第九章 正弦稳态电路的分析.doc

第九章 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析应用相量法。通过引入相量法，建立了阻抗和导纳的概念，给出了KCL，KVL和欧姆定律的相量形式，由于它们与直流电路的分析中所用的同一公式在形式上完全相同，因此能够把分析直流电路的方法，原理，定律，例如，网孔法（回路法），结点法，叠加定理，戴维宁定理，等效电源原理等等直接应用于分析正弦电路的相量模型，其区别仅在于：（1）不直接引用电压电流的瞬时表达式来表征各种关系，而是用对应的向量形式来表征各种关系；（2）相应的运算不是代数运算，而是复数的运算，因而运算比直流复杂。但根据复数运算的特点，可画出向量图，利用向量图的几何关系来帮助分析和简化计算，从而扩大了求解问题的思路和方法。（3）引入了一些新的概念，如平均功率，无功功率，视在功率，复功率，最大功率传输，谐振等。认识以上区别，对正弦稳态电路的分析是有益的。9-1试求图示各电路的输入阻抗Z和导纳Y。 解：（a）Z=1+=1+= Y=S(b) Z=Y= （c） Y=SZ= 题9-1图 设端口电压相量为，根据KVL，得 所以输入阻抗为 导纳 设端口电压，电流相量为，根据KCL，得 且有 所以输入阻抗 导纳 注：本题的求解过程说明，引入阻抗和导纳的概念以后，正弦电路的输入阻抗（或导纳）的定义与计算和直流电路输入电阻（或电导）的定义与计算是相似的。即输入阻抗 若有n个阻抗串联，等效阻抗若有n个导纳并联，等效导纳为只不过和是复数。已知图示电路中，。试求电路中合适的元件值（等效）。解：把u用余弦函数表示有u和I的相量形式为 , 根据入端导纳的定义，有 既图示的两并联元件为电导和电容，其参数为 注：以上计算表明，导纳的模等于电流与电压的模值之比，导纳角等于电流与电压的相位差，若导纳角，表示电流超前电压，导纳为电容性，反之为电感性。 9-3 附图中N为不含独立源的一端口，端口电压u，电流I分别如下列各式所示。试求没一种情况下的输入阻抗Z和导纳Y，并给出等效电路图（包括元件的参数值）。（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）u和i的相量为 根据输入阻抗的定义有 即等效电路为20的电阻，如题解图（a）所示。（2）u和i 的相量为 则输入阻抗 等效电路可视为一负电阻和电感的串联，电感L为 负电阻可以用一受控源实验，如题解图（b）所示。受控电压源的控制系数。（3）u和i 的相量为 则输入阻抗 既等效电路为一电感，如题解图（c）所示，电感值L为 （4）u和i的相量为 则输入阻抗 = 既等效电路为一个4.78的电阻和一电感串联，电感值L为 电路如题解图（d）所示。也可以用一个0.191S的电导和一电感并联等效，如题解图（e）所示。电感值为 9-4 求附图（a），（b）中的电压，并画出电路的相量图。 解：（a）电路的总导纳为 故电压 （b）根据KVL可得 图（a）和（b）对应的相量图如题解9-4图（a）和（b）所示。9-5 已知图示电路中求电压，并作电路的相量图。解：电路的总阻抗为 所以电压 各元件的电压为 相量图如题解9-5图所示。9-6 附图电路中，求电流和电压，并画出电路的相量图。 解：设为参考相量，既，则ab两端的电压相量为 电流 由KVL，得 =因为的有效值为，所以有恒等式 既 从中解得 故相量为 相量图如题解9-6图所示。9-7 附图中已知u=200cosV ，电流表的读数为2A，电压表V，V的读数均为200V。求参数R，L，C，并做出该电路的相量图（提示：可先做相量图辅助计算）。解法一：利用相量图求解。 因为电压，的有效值均为200V，因此，构成的电压三角形为等边三角形ABC如题解图所示。由题意知电压相量为三角形的AB边，若相量为CA边，则根据电容元件的电压，电流关系得电流相量超前，那么与的相位差为，电源发出的功率P=为负值。这是不合理的，由此可得相量应该是三角形的BC边，相量为CA边，电流相量超前，如题解9-7图所示。各相量为 =2 =200 =200 =2故根据欧姆定律的相量形式，有 即 解法二：根据电压电流有效值关系，可得 Z的阻抗角为和相量间的相位差，为简便计算，设=2，=，=，=由KVL得 =即 把以上两式平方后相加，解得 故有 所以 显然本题用相量图解既直观又简便。9-8 附图中，调节电容，使电压=，电流表的读数为50。求电流表的读数。解法一：根据相量图计算。 设，则各电压，电流相量为 ， 为电感性支路的电流，为电容性支路的电流，所以，滞后一角度，超前。画相量图如题解9-8图所示。，构成一直角三角形。故电流表的读数为 解法二：设，应用相量法。由KCL，可得方程 14即 解得 由于支路1为电感性支路，电流滞后于电压，所以应取因此 表的读数 9-9附图中，如果要使和的相位差为（正交），应等于多少？如果把图中CCCS换成可变电容C，求。解：由KCL，可得 由KVL，可得 即 由于和相位相差，因此，的比值应是一纯虚数，其实部为零，即 此时与的比值为 如把CCCS换成可变电容如题解9-9图所示，由KVL，可得 即 由KCL，可得 ，由KVL，有 所以有 若和相位相差，上式中实部为零，即 从中解得 9-10 已知附图电路中，各交流电表的读数分别为V：100V；。求阻抗。解法一：根据相量图求解。，是串联，故设电流为参考相量。即。为感抗，其电压超前电流为。根据和可知，应是电容性的，即，且。画相量图如题解9-10图所示。根据余弦定理，有 解得 =0.936 由相量图可知 所以有 由于电流相量为 则阻抗 解法二：设电流为参考向量。各相量为 根据KVL，可得即 把以上两式等号两边平方再相加，得所以 即 解法三：设电流为参考相量。阻抗，由KVL得令等式两边模相等，有 联立求解以上两式，解得 即 9-11 已知附图电路中，L=1H。求电路中各电流表的读数和电路的输入阻抗，画出电路的相量图。解：首先计算和。 则LC串联支路的总阻抗Z为 这条支路相当于短路，所以可得电流表的读数为 各相量为 相量图如题解9-11图所示。需要注意，LC串联电路的总电压为零，即发生了串联谐振，但各元件上的电压不为零，甚至可大于输入电压。9-12已知附图电路中U=8V，。求各支路电流和电路输入导纳，画出电路的相量图。解：，并联的等效阻抗为 输入阻抗为 故电路的输入导纳 设电压为参考相量，则总电流相量 利用分流计算和，即 相量图如题解9-12图所示。9-13已知附图电路中，U=100V，阻抗的阻抗角。求和电路的输入阻抗。解：设电流为参考相量且有 根据，可知应为电感性阻抗，即解法一：电路的输入阻抗为又因为 令等式两边实部和虚部分别相等，有 两式平方相加，得即 所以 电路的输入阻抗为 解法二：根据相量图计算。因为相量图如题解9-13图所示，根据余弦定理，有即 所以有 V即 9-14 附图电路中，当S闭合时，各表的读数如下：V为220V，A为10A，W为1000W；当S 打开时，各表读数依次为220V，12A和1600W。求阻抗Z和Z，设Z为感性。解法一：由题意知，当开关闭合时电路的有功功率 P=1000W视在功率 无功功率 根据功率和阻抗的关系可知 故阻抗为 当开关S打开，根据 可得电路的总电阻为 总电抗为 根据总阻抗 可得 由于为感性，其，则只能取，因此有即 或 解法二：开关闭合时，由得 为U和I的相位差，也是阻抗的阻抗角，故当开关S打开后，有即总阻抗为 则 结果同上。解法三：开关闭合时。由可得 即 开关打开后，电流增大，说明和性质相反，即为容性阻抗，有。由于总阻抗总电阻 所以总电抗为 即 本题给出了交流参数测定的实验方法。注：本题的求解说明，交流电路中的平均功率P，无功功率Q，视在功率S和电路的电压U，电流I，阻抗Z是相互联系的，满足关系式 熟练掌握这些关系式，对同一道题，可以有多种解答途径。9-15 已知附图电路中，。求各支路电流并做出电路的相量图。解法一：设各支路电流如图所示。令为参考相量，容抗为根据KCL，有由KVL，得 即 联立求解以上两方程，得相量图如题解9-15图所示。解法二：应用结点法计算，对结点列方程解得 所以电流为 9-16已知附图电路中，电压求其它各支路电流。解：首先计算感抗，有令由，知a，b两点等电位，故有根据，得注：本题中和的并联支路实际发生了并联谐振，即，入端阻抗，因此，可以看作断路。但和不为零，他们的模值相同，相位相差。和构成的回路中呈现电磁振荡。9-17 如果图示电路中R改变时电流I保持不变，L，C应满足什么条件？解法一：列方程求解。输入导纳为电流为 的有效值为，即要使不随变，则不随变，而显然当时，即时，有与无关。解法二：通过取的两个特殊值求解。取（开路）由图知，此时取（短路），由图可得因为不变。则有等式 得 解法三：根据相量图计算。选电压做参考相量，则电流超前，滞后，当从变化，的末端沿半圆弧移动，根据，且不变，可知的末端轨迹为半圆弧。相量图如题解9-17图所示，由线段可得即 9-18求附图电路电阻的端电压。解：为开路电压，中无电流流过，由KVL知所以根据欧姆定律，可得9-19图示电路中，已知。如果电流源的角频率可变，那么在什么频率时，流经最右端电容的电流为最大？求此电流。解：并联支路的导纳为串联支路的阻抗为 应用分流公式流经最右端电容的电流为 要使有效值最大，需使的模值最小，而 显然当 即 时，最小，此时有 9-20已知附图电路中的电压源为正弦量，。试求：（1）当时，C值为多少？（2）当条件（1）满足时，试证明输入阻抗为。解（1）：图为电桥电路，当时电桥处于平衡状态。满足所以电容值为 （2）当时，把断开，输入阻抗为把代入上式中有 9-21在附图电路中，已知当调节触点使时，电压表的读数最小，其值为30V。求阻抗Z。解法一：列方程求解。由KVL得设，则上式改变时，只改变的实部，虚部不变，因此，当的实部为零时，为最小，即 从中解得 解法二：应用相量图来分析。设。和与同相位（电阻支路）。设当Z为感性，其上电流落后一角度，电压三角形为ABO；当Z为容性，其上电流超前一角度，电压三角形为ADO如题解图所示。根据给定的条件（设Z为容性），可以推断d位于AD线段上某一点，而c点可在AO线段上滑动。要求最小，即要求线段最短，故应垂直于AO。根据题解9-21图示几何关系，可得Z上的电压Z中流过的电流 所以阻抗角考虑到感性容性两种情况，有 9-22附图电路是阻容移相装置。（1） 如果要求图（a）中滞后电压的角度为，参数R，C应如何选择？（2） 如果要求（b）图中的滞后的角度为，即反相，R，C应如何选择？（3）如果图（b）中R和C的位置互换，又如何选择R，C？解（1）：方法一：应用分压关系有 由题意知 即 方法二：应用相量图分析。设为参考相量，画相量图如题解9-22图所示。由图可得所以参数R，C满足关系解（2）：设各支路电流参考方向如图（b）所示，应用倒退法求解。设，则把代入上式，有若上式中的虚部为零，实部为负值，则超前，故 解得 当，有不合题意，舍去；当有满足题中要求。所以参数R，C应满足解（3）采用上述方法，此时把代入表示式中，有 令虚部为零，解得舍去，当时，满足题中要求。9-23列出下列电路的回路电流方程和结点电压方程。已知。解：首先计算感抗和电容，画出电路的相量模型如题解9-23图（a），（b）和（c）所示。在图中设定回路电流绕行方向和结点编号。列方程如下：（a）回路电流方程 结点电压方程 （b）回路电流方程结点电压方程（c）回路电流方程结点电压方程9-24求图示一端口的戴维宁（或诺顿）等效电路。解（a）：先求开路电压。由于开路，故受控电流源，所以有其中 所以 求短路电流。把短路，电路等效为题解9-24图（a1），由KVL，可得电路的等效阻抗等效电路如题解图（a2）所示。解（b）：求开路电压。由KVL，可列方程其中则求短路电流。把短路如题解9-24（b1）所示。由图可知则所以电路的等效阻抗 等效电路如题解图（b2）所示解（c）：求短路电流。把短路如题解9-24图（c1）所示，由图可得 把电压源短路，求等效电导，有 等效电路为一电流源，如题解图（c2）所示。9-25设。求图示电路的。解：这是一个含有理想运放的电路问题。根据理想运放的“虚断”和“虚短”性质可得 且 则 其中 故9-26求图示电路的。 解：结点编号如图所示。应用结点电压法并根据理想运放的“虚短”，“虚断”性质可列方程为（电阻用电导表示） 把式代入式中得 把，式代入式中，得 式中。9-27图示电路中。试求各元件的端电压并做电路的相量图，计算电源发出的复功率。解：感抗电流为 各元件的电压为相量图如题解9-27图所示。电源发出的复功率为或 注：一段电路的复功率除了用计算外，还以表示为，或。由于所以把正弦交流电路的平均功率，无功功率，视在功率联系在一起，通过计算复功率，我们可以方便地得到P，Q，S及。复功率满足复功率守恒，即，通过验证复功率守恒，可以判断我们的分析计算结果是否正确。9-28附图电路中。求吸收的复功率，并验证整个电路复功率守恒，即有。解：应用分流公式，可得 吸收的复功率为 由于电流源两端的电压相量为 所以电流源发出的复功率为 显然有即复功率守恒。9-29图示电路中。求各支路吸收的复功率和电路的功率因数。解：串联支路的阻抗为 串联支路的阻抗为 应用分流公式，可得支路电流（设） 则各支路的复功率为 电流源发出的复功率为 电路的功率因数为 注：电路的功率因数角是电路输入电压与输入电流之间的相位差，即，也是输入阻抗的阻抗角，即也可用表示，这样就有了多种计算的途径。9-30图示电路中。求各元件的电压，电流和电源发出的复功率。解：根据复数形式的欧姆定律，可得支路电流总电流电源电压为则电源发出的复功率为电源发出的复功率也可这样计算两种算法所得结果的差异是由计算误差造成的。9-31图示电路中电压表的读数为20V，功率表的读数为120W。试求和电源发出的复功率。解：由图知，功率表的读数P=120W是电阻和消耗的平均功率之和，即，而消耗的功率为所以 根据 可得设电压，由元件电压，电流的相位关系可知电流相量图如题解9-31图所示，由图可得 即总电流为。又因为 解得电源角频率 则感抗为 电源电压 故 电源发出的复功率 或 9-32图示电路中。求（可任意变动）能获得的最大功率。 解：这是一个求最大功率的问题，应用戴维宁定理比较方便。首先把断开，如题解9-32图（a）所示。图中的感抗和容抗为 应用结点电压法计算开路电压。结点的方程为从中解得 V则开路电压 V用外加电源法求等效阻抗，电路如题解图（b）所示。图中由KCL，得 由KVL，得 所以等效阻抗 根据交流电路的最大功率传输定理可知，当 时获最大功率，且最大功率为 W注： 在交流电路中，当负载阻抗等于与其相接的含源一端口电路的等效内阻抗的共轭复数时，获得最大功率，称为最佳匹配。若为纯电阻性负载，此时获最大功率的条件是。与共轭匹配相比，这时负载电阻获得的最大功率要小些。9-33附图,V,。求能获得的最大功率。解：先计算感抗和容抗 把断开，外加电压，设电流，如题解9-33图（a）所示，求端口关系。由于和并联部分发生并联谐振，即，可以看作开路，因此结点的电压为应用于结点，有即 解得故一端口电路的开路电压和等效阻抗为，其等效电路如题解图（b）所示，则当时，获取最大功率，最大功率为附图电路中已知：，电压表的读数为，电流表的读数为。求图中电流表，功率表的读数和电路的输入阻抗。解：令电流，根据和并联且满足，可得电流即表读数为总电流为电阻消耗的功率为即功率表的读数为又由于解得说明和同相位，则输入阻抗为附图中的独立电源为同频正弦量，当打开时，电压表的读数为。电路中的阻抗为，。求闭合后电压表的读数。解：当打开时，电压表的读数实际上是开路电压，设把断开，短路，得等效阻抗为开关闭合后的等效电路如题解图所示。由图可知电容电压为故此时电压表的读数为-列出附图电路的结点电压方程和网孔电流（顺时针）方程解（a）：结点电压方程网孔电流方程：解（b）：结点电压方程网孔电流方程9-37把3个负载并联接到220V正弦电源上，各负载取用的功率和电流分别为：（感性）；（感性）；（容性）。求电源供给的总电流和电路的功率因数。解：根据题意画电路如题解9-37图。设电源电压为 根据，可得即 因此各支路电流相量为 （感性元件电流落后电压） 总电流 电路的功率因数为 9-38功率为60W，功率因数为0.5的日光灯（感性）负载与功率为100W的白炽灯各50只并联在220V的正弦电源上（）。如果要把电路的功率因数提高到0.92,应并联多大的电容？解：令电源电压相量为。电路如题解9-38图（a）所示，其中为50只白炽灯的总电阻，为50只日光灯的阻抗。根据，可得 其相量为 （感性）故总电流为 此时电路的功率因数为并联电容后，不变，电路的总功率不变，即，当功率因数为0.92时，电路的总电流为 当时 故并联电容为 当时，可解得，所需并联的电容为 ，故选用C比较经济。注：在线路上变脸电容C（见本题图示）。电路中原负载的电压，电流和功率均不改变，即负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了，见效了输电线电流I，从而减少了传输线损耗，提高了传输效率。设并联C前线路的总电流为I，功率因数为，并联电容后，总电流为，功率因数为，相量图如题解9-38（b）图示，由几何关系可知 将，代入上式中，可解得 上式子可用做计算C的公式9-39已知附图电路中，其功率因数分别为，端电压U=100V，。（1） 求图中电流表，功率表的读数和电路的功率因数；（2） 若电源的额定电流为30A，那么还能并联多大的电阻？求并联该电阻后功率表的读数和电路的功率因数；（3） 如使原电路的功率因数提高到需要并联多大的电容？解：（1）令由题意知 （容性） （感性）则支路电流相量为 总电流相量为 即电流表的读数为 A=21.264A电路的功率因数 功率表的读数为 （2）并联电阻后总电流为 根据I=30A，可得等式解得 则电流 功率因数为 此时功率表的读数为或 误差是计算造成的。（3）原电路的，即现提高 即则并接电容 9-40 求图示电路中Z的最佳匹配值。解：把短接，Z断开，外加电压，求出输入阻抗。由题解9-40图可得 因此输入阻抗故Z的最佳匹配值为 9-41当时，RLC串联电路发生谐振，已知R=5，L=400mH，端电压U=1V。求电容C的值及电路中的电流和各元件电压的瞬时表达式。 解：电路如题解9-41图所示。串