶格尺寸为 材料组分比为 材 料组分比 原胞中铅板厚度 树脂厚度 材料特性如 表 所示 图 表示在 个离散数简化模型下两种算法的禁 带求解对比 表示采用集中质量法求得结 果 表示本文算法求得结果 计算精度下 表 显示了两种算法数值精度对比 以及两者所用的时间 振 动 与 冲 击 年第 卷 同一台 机上 其中 为带结构中第 一 第二带隙的起始频率及截止频率点 这些点决定了 带隙的位置及大小 数据表明 两种算法求得的结果 是一致的 传统的集中质量法的计算时间是辛算法的 十几倍 辛数学方法突出其计算效率方面的优越性 表 算例所用材料特性参数 材料密度 铅 树脂 图 两种算法的禁带结构计算对比 表 两种算法数据对比 计算 方法 所用 时间 传统集中 质量法 辛数学 方法 图 采用辛数学方法得到声子禁带图 禁带宽度的收敛性 图 为采用单个原胞 个离散数时得到的三 个大的禁带稳定值 在通过本 证值计数求解频率时 图 中最下面的一条频率曲 线 范围 是通过 计算求 得 反映了整体结构的特征频率 其它范围频率则通过 求得 反映了原胞内部振动频率 考虑 为了提高精度 图 显示了在增加单个原胞离散数 的情况下 禁带趋于稳定解 而在低频处收敛性更好 对于横波在一维声子晶体中的传播可以采用同样 的分析 结 论 本文将一维声子晶体简化为周期弹簧振子模型的 基础上引入辛数学方法 采用辛数学方法确定波矢与 本证值的色散关系 通过本证值计数法求得特征频率 从而得到计算出禁带区间 并与传统的集中质量法相 比较 说明辛数学方法是研究一维声子晶体禁带特性 的一种有效方法 辛数学方法求解与传统的集中质量 法求解相一致 并且具有很好的计算效率 有利于提高 计算精度 在增加单个原胞离散数的情况下 禁带趋 于稳定解 而在低频处收敛性更好 本文利用辛数学方法来解决波传播问题 为一维 声子晶体的禁带研究提供了新的算法 参 考 文 献 郁殿龙 刘耀宗 邱 静 等 一维声子晶体振动