第三章能带论(1).doc

第三章 能带论（1）31解： （1）势能曲线：由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均即可：（2）禁带宽度的表示为：其中是周期势场傅立叶级数的系数： 第一禁带宽度为： 第二禁带宽度为： 32解：周期性势能可改写成：由上式给出的周期性势能只有下面四个傅氏分量不为零：而点正好处于的垂直平分线上，即处在第一布里渊区边界上，故电子能量在那里发生分裂，其能隙大小为34 （1）证： 由教材p61(3.2.30)和（3.2.31）两式，对于基元中原子数p1的复式晶格，且由同种原子组成的基元，有： 其中：是复式晶格周期势对其某一倒格矢的傅立叶分量。 是同种原子组成的基元的几何结构因子。 由式可知，对于复式晶格的某一倒格矢，如结构因子为零，则周期势相应的傅立叶分量也为零。 因此，来计算对于六角密堆积结构: 六角密堆积结构相应的基元包括两个同种原子，它们的坐标是 ，如图所示： hcp结构初基矢量的一种取法 将以上关系代入结构因子的表达式中，得： 据题意，本题中 代入得： 故对于六角密堆积结构，晶体势场的傅立叶分量为零。 （2）解： 代入（1）问式中，得： 故：不为零。 （3）对处于简单六角点阵阵点上的二价原子构成的晶体，每个单胞有两个价电子，N个单胞有2N个价电子，刚好可以填满第一布里渊区（一个能带），故原则上可以形成绝缘体（如果没有能带交迭）。 （4） 对于单价原子的六角密堆积结构，虽然每个单胞也有两个价电子，N个单胞有2N个价电子，但由于第一布里渊区一个边界面上能隙消失，和第二布里渊区连通，形成一个复合区，可以容纳4N个电子，2N个电子只能填充这个复合区的一半，于是，在外加电场下可以导电。因而单价原子的六角密堆积结构原则上不可能形成绝缘体。解法2：(1)简单六角晶体的基矢、倒格子基矢分别为：所以，。六角密堆积晶体的基矢、倒格子基矢分别为：相对于简单六角的倒格矢Gc，六角密堆积的晶格单元应取六棱住，包含6个原子所以(2)对于2Gc，相当于六角密堆积的平行于晶格c轴的最短倒格矢，所以选取原胞为单元。此时它是简单格子，所以V(2Gc)不为零。(3)每个能带包含2N个量子态，可容纳2N个电子。当与二价最外层电子对应的能带的最高能量小于高一级能带得最小能量时，2N个原子正好填充相应能带形成非导体。(4)单价的原子有N个最外层电子，只能填充能带得一半。是部分填充形成导带，所以必然是导体。35解：（1）面心立方结构晶体具有12个第一近邻，取参考格点的坐标为（0 0 0），他们的格矢如下： ， ，于是其中：同理可得：由教材式可知，S态能带为：（2）体心立方结构晶体具有8个第一近邻，他们的格矢如下仿照面心立方结构的情形有：S态能带为：36 相同原子组成的一维单原子链，原子间距a， （1）根据紧束缚近似，只计入近邻相互作用，写出原子S态对应的晶体波函数的形式。 (2) 求出相应能带的函数。 解： （1）紧束缚近似下，以晶体中电子的原子轨道波函数的布洛赫和为晶体波函数，设S态波函数为 ，则晶体波函数为： 为晶格波矢 （2）紧束缚近似下，只计入最近邻格点原子的相互作用。则： 能带： （任选一个格点为原点） 其中：为S态原子能级 S原子态波函数具有球对称性： 所以， 有两个最近邻的格点，其坐标为：a和-a 代入上式得： 37解： 对原子间距为a的由同种原子构成的二维密堆积晶格如下： （1） 该晶格是一个简单格子，即每个原胞中包含有一个原子。取一格点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，原胞也如图所示。基矢、可由下式给出： 在二维晶格下，取，可得倒格子基矢： 所以： 根据倒格子基矢、就可画出各倒格点，易知倒格子也是二维密堆积格子。取其中任一倒格点为原点，由近到远作出各倒格矢（包括倒格子基矢），然后作这些倒格矢的垂直平分线。这些垂直平分线把倒格子平面分成各个区域。从原点出发不需要经过任何垂直平分线的区域为第一布里渊区，从原点出发需经过1个（2个）垂直平分线的区域即为第二（第三）布里渊区。如图： 二维密堆积格子的布里渊区及费米圆（2） 二维晶格的原胞面积： 而每个原胞含有1个原子，每个原子有一个电子，则此二维晶格的电子面密度为： 费米圆半径： （3） 从图可看到第一布里渊区的内接圆半径为： （4） 当时，可得电子面密度： 每个原胞中的平均自由电子数，即每原子的平均自由电子数（因每个原胞中只有1个原子）： （5） 当每原子有两个自由电子时，费米园半径为： 由此可画出自由电子的费米圆，如图中所示。考虑到周期性势场的微扰，对自由电子的费米圆作两点修正：在布里渊区的边界线处发生分裂。费米园与布里渊区的边界线间的交角进行钝化。 为了画出简约区图式，把第二布里渊区部分的图形平移一个倒格矢后移入简约布里渊区中，最后，可画出简约区图式，如下图所示。处在第n布里渊区的能量应为第n能带。所以，在本题的情况下，第一能带、第二能带都只是部分填充满、第三能带未填充。图中黑色部分区域表示已被电子填充的区域。 第一能带 第二能带 38解：具有面心立方结构，每个原胞只有一个原子，而每个原子只有一个价电子，设晶格常数为，则原胞体积为，所以价电子密度当掺锌取代铜原子时，费米球与第一布里渊区边界相接触，而铜的第一布里渊区为截角八面体，其内切球的半径为依题意（其中m，n