波动过程中质点的振动速度与加速度.doc

五、波动过程中质点的振动速度与加速度介质中任一质点的振动速度，可通过波动方程表式，把x看作为定值，将y对t求导数(偏导数) 得到，记作。以常用的波函数为例，质点的振动速度为质点的加速度为y对t的二阶偏导数：由此可知介质中各质点的振动速度和加速度都是变化的。五、平面简谐波波函数的求解【例1】设某一时刻绳上横波的波形曲线如图所示，水平箭头表示该波的传播方向。试分别用小箭头表明图中A、B、C、D、E、F、G、H、I各质点在该时刻的运动方向，并画出经过1/4周期后的波形曲线。(a) (b) (c)【解】在波的传播过程中，各个质点只在自己的平衡位置附近振动，并不会随波前进。在横波的情形中，质点的振动方向总是和波的传播方向相垂直。在图(a)中，质点C正达到正的最大位移处，质点G则处于负的最大位移处，这时它们的速度为零。根据图中的波动传播方向，可以设想出下一瞬时的波形曲线，见图(a)中的虚线，因而可判断各质点的运动方向。如图(b)所示，质点A、B、H、I向上运动，质点D、E、F向下运动。由于波形每一个周期向前推进一个波长，所以经过T/4后的波形曲线应比图(a)所示的波形曲线向左平移/4，如图(c)所示。通过作下一瞬时的波形曲线来判断质点速度的方向是常用的方法，但也容易造成误解。如上图 (a)中的虚线可能会使人误认为 C点的速度向下而G点的速度向上，实际上此时它们的位移都正好达到极值，它们的速度都为零。【例2】有平面简谐波沿x轴正方向传播，波长为，见下图。如果x轴上坐标为x0处质点的振动方程为，试求：(1)波动方程；(2)坐标原点处质点的振动方程；(3)原点处质点的速度和加速度。 【解】(1)如图所示，设考察点为x轴上任意一点，坐标为x。从x0 到x的波程为x- x0，按相位落后的关系，x处质点的振动相位比x0质点落后，故x轴上任意一点的振动方程，即波动方程为(1)(2)把x=0带入(1)式，即得原点处质点的振动方程 (3)原点处质点的速度为 加速度为【例3】一简谐波逆着x轴传播，波速u=8.0m/s。设t=0时的波形曲线如图所示。求：(1)原点处质点的振动方程；(2)简谐波的波动方程；(3)t=时的波形曲线。【解】(1)由波形曲线图可看出，波的振幅A=0.02m，波长=2.0，故波的频率为，角频率为。从图中还可以看出，t=0时原点处质点的位移为零，速度为正值，可知原点振动的初相为-/2，故原点的振动方程为(2)设x轴上任意一点的坐标为x，从该点到原点的波程为x，按相位落后与距离的关系，x处质点振动的时间比原点处质点超前，故x轴上任意一点的振动方程，即波动方程为(3)经过3T/4后的波形曲线应比图中的波形曲线向左平移3/4，也相当于向右平移/4，如图中虚线所示。我们看到，如果知道了某一个质点的谐振方程，通过相位（或时间）超前或落后的概念就很容易得到谐波方程。【例4】有平面简谐波沿x轴正方向传播，波长为，周期为T。如果x轴上坐标为x0处的质点在t0时的位置在平衡位置且正在向负方向运动，试求简谐波的波动方程。【解】按题意可知，x0处质点在t0时的振动的相位为/2。由于x0处质点振动的相位每过一个T要增加2，所以x0处质点在任意t时的振动相位为，故x0处质点的振动方程为从x0到坐标为x的任意一点的波程为x- x0，按相位落后与距离的关系，x处质点的振动相位比x0质点落后，故x点的振动方程，即波动方程为我们也可以通过简谐波的通式用拟合的方法来求出波方程。注意到，对于正行波，x前面应该取负号，我们设波方程为按题意，x0处质点在t0时的振动的相位为/2，即于是得到代入通式即得波函数用简谐波的通