量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案第6章-1.doc

第六章 中心力场P307 1.证明下列关系式：相对动量 （1）总动量 （2）总轨迹角动量 （3）总动能 （4）反之，有 （5） ， （6）以上各式中，证： ， （17） ， （18）相对动量 （1）总动量 （2）总轨迹角动量 总动能 （4）从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式.P308 2.同上题，求坐标表象中、和的算符表示，解： （1）其中 ，而 ，同理， ；（利用上题（17）（18）式。） ；仿此可设 （2）代入（1）中，得 （3） （4）只要将（3）、（4）式中的、以相应的算符代入即可。P308质量分别为 m,m的两个粒子组成的体系，质心座标标为：= (1) r (2)试求总动量及总角动量在, 表象中的算符表示。1. 解 （a）合动量算符。根据假设可以解出，令：（）（）设各个矢量的分量是，,和。为了计算动量的变换式先求对，等的偏导数： （5） （6）关于， 可以写出与（5）（6）类似的式子，因而： =(b)总角动量 =利用（3），（4），（5），（6）： = =因而 P332 证明由此证明能级上满布电子的情况下，电荷分布是各向同性的。（证明）题给的关系式是“球谐函数加法定理”，设想原来有一叁考系（xyz），以原点为中心的单位球面上有二点： 考察下述谐函数积的总和工：（1）能够证明，若将参考系施行一次旋转后，对新座标来说该总和仍是不变的。按么正变换理论，若座标系x,y,z被旋转成为，原来的一个函数就被变成（2）当座标系进行变换时，总和工被变换成的结果，可用（3）代入（1）得到（4）因为旋转B是一种么正变换，它应满足，因而（5）结果有：（6）即I对旋转是守恒的。现在我们这样来选择这种旋转，使转后的座标系里，P1点在Z1轴上，P2点则在X1 0 z1 座标面上，根据公式（课本）再利用得 于是有：（7） （8）依据以上结论，假写我们要计算有心力场中电子在核周围形成的电荷密度分布，就可以按几率密度一样计算(6.3,P.222几率密度随角度的变化一段)径向电荷密度P3385.56.15.16.25.246.35.276.45.76.55.166.5对于氢原子基态，计算。解： * 在求坐标系中，空间反演：（）。氢原子基态波函数为 （1）宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所以 （2）由于各向同性，呈球对称分布，显然有 （3）容易算出 （4） （5）因此 ， （6）， （7） （8）测不准关系的普遍结论是 （9）显然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且很接近式（9）规定的下限。6.65.196.7求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式。利用所得结果，计算。用x表象中的氢原子波函数计算,并验证测不准关系式。解：本题是三维问题，氢原子基态波函数用坐标表象时写作： （1）但是玻尔半径，将（1）代入三维的坐标，动量波函数变换式，此式是： (2)为使计算简单，可选择z轴与动量的瞬时方向重合，这样 将（2）中的用（1）式代入，进行积分，积分的次序是，r： = = = = = （3） 其次为了验证氢原子的测不准关系，需要计算座标动量的平均值，计算与坐标有关的平均值时，用为波函数，反之计算动量平均值时，可用动量波函数：测不准关系的验证，是通过一个指定方向（如x轴）的分量间关系： = = = (4)在计算动量有关平均值时，可采用动量相空间的球面极坐标参考系，设动量相空间直角坐标为，则球面极座标用表示， = （5） = (6)与p有关的积分可用替代入(6)式的第一道积分，得： = = 代入（6）得： =代入测不准关系式： 6.8在动量表象中写出氢原子的能量本征方程式，并证明角动量的各个分量均为守恒量。解：（一）建立动量表象的能量本征方程式，势能先写下坐标表象的薛氏方程式（直角坐标还是球面极座标不分）： 遍乘，并对坐标积分： （1）等号左方第一积分用二次分部积分中的加以下述福里哀变换，就得到动量表象的能量本征方程： （2）得： （3）式中 （4） （二）核的计算：先作（4）式类似的计算，假设是个坐标表象的波函数，它的相应的动量表象函数是，则正逆两种变换是： （5） （6） 将拉普拉斯算符 作用于两边，得： （7）根据（7）式写出它的逆变换式，并且与（5）式对比，有： = （8）将（4）（5）二式比较知道只需在中作置换，再乘 （9）因此我们最后得到动量表象的三维能量本征方程式，专用于库仑场。 = （10） （三）动量表象中，角动量分量守恒的证明。有两面种方法，或用直角坐标表示角动量算符，或用球面极座标表示，用前者较为简单，要证明角动量分量（例如）是守恒量，其必要条件是它可以和哈密顿算符对易，即： （11）这里，用动量表象书写时，可以用直角坐标表标表象的式子加以适宜的置换来得到这种置换是： 因而得到 （12）至于，的动量表象依类似方法。（10）式中的哈氏算符可从（10）看出： （13）右方第二项是“积分算符”，当它运算于时，就相当于将填入括号（ ）。设想对易算符作用在一个任意的动量表象的波函数上面： (14) 假使能证明I=0，则因为任意，我们便证明了（11），将（13）代入（14） = （15）分别计算动能与势能这两部分的对易算符,先计算动能部分的： = = = + (16)这证明了动能部份，是和角动量分量相能相对易的。 其次计算（15）式中与势能有关部分的对易式，即（15）式第二个大括号内一式，能够证明，括号内两项相抵消，为此从第二项开始变形： = = (17)前一式的第一二个积分分别为对分动量和进行积分后，分别代入积分限，如果是个三维的平方可积函数，即当时，则在代入分限后被积函数也趋于零，只剩下三个积分： = = = = = = (18)(18)式最前一式和最一式的关系相当于（15）式第二部分为零。 因为是任意函数，因而说明是守恒量。同理可以证明，在动量表象的有心力问题中也是守恒的。6.9对于氢原子基态，求电子处于经典禁区（即）的几率。解：氢原子基态波函数为 ，相应的能量 动能 是经典不允许区。由上式解出为。因此，电子处于经典不允许区的几率为（令）6.10利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱：（a）电子偶素（positronium，指束缚体系）的能谱（b）u原子（muonic atom）能谱（c）u子偶素（muonium，指束缚体系）的能谱解：由氢原子光谱理论，能级表达式为：, 。（a）电子偶素能级 ，（）（b）u原子能级 ，（）（c）u子偶素能级，（）6.10根据氢原子光谱理论，讨论（1）“电子偶素”（指e+e-的束缚态）的能级。（2）介原子的能谱。（3）介子素（指+-e-束缚态）的能谱。解：（1）电子偶素（氩positronium）指低温时超导现象中的导电媒介，即正负电子对，按类氢原子理论，氢的能级是由折合质量计算的，在正常氢原子情形，设质子质量m，则折合质量但 在电子偶素情形，可用正电子代替氢核的质子，折合质量= （2）介原于是被氢核荐的-介子构成的原子，这种原子的折合质量是 （1） 介子素是正电介子与电子结合成的体系（+e-束缚态），折合质量： 基特尔等著：力学（伯克利物理学教程第一卷）中译本，第九章，.396397.科学出版社（1979）6.115.86.125.96.135.126.13设电荷为的原子核突然发生衰变，核电荷变成，求衰变前原子中一个电子（轨迹上的电子）在衰变后仍然保持在新的原子的轨迹的几率。解：由