高职高等数学 第二章 导数与微分 第一节导数的概念.pdf

沈阳工程学院 第二章 导数与微分 第二章 导数与微分 Derivative and Differential 第一节 导数的概念 Conception of derivative 教学目的 1 理解导数定义 2 会用定义求简单函数导数 3 可导与连续的关系 内容 1 导数的定义 2 求导数举例 3 导数的意义 4 可导与连续的关系 教学重点 导数的定义 教学难点 可导与连续的关系 教具 多媒体课件 教学方法 精讲多练 教学过程 1 引入新课 导数是微分学中的一个基本的概念 本节将学习导数的概念及其相关问题 2 教学内容 一 导数的定义 引例 1 变速直线运动的瞬时速度 在物理学中 当物体作匀速直线运动时 它在任何时刻的速度为 路程 速度 时间 但在实际问题中 运动往往是非匀速的 因此 上述公式反映的只能是物体在某 段时间内的平均速度 而不能准确反映物体在每一时刻的速度 即瞬时速度 设一质点作变速直线运动 以数轴表示质点运动的直线 在运动过程中 质 点在数轴上的位置S与时间t 的函数关系为 SS t 求质点在 0 t 时刻的瞬时速 度 0 v t 设在 0 t 时刻质点的位置为 0 S t 在 0 tt 时刻质点的位置为 0 S tt 于 沈阳工程学院 是在到这段时间内 质点所经过的路程为 00 SS ttS t 则在t 时间 内的平均速度为 00 S ttS tS v tt 质点在时刻 0 t 的瞬时速度为 t tstts t s tv tt limlim 00 00 0 2 切线的斜率 割线的极限位置 切线位置割线的极限位置 切线位置 如图 如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT 直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的切线 极限位置即 0 0 MN 00 yxNyxM设的斜率为割线MN tan y x 00 f xxf x x 0 C NMx 沿曲线 的斜率为切线MT 00 0 tanlimtanlim x f xxf x k x 导数的定义 定义 定义 的某个邻域内在点设函数 0 xxfy 有定义处在当自变量 0 xx取得增 量 0 时仍在该邻域内点xxx 0yxx 如果与之比当时的极限 0 lim x y x 存在 0处可导 在点则称函数xxfy 并称这个极限为函数在点 xfy 处 0 x 的导数 0 xx y 记为 00 xxxx dx xdf dx dy 或 T 0 xx o x y xfy C N M 沈阳工程学院 即 x xfxxf x y y xx xx limlim 00 00 0 关于导数的说明 关于导数的说明 其它形式 lim 00 0 0 h xfhxf xf h lim 0 0 0 0 xx xfxf xf xx 0 快慢程度自变量的变化而变化的 因变量随它反映了处的变化率点导数是因变量在点x 内可导在开区间数 就称函内的每点处都可导在开区间如果函数 Ixf Ixfy dx xdf dx dy xfyxf xfIx 或记作导函数简称为导数的导函数数叫做原来函数 这个函的一个确定的导数值都对应着对于任一 x xfxxf y x lim 0 即 lim 0 h xfhxf xf h 或 注意注意 0 0 x x fxfx 单侧导数 单侧导数 1 左导数左导数 lim lim 00 0 0 0 0 0 x xfxxf xx xfxf xf xxx 2 右导数右导数 lim lim 00 0 0 0 0 0 x xfxxf xx xfxf xf xxx 函数 xf在点 0 x 处可导 左导数 0 xf 和右导数 0 xf 都存在且相等 如果 xf在开区间 ba 内可导 且 af 及 bf 都存在 就说 xf在闭区间 ba 上可导 二 求导数举例 由定义求导数 步骤 由定义求导数 步骤 1 xfxxfy 求增量 2 x xfxxf x y 算比值 lim 3 0 x y y x 求极限 例例 1 的导数为常数求函数CCxf 沈阳工程学院 解 解 h xfhxf xf h lim 0 h CC h 0 lim 0 0 C即 例例 2 的导数为正整数求函数nxy n 解 解 h xhx x nn h n lim 0 2 1 lim 121 0 nnn h hhx nn nx 1 n nx 1 nn nxx即 更一般地 1 Rxx 例如例如 x 1 2 1 2 1 x 2 1 x 1 x 11 1 x 1 2 x 例例 3 sin sin sin 4 x xxxxf及求设函数 解 解 h xhx x h sin sin lim sin 0 2 2 sin 2 cos lim 0h h h x h cosx cos sinxx 即 44 cos sin xx xx 2 2 类似地 可求得 cos sin xx 例例 4 1 0 log的导数求函数 aaxy a 解 解 h xhx y aa h log log lim 0 x x h x h a h 1 1 log lim 0 h x a h x h x 1 loglim 1 0 log 1 e x a 沈阳工程学院 log 1 loge x x aa 即 1 ln x x 三 导数的意义 1 几何意义1 几何意义 tan 0 000 为切线的倾斜角为斜率 即 处的切线的斜率在点表示曲线 kkxf xfxMxfyxf 切线方程为 切线方程为 000 xxxfyy 法线方程为 法线方程为 1 0 0 0 xx xf yy 例 求曲线 3 yx 在点 1 1处的切线的斜率 并写出切线方程和法线方程 解 32 3yxx 所求切线斜率为 2 1 1 33 x x kyx 所求切线方程为 131 320yxxy 即 法线方程为 1 11 340 3 yxxy 即 2 物理意义非均匀变化量的瞬时变化率 2 物理意义非均匀变化量的瞬时变化率 变速直线运动 路程对时间的导数为物体的瞬时速度 lim 0 dt ds t s tv t 交流电路 电量对时间的导数为电流强度 lim 0 dt dq t q ti t 非均匀的物体 质量对长度 面积 体积 的导数为物体的线 面 体 密度 四 可导与连续的关系 定理定理 xfy 在点 0 x 处可导 xfy 在点 0 x 处连续 证 证 0可导 在点设函数xxf lim 0 0 xf x y x 0 xf x y 0 0 x xxxfy 0 limlim 0 00 xxxfy xx 0 沈阳工程学院 0连续 在点函数xxf 注意注意 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立 连续函数不存在导数举例 连续函数不存在导数举例 例如 2 0 0 x x yxx x x 在点0 x 处连续却不可导 课堂练习 假设 0 fx 存在 则下列各题中 A 00 0 0 00 0 1 lim 2 lim 00 0 3 lim x x h f xxf x A x f x Aff x f xhf xh A h 其中且存在