第2章 §2.3邻域与邻域系.doc

2.3邻域与邻域系本节重点：掌握邻域的概念及邻域的性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法（今后证明开集常用定理2.3.1）我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们先在2.2中做好了；现在轮到给出映射在某一点处的连续性的定义了在定理2.1.4中我们已经发现，为此只要有一个适当的称之为“邻域”的概念，而在2.1中定义度量空间的邻域时又只用到“开集”因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念然后再给出映射在某一点处的连续性的概念，这些概念的给出一点也不会使我们感到突然定义2.3.1设（X，P)是一个拓扑空间，xX如果U是X的一个子集，满足条件：存在一个开集VP使得xVU，则称U是点x的一个邻域点x的所有邻域构成的x的子集族称为点x的邻域系易见，如果U是包含着点x的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域首先注意，当我们把一个度量空间看作拓扑空间时（这时，空间的拓扑是由度量诱导出来的拓扑），一个集合是否是某一个点的邻域，无论是按2.1中的定义或者是按这里的定义，都是一回事定理2.3.1拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要xU，U便是x的一个邻域证明定理中条件的必要性是明显的以下证明充分性如果U是空集，当然U是一个开集下设U根据定理中的条件，使得故U=，根据拓扑的定义，U是一个开集定理2.3.2概括了邻域系的基本性质定理2.3.2设X是一个拓扑空间记为点xX的邻域系则：（1）对于任何xX，；并且如果U，则xU；（2）如果U，V，则UV；（3）如果U并且UV，则V；（4）如果U，则存在V满足条件：(a)VU和(b)对于任何yV，有V证明（1）X,XP,X,且由定义,如果U，则xU（2）设U，V则存在UP和P使得和成立从而我们有,T,UV（3）设U，并且（4）设U令VP满足条件V已经满足条件（a），根据定理2.3.1，它也满足条件（b）以下定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用这种做法也许显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁定理2.3.3设X是一个集合又设对于每一点xX指定了x的一个子集族，并且它们满足定理2.3.2中的条件（1）（4）则x有惟一的一个拓扑T使得对于每一点xX，子集族恰是点x在拓扑空间（X，P)中的邻域系(证明略)现在我们来将度量空间之间的连续映射在一点处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中去定义2.3.2设X和Y是两个拓扑空间，f:XY，xX如果f（x）Y的每一个邻域U的原象（U）是xX的一个邻域，则称映射f是一个在点x处连续的映射，或简称映射f在点x处连续与连续映射的情形一样，按这种方式定义拓扑空间之间的映射在某一点处的连续性也明显地是受到了2.1中的定理2.1.4的启发并且该定理也保证了：当X和Y是两个度量空间时，如果f: XY是从度量空间X到度量空间Y的一个映射，它在某一点xX处连续，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个在点x处连续的映射；反之亦然这里我们也有与定理2.2.l类似的定理定理2.3.4设X，Y和Z都是拓扑空间则（1）恒同映射：XX在每一点xX处连续；（2）如果f：XY在点xX处连续，g：YZ在点f（x）处连续，则gof：XZ在x处连续证明请读者自己补上以下定理则建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系定理2.3.5设X和Y是两个拓扑空间，f：XY则映射f连续当且仅当对于每一点xX，映射f在点x处连续证明必要