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第三章分式北 京 四 中撰稿：史卫红审稿：谷丹责编：姚一民 分式的意义和性质 一、分式的概念1、用A、B表示两个整式，AB可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。 2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。 3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。 （2）分式：，当B0时，分式有意义。 （3）分式：，当 时， 分式的值为零。 （4）分式：，当 时， 分式的值为1。 （5）分式：，当 时，即或时，为正数。 （6）分式：，当时，即或时，为负数。 （7）分式：，当时或时，为非负数。 三、分式的基本性质： 1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。 2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式） 3、学习基本性质应注意几点： （1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零； （2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子； （3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。 4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。 5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子： ，。 四、约分： 1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。 2、约分的理论依据是分式的基本性质。 3、约分的方法： （1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。 例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）（4）（5）a2-a（6）。 解：根据分式定义知（1）、（2）、（3）是分式，（4）、（5）、（6）是整式。 说明：判断一个代数式是否是分式要紧紧抓住除式中含不含字母。这里是分式，不能因为=a+b，而认为是整式，a+b是分式的值。要区分分式的值和分式这两个不同的概念。另外是整式而不是分式。虽然分母中有，但不是字母而是无理数，是无限不循环小数，因此的除式中不含字母。 例2，在分式（1）（2）（3）中，字母x的值有什么限制？ 解：（1）在中，当x=2时，使得分母x-2=0， x2, （2）在中，当x=-2时，使得分母x+2=0, x-2, （3）在中，当x=-2或x=3时，使得分母(x+2)(x-3)=0， x-2且x3。 例3，x为何值时，分式，（1）无意义；（2）值为零；（3）值为1；（4）值为非负数。 解：（1） 当分母2x+3=0时分式无意义， x=-时，分式无意义。 （2） 当时，分式值为零。 ， x=1时分式值为零。 （3） 当时，分式值为1， x=-4时分式值为1。 （4） 当或 时，分式值为非负数。 或 x1或x-时分式值为非负数。 例4，当x取何值时，分式（1）值为零；（2）无意义；（3）有意义。 解：（1） 当(x+3)(x-1)0时，分式有意义， 当x-3且x1时分式有意义。 又 6-2|x|=0时分式值为零，则3-|x|=0, |x|=3, x=3。 ， x=3时分式值为零。 （2） (x+3)(x-1)=0分式无意义， 即x+3=0或x-1=0， x=-3或x=1时分式无意义。 说明：对于（1）也可先令分子为零，求出字母的所有可能值为x=3后，再逐一代入分母验证是否为零，不为零者即为所求。 对于（2）当x+3=0或x-1=0时，都会使分式的分母等于零，所以要注意“或”字的使用。 解：（3） (x+3)(x-1)0时分式有意义。 即x+30且x-10时， x-3且x1时分式有意义， 说明：对于（3）分母(x+3)(x-1)只有不为零时，分式有意义，而(x+3)(x-1)0，当x+3=0或x-1=0都会使(x+3)(x-1)=0，所以应将x=-3和x=1都同时排除掉，写成x-3且x1，用“且”字，而不用“或”字。意义为x不能为-3而且还不能为1，即-3和1都不能取。因为取任何其中一个值，分母(x+3)(x-1)都会为0，而使分式都会无意义。 例5，写出等式中未知的分子或分母： （1）；（2）；（3）； （1）分析：这类问题要从已知条件入手，根据分式的基本性质，分析变化的过程，如（1）右边分母x2-y2是(x+y)(x-y)，而左边分母为x+y，所以需将左式的分子和分母同乘以(x-y)。 解：， 未知的分子是(x-y)2, （2）分析：左边分子a2-ab=a(a-b)，而右边分子是a-b，所以需将左式的分子和分母同除以a。 解：=，未知的分母是b。 （3） a2+ab=a(a+b)（将分子因式分解） （比较分子，发现分子、分母同乘以a） =，2ab即为所求的分母。 例6，把下列分式的分子和分母中各项的系数都化为整数。 （1）；（2）； （1）分析：先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍数为15，再据分数基本性质，分子和分母同乘以15。 解：=。 （2）解：= 注：必须乘以分子和分母的每一项，避免发生(0.2a+3b)10=2a+3b这样的错误。 例7，不改变分式的值，使下列分式中分子与分母不含“-”号，（1）-；（2）-。 解：根据分式的符号法则得： （1）-=；（2）-=-。 注意：分式、分子和分母的符号中，任意改变其中两个，分式的值不变。（1）中改变分式本身和分母两个负号，（2）中改变分子和分母两个负号。 例8，不改变分式的值，依照x的降幂排列，使分子和分母中x的最高项的系数都为正数。 （1）；（2）-。 解：（1）=； （2）-=-=- =-。 说明：解题可分为三步：（1）先将分式的分子和分母都按x的降幂排列，这步只是运用加法交换律，不改变符号。（2）将分子和分母的最高项系数化为正数，只要提取公因式-1即可，提取时注意每项都要变号。（3）运用符号法则进行变号。 注意：如果分子或分母的首项为负，则必须先将负号提到括号外面，再使用符号法则，要注意避免下列的错误： =。 例9，约分：（1）（2）。 解：（1）=-3yz10。 注意：分母的因式约去后得1，分式变为整式。若化简分式时千万不要犯下列错误： =0。 （2）=-。 注意：分母的负号一般要移去。 （2）如果分式的分子或分母是多项式，应先分解因式，然后再约分。 例10、约分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 解：（1）=。 注意：不要把约成=，也不要将最后结果写成，因为分式的横线表示括号，再写括号就多余了。 （2）=。 注：不要将约做，因为这样是分子分母都减a2，不是同除以相同的整式。 （3）=x2+1。 注：不要犯下面的错误：=x3-x2。 （4）= =-。 注意：这里应用到了(2-x)3=-(x-2)3的变形。 （5）=（分子按x的降幂排列） =（分子提取公因式-1） =（分子、分母都分解因式） =（约去公因式：x-1） =-（应用分式的符号法则） 说明：此题的解法，一方面显示出分式约分的一般步骤，另一方面在解题的右侧的括号内写出运算的算理，平日的化简是不写这些的，但不是它不存在，在思维上它是不可缺少的。 分数的乘除法的关键是约分，而分式乘除法的关键也是约分，就是说，分式乘除法运算的实质是约分，它能使运算的结果化为最简分式。同分数的约分一样，分式的约分是应用分式的基本性质，把分式的分子、分母同除以它们的公因式，把分式化简，因此约分的关键在于正确寻找到分式分子、分母中的公因式。 附录： 一、本讲教学内容及要求 单元 节次 知识要点 教学要求 分 式 分式 （1）分式概念 （2）有理式概念 A（了解） A 分式的基本性质 （1）分式的基本性质 （2）分式的符号法则 D（灵活运用） C（掌握） 分式的约分 （1）约分和最简分式 （2）约分的根据 （3）分式的约分 B（理解） C D 二、本讲技能要求 1、了解分式、有理式、最简分式、最简公分母的概念，会利用这些概念进行判断。 2、掌握分式有意义的条件，分式为零的条件及分式的基本性质，掌握分式的变号法则，能熟练地进行约分。 3、重要数学思想 通过本讲中分式性质及分式约分进一步理解转化思想； 对本章中数、式通性的理解，进一步掌握类比归纳的思维方法。 课外拓展北 京 四 中一条逻辑锁链：定义公理定理 几何学创建的初期，内容还是繁杂和混乱的，有必要将这些杂乱无章的几何命题整理一下。用什么方法来整理呢？人们找到了一种非常好的方法，就是用逻辑做为锁链，把已有的几何命题穿连起来，形成一个有序的整体。第一个完成这个工作的是古希腊数学家欧几里得(Euclid约公元前400前347年)。 有关欧几里得的生平人们知道的很少。他早年可能在雅典受过教育，大约在公元前3百多年左右，在托勒密王的邀请下，来到亚历山大城教书，他是一位出色的教育家。传说一个不爱学习的青年学生，在开始学习几何学的第一个命题时就问欧几里得：“我学习几何学之后将得到什么？”欧几里得对旁边的学生说：“给他三个钱币叫他走，因为他想在学习中捞得实利。” 欧几里得写过不少数学和物理著作，但是最有名的是几何原本。这本书统御几何学两千多年，仅从15世纪到19世纪末，就用各种文字出版了1000多版。几何原本大概是为学生写的一本教科书。这本书把古希腊数学家提出的非常丰富的几何知识，用一条逻辑的锁链穿了起来，它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。 几何原本有13卷，共467个命题。在每一卷中都有一系列的命题和定理，其数目从10100不等。命题和定理的前面是定义。最著名的是第一卷，在第一卷中，有23个定义，在定义之后是5条公设和5条公理。比如，在定义部分，欧几里得指出了什么是点、线、面。 （1）点是没有部分的那种东西（也就是我们平常说的点是没有大小的。） （2）线是没有宽度的那种东西。 （3）面是只有长度和宽度的那种东西。 欧几里得把公设做为应用于几何学的真理。5条公设是： （1）从任一点到任一点作直线是可能的。 （2）把有限直线不断循直线延长是可能的。 （3）以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的。 （4）所有直角彼此相等。 （5）若一直线与两条直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交与该侧的一点。 欧几里得又把适用于一切科学的真理叫公理。5条公理是： （1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。 （2）等量加等量，总量仍相等。 （3）等量减等量，余量仍相等。 （4）彼此重合的东西是相等的。 （5）整体大于部分。 其余各卷虽然不如第一卷那么出名，在数学上却更高深一些。第二卷是第一卷的继续。第三、第四卷是讨论圆与圆、圆与直线的关系。第五、第六卷是讲比例论和相似三角形的。第七、八、九卷主要是论述正整数的性质。第十卷讲的是无理数。第十一、十二、十三卷讲空间图形，也就是立体几何。 几何原本几乎包括了我们初中所学平面几何的全部的内容。从古到今的数学家都认真钻研过这本书。这里要特别提一下欧几里得的作图工具。欧几里得的直尺没有刻度，使用它只能过任意两点作一条直线。欧几里得的圆规两条腿不能活动，一离开纸就散架了。它只能以一点为圆心，过另一点作圆。它也不能截一条线段到别处。 刚开始学习几何，由于还没有掌握几何论证的方法，会感到几何很难学。传说，有一次托勒密王召见欧几里得，询问如何解决学习几何的困难。 托勒密王问：“学习几何学，除了你的几何原本外，还有没有其他捷径？” 欧几里得回答：“在几何学中没有专给国王铺设的大道。” 欧几里得尊重科学，不畏权势的精神被后世传颂。 中考解析分式的意义和性质 考题例析 1（福州市）当x 时，分式有意义。评析：使分式有意义，即分母不等于零，解不等式即可。求出字母取值为x1。 2（徐州市）当x= 时，分式无意义；当x= 时，分式的值为零。 答案：1，-6 3（柳州）要使分式的值为零，则x=_. 解：由得 x=-2. 答：应填-2。 4. （广州市）化简：得_ 答案： 5（山西）若将分式（a、b均为正数）中的字母a、b的值分别扩大为原来的2倍，则公式的值（ ） A、扩大为原来的2倍B、缩小为原来的 C、不变 D、缩小原来的 分析：分析中a、b的值分别扩大为原来的2倍，则原分式变形为=，这样相当于分子扩大了2倍，分母扩大了4倍。 故选（B）。 6（石家庄市）下列各式中正确的是（ ） AB CD 答案：C 7（吉林）若x2+x-2=0, 则x2+x-=_. 分析：由条件x2+x-2=0得x2+x=2, 用整体代入法求值较方便。如果考虑解方程x2+x-2=0得出x，再代入求值，难度就大了。 解：由x2+x-2=0得x2+x=2 x2+x-=(x2+x)- =2-=1. 答：应填：1。 8（天津）若4y-3x=0, 则=_。 解：由条件得：y=x, 原式=+1=+1= 答：应填。 在线测试窗体顶端选择题1当a=-2时，分式的值（ ）。 A等于零B不存在C等于D等于- 窗体底端窗体顶端2下列说法中，错误的是（ ） A分式的分子与分母同时改变符号，分式的值不变 B分式的分子与分母同除以一个非零常数m，分式的值不变 C分式本身的符号、分子与分母的符号，同时改变其中任何两个，分式的值不变 D分式的分子与分母同时平方，分式的值不变 窗体底端窗体顶端3 把分式中的a, b都扩大5倍，则分式的值（ ） A扩大5倍 B缩小5倍C扩大8倍D不改变 窗体底端窗体顶端4 要使成立，则未知分子x应等于（ ） A(a+b)2B(a-b)2 C(a+b)(a-b)Da+b 窗体底端窗体顶端5不改变分式的值，把-的分子、分母都按a的降幂排列，并且使最高次项的系数为正，应该等于（ ） A-BCD 窗体底端窗体顶端6给出下述变形： ； ； ； 其中正确的变形是（ ） A和B和C和D和 窗体底端窗体顶端7给出下述变形： ； -； -； 其中正确的变形的个数为（ ） A1个B2个C3个D4个 窗体底端窗体顶端8当式子的值为零时，x的值是（） A5B5 C1或5D5或5 答案与解析 答案： 1、B2、D3、D4、A5、B6、B7、D8、B解析：1、解： 当a=-2时，a+2=0， a2-4=(a-2)(a+2)=0. 因此当a=-2时，分式的值不存在。 说明“分式没有意义”和“分式的值等于零”是两个根本不同的概念，所谓“分式没有意义”是指分式的分母的值为零；而“分式的值等于零”是指在分式有意义的前提下，分子的值为零。 6、解：根据分式的基本性质，从左到右的变形是分子、分母同时除以一个整式a，a是分母的因式，所以a0，所以分子、分母同时除以的整式a是不等于零的整式，故是正确的变形（由于给定的的分子是有意义的，显然有a0，b0）. 由于的分子、分母同乘以整式c，但c是否为零是无法确定的，故不正确。 由的分子、分母同除以a-2b，且a-2b0，故是正确的变形。 由于分子除以ab，而分母只有第一项除以ab，这种变形不符合分式的基本性质，故不正确。 只有和是正确的变形，应选B。 7、解：根据分式的基本性质，分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不改变，所以上述变形都是正确的，应选D。 北 京 四 中编稿：史卫红审稿：谷丹责编：姚一民 分式的运算 一.通分的方法: 1.分式通分的涵义和分数通分的涵义有类似的地方; (1)把异分母分式化为同分母分式; (2)同时必须使化得的分式和原来的分式分别相等; (3)通分的根据是分式的基本性质,且取各分式分母的最简公分母,否则使运算变得烦琐. 2.求最简公分母是通分的关键,其法则是: (1)取各分母系数的最小公倍数; (2)凡出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取; (3)相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最高的. 这样取出的因式的积,就是最简公分母. 例1.通分: 解: 8,12,20的最小公倍数为120,字母因式x、y、z的最高次幂分别为x3、y3、z2,所以最简公分母是120x3y3z2. . 通分过程中,如果字母的系数是负数,一般先把负号提到分式的前面. 例2.通分: 解:将分母分解因式: a2-b2=(a+b)(a-b);b-a=-(a-b) 最简公分母为(a+b)(a-b)2 分子,分母同乘以(a-b) =分子作整式乘法 分子,分母同乘以(a+b) =分子作整式乘法 分子,分母同乘以(a+b)(a-b) =-分子作整式乘法 说明: (1)分式的通分必须注意整个分子和整个分母,分母是多项式时,必须先分解因式,分子是多项式时,要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘,而不能只同其中某一项相乘。 (2)通分是和约分相反的一种变换.约分是把分子和分母的所有公因式约去.将分式化为较简单的形式;通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式,使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式。约分是对一个分式而言的;通分则是对两个或两个以上的分式来说的。 二.分式的乘除法: 1.同分数乘除法类似,分式乘除法的法则用式子表示是： 其中a、b、c、d可以代表数也可以代表含有字母的整式. 2.分式乘除法的运算.归根到底是乘法的运算,当分子和分母是多项式时,一般应先进行因式分解,再约分。 3.整式和分式进行运算时,可以把整式看成分母为1的分式。 4.做分式乘除混合运算时,要注意运算顺序,乘除法是同级运算,要严格按照由左到右的顺序进行运算.切不可打乱这个运算顺序。 例如:ab=a=切不可以: ab= a1=a 例1、计算：（1）（2）(-) 解: (1)法(一)分子、分母分别相乘得一个分式再进行约分: = 法(二)先约分,再相乘 = (2)(-) =（-）=- 说明分式的除法,只要将除式的分子和分母颠倒位置,就可以转化为乘法来做,并注意符号法则,一般先确定符号,然后演算. 根据乘法法则,应先化成一个分式后再进行约分,如(1)题中的法(一)计算,但在实际演算中,这样的做法就显得繁琐,因此往往在运算过程中,先约分,再相乘,所得的结果是相同的. 如(1)题中的法(二)计算. 例2.计算:(x+3) 解: (x+3) =(x+3)(各分子,分母按x降幂排列) =（统一为乘法运算） =（分子，分母因式分解） =-（约分） 说明:整式(x+3)可以写成分式形式:颠倒除式后为.上例的右侧说明就是乘除混合运算的步骤。要注意运算顺序,在同级运算中,如果没有括号,就应按照由左到右的顺序进行计算.当分式的分子分母是多项式时,应先进行因式分解,分解时,应先把含有同一个字母的多项式按降幂(或升幂)排列好,再进行分解因式,化成最简分式后再进行运算,这样就容易看出相同的因式,便于约分。 三.分式的乘方: 1.分式乘方法则用式子表示是：()n=(n是正整数,b0) 2.带有负号的分式乘方,其结果的符号与负数的乘方的规律相同,即负数的偶次方为正,奇次方为负.在演算带有负号的分式乘方时,应先决定结果的符号,再做其它的运算。 3.分式乘除,乘方混合运算时,要先乘方,再化除为乘,最后进行约分并把结果化成最简分式或整式。 例1.计算: (-)2(-)3(-)4 解: (-)2(-)3(-)4 =(分式乘方法则) =(统一为乘法运算) =-(分式乘法及分式变号法则) =-a5(约分) 说明:上例的右侧说明就是乘方,乘除混合运算的步骤。 例2.计算:()2()3 解: ()2()3 =(分式乘方法则) =(统一为乘法运算) =(分子,分母因式分解及分式变号法则) =(约分) =(分子作整式乘法运算) 说明:运算时特别注意符号,在做题时,先判断符号,如负数的奇次方为负,如(-a)3=-a3,负数的偶次方为正,同号相乘除为正,如，异号相乘除为负.注意(b-a)3=-(a-b)3的变形。 四.分式的加减法: 1.分式的加减法,可以依照分数加减法的法则来进行。分为同分母的加减法和异分母的加减法。而异分母的加减法是通过通分转化为同分母的加减法进行运算的。 2.分母相同的分式的加减法,用式子表示为: 3.分母不相同的分式的加减法,用式子表示为:. 4.当一个分式和一个整式相加减时,要把这个整式看作分母为1的式子进行通分。 例1.计算: 解:三个分式的分母相同,只要对分子进行加减: =（分母不变，分子相加减） =（应用去括号法则） =（分子合并同类项） =（约分） 说明:注意分子相加减是指把各个分式的分子的整体相加减.如上例的三个分子相加减为: (4x+6y)+(2y-3x)-(x+2y),尤其是-(x+2y)注意括号的作用. 例2.计算: (1)（2）a-b 解:（1） =（按x的降幂排列） =（把分母进行分解因式） =（通分） =（分母不变，分子相加减） =（用去括号法则，去掉括号） =（分子合并同类项） =（分子再进行分解因式） =（约分） （2）法（一） a-b =（分别通分） =（分别进行加减法运算） =（分子部分去括号） =（分子合并同类项） =（再通分） =（用分式加法法则运算） （2）法（二）： 原式= = = = 五.分式的混合运算: 1.分式混合运算的顺序是:第一级运算是加法和减法;第二级运算是乘法和除法;第三级运算是乘方.如果一个式子里含有几级运算,那么先做第三级运算,再作第二级运算,最后再做第一级运算;如果有括号先做括号里面的运算.如顺口溜:先三后二再做一,有了括号先做里.当有多层括号时,先算括号内的运算,从里向外(). 2.运算中不要出现以下错误:； ()3=;=0 例1.计算:() 解：() =(括号内分母分解因式) =(通分) =（去括号及颠倒分子，分母） =（分子合并同类项） =（约分） 例2计算：(1+)(a-4+)-3(-1) 解：(1+)(a-4+)-3（-1） =-3（）（通分） =-3（合并同类项及分解因式） =-3（约分） =（通分及颠倒分子和分母） =（分解因式） =-（a+1）（约分） =-a-1（去括号） 说明:对含有加,减,乘,除及带括号的混合运算,要先弄清运算顺序,有括号的按括号法则由里向外运算. 例3.计算:（） 解: （） =（对分母进行分解因式） =（除法变乘法） =（利用乘法分配律） =（分别约分） =（同分母减法法则） =（合并同类项） =（分子分解因式） =-1 说明:如果本题先计算括号内异分母减法后再计算除法就显得比较繁琐,本题运用了分配律去计算显得灵巧,简单.计算中注意应用技巧. 例4.计算:-(-) 解:-(-) =-（部分通分及除变乘） =-（部分加法运算） =-（同分母相减） =-（合并同类项） =-（分式乘法运算） =（通分及减法运算） =（合并同类项） =（分子进行分解因式） =（约分） 说明:本题括号内的分式运算,若采用一次通分的方法,会给计算带来不便,而采用逐步合并的方法,较为简捷;分式的四则混合运算往往计算量较大,因此要先分析好方法,再按步计算,切不可急于求成. 一.本讲教学内容及要求: 单元 节次 知识要点 教学要求 分式 分式的乘除法 (4)分式的乘法,除法,乘方法则 (5)分式的乘法,除法,乘方运算 C D 分式的加减法 (1)通分和最简公分母概念 (2)分式的通分. (3)同分母分式加减法法则 (4)同分母分式加减法运算 (5)异分母分式加减法法则 (6)异分母分式加减法运算 (7)分式的混合运算. A D C D C D D 二.本讲技能要求: 注:A.了解. B.理解. C.掌握 D.灵活运用 1.熟练地进行通分. 2.掌握分式的乘除、乘方法则及加减运算法则,会进行简单的分式运算。 三.重要数学思想. 通过分式运算,进一步理解转化的数学思想,类比的思想。 四.主要数学能力. 1.在运用法则公式,性质进行分式化简计算中,注意寻求合理,简捷的运算途径,培养运算能力. 2.在分式运算中,注意培养逻辑思维能力. 课外拓展北 京 四 中动物中的数学“天才” 蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。 丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？ 蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。 冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。 真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。 中考解析北 京 四 中考题例析 1（四川省）化简-的结果是 . 评析：注意分式本身的化简，首先将各分式的分母与分子分解因式，不是最简分式的要约分化成最简分式，其次找到最简公分母并通分计算，最后结果要化成最简分式或整式。 答案：x+4 2（上海市） 计算： 评析：分式的加减运算，关键是通分，而通分的关键是确定公分母，当公分母确定后，再用分式的基本性质，化异分母分式为同分母分式进行加减运算。 答案： 3（北京市海淀区）计算： 评析：方法是先通分（对分式的基本性质要扎实，熟练）再加减，最后还要约分，化成最简分式。 解： = = = = =. 4（四川省）下列运算中，正确的是 （A）(-a2)3=a6 （B）a2a-1=a3 （C）=1 （D） 答案：B 评析：掌握运算法则，并用法则逐一计算或用法则的某一部分判定其正确性，如： A、(a2)3结果必有“一”号而判断为错误。 B、a2a-1=a2=a2a=a3，结果正确。 C、将，变形有-a-b=a+b，判断为错误。 D、的公分母是2a，分子为常数，故运算错误。 5（福州市）化简：(-)(x-). 解：原式=- =(-) = =x+2. 评析：注意分式本身的化简，首先将各分式的分子与分母分别分解因式，不是最简分式的要化成最简分式，然后需加减运算的要找到最高公分母通分进行加减运算，需乘除运算的要约分，最后把结果化成最简分式或整式。 6（江西省）化简：（2+）. 解：原式=(a+b) =(a+b) =. 评析：分式的混合运算主要是通分和约分，约分的关键是因式分解，掌握上述法则非常重要。 在线测试窗体顶端选择题A组： 1化简(4x2-y2)=_ A. 3x-yB. 2x+yC. 2x-yD. 2 窗体底端窗体顶端2化简-+=_ A. 1B. 0C.D. -1 窗体底端窗体顶端3化简(1-)(-1)=_ A. B. C. -D. x-1 窗体底端窗体顶端4化简-=_ A. B. C. -D. 窗体底端窗体顶端5化简(1+-)=_ A. -1B.C. D.1 窗体底端窗体顶端B组： 1计算-+=_ A.1B. 0C. -1D. 2 窗体底端窗体顶端2已知x+=5，不求x的值，计算x4+的值_ A.425B.72C.625D.527 窗体底端窗体顶端3已知ab=1，a-1，求+的值_. A.-1B.1C.0D.2 答案与解析 答案： A组：1.B2.B3.C4.C5.A B组：1.B2.D3.B 解析：A组：1解： (4x2-y2)=(4x2-y2)=2x+y. 2解：-+ =+- =+- =0. 3解： (1-)(-1)= =-. 4解： - =- =-=-. 5解： (1+-) = =-1 B组： 1解：如果使用一次通分的方法，则运算比较麻烦。若采用逐步合并法，则计算要简便的多，凡分式分母中依次能用平方差公式的基本上都可采用。 原式=-+ =-+=+=0 2解：分析：由于都是互为倒数的关系，因此，利用乘法公式进行恒等变形。 原式=(x2+)2-2=(x+)2-22-2=(52-2)2-2=527. 3解： ab=1， a=. +=+=+=1. 分式的应用 一、分式方程组的解法。 1、解分式方程组的指导思想 解分式方程时用转化思想采用去分母的方法将分式方程的分母去掉化为整式方程，再解整式方程，最后验根，完成了解分式方程的过程。解分式方程组也是用解分式方程的思想将分式方程组转化为整式方程组来解。 2、解分式方程组 例1，解方程组： 分析：此题是分式方程组，可采用去分母的方法将方程组转化为整式方程组来解。 解：去分母：将方程（1）两边同乘以xy，得：4y+5x=0（3） 将方程（2）两边同乘以(x+4)(y-3)得：x(y-3)-(y+3)(x+4)=0 整理方程：xy-3x-(xy+4y+3x+12)=0 xy-3x-xy-4y-3x-12=06x+4y=-12（4） 原方程组化为： 解方程组：(4)-(3)得：x=-12 把x=-12代入(3)，5(-12)+4y=0 y=15 将 代入原方程组检验适合 原方程组的解为 例2，解方程组 分析：按常规想法将两个分式方程去分母后变形为整式方程组，去解即按例1方法去解此方程组，会出现高次方程，目前我们还不会解。因此观察特点，特别是反复出现的字母形式，再利用换元思想（或叫整体代换）去解这个方程组。 解：设x+y=m,=n 则原方程组变形为 化简整理方程组：将方程(1)两边同乘以6，得：2m-18n=-1 (3) 将方程（2）两边同乘以2得：m+4n=6 (4) 原方程组化为 解方程组：(3)-(4)2 n= 把n=代入(4)， m+4=6 m=4 即 再解方程组：（5）+（6）得：2x=6 x=3 将x=3代入 （5）得：3+y=4y=1 经检验：是原方程组的解。 注：1、换元法是初中数学中要掌握的一种重要的数学方法，尤其是换元法在各类的解方程中的运用，更为重要。它可以通过换元手段，使复杂的问题变得简单，疑难问题变得容易，在学习数学知识的同时，一定要掌握一些典型的数学方法。这种换元的方法将来在初三还会专门学习。 2、“换元”是求原方程未知数的值的一种手段，不是目的。目的是求原来未知数（如x,y）的值。所以当求得辅助未知数（如m,n）的值以后，一定要把原来未知数（x,y）的值求出来。 3、由以上两个例题可以看出，把分式方程组转化为整式方程组，可以用去分母的方法，也可以用换元法。究竞用哪种方法合适，要具体问题具体分析。 二、列分式方程（组）解应用题 1、列分式方程解应用题能进一步培养理论联系实际和分析问题，解决问题的能力。它也是本章的一个难点。但是只要我们仔细审题，认真分析题目中所给数量关系，再联系到一元一次方程解应用题的一些方法和步骤，这个难点也是可以突破的。 2、列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤基本相同，其主要区别是量与量之间数量关系的代数式可以是整式，也可以是分式，分式方程需要验根。 3、列分式方程解应用题的基本步骤可归纳为五个字：设、找、列、解、答。即： （1）审题，设“设” （2）根据题意找等量关系：“找” （3）列代数式，列方程“列” （4）解方程并检验“解” （5）写答案“答” 4、分类介绍一些应用题 （1）追及问题 在解“追及问题”时，常需依时间列方程来解决问题。 例3，某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班的师生乘汽车出发，结果两班学生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少？ 分析：这个题目是个行程问题的“追及”问题，那么基本量距离，速度，时间存在着距离=速度时间的基本关系。在找相等关系时，要按基本数量关系去检查，看是否表示同一种量。 解法一：设自行车的速度是x千米/时，则汽车的速度是2.5x千米/时，45分钟=小时=小时 由题意可列： 化简为： 解方程：去分母，两边同乘以4x得：80-32=3x x=16 经检验x=16是分式方程解，并符合题意 2.5x=2.516=40 答：自行车的速度是16千米/时，汽车速度是40千米/时。 解法2：设自行车的速度为x千米/时，汽车的速度为y千米/时。 根据题意，得 消去y，得-=， 解之，得。经检验是分式方程组的解，并符合题意 答：自行车的速度是16千米/时，汽车的速度是40千米/时。 注：1、设未知数时要有单位，速度单位不要设成长度单位。2、列方程时单位一定要统一，如例题中的45分钟一定要化为小时。3、解完分式方程后，又要验根又要验题意。还要有答题。 （2）相向而行问题： 解“相向而行问题”时，也需要依时间列方程解之。 例4，甲、乙两人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米。 解：设乙每小时走x千米，则相遇后甲每小时走(x+1)千米。 因为甲乙两人同时同速出发，则相遇时路程各走了一半，为10公里。 依题意得： 去分母：方程两边同乘以2x(x+1)，20(x+1)=20x+x(x+1) 化简整理方程：x2+x-20=0 x2+x-20=(x-4)(x+5) (x-4)(x+5)=0 x-4=0或x+5=0 x1=4或x2=-5 经检验，x1=4，x2=-5都是原方程的解，但速度为负数不合题意，舍去。x=4 答：乙每小时走4千米。 说明：整理方程后虽然是个一元二次方程：x2+x-20=0，我们可用因式分解法将左边：x2+x-20=(x-4)(x+5)，进行因式分解，再应用ab=0则a=0或b=0的结论来解。 （3）合作工程问题： 解合作工程问题，也常常需要依时间列方程来解应用题。 例5甲、乙两个小组合修一台机器，2小时完成。已知甲小组单独修需要3小时，求乙组单独修需几小时？ 分析：工程问题常常把全部工作看成1（有时也可以看成a），那么工作效率= 解：设乙小组单独修需x小时，则乙小组每小时的工作量（又称工作效率）为； 由题意得：+=1，即= x=6 经检验：x=6是原方程的解且符合题意 答：乙小组单独修需要6小时。 工程问题常用关系式为：工作量=工作效率工作时间 例6要定期完成一件工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做要超期3天才能完成，现甲乙合作2天，余下的由乙单独做，刚好按期完成，求甲乙单独做全部工程所需天数。 解：设甲单独完成需要x天，则乙单独完成需(x+3)天， 依题意：2(+)+=1 化简整理方程：+=1 去分母：方程两边同乘以x(x+3)：2(x+3)+x2=x(x+3) 化简整理方程：2x+6=3x，x=6 经检验x=6是原方程的解且符合题意， x+3=6+3=9 答：甲单独作需要6天，乙单独作需要9天。 注：本题的关键量在于寻找工作量。甲的工作量为：甲的工作效率甲的工作时间，即2；乙的工作量为：乙的工作效率乙的工作时间即：2+或者可分析为乙从头至尾都在工作，则它的工作时间即为甲单做工作时间x，乙的工作量也为，则可直接列方程为+=1 例7打印一份稿件，甲打30分钟后由乙继续再打25分钟就完成。第二次再打这份稿件，乙打30分钟后由甲继续再打24分钟就完成。问甲、乙二人单独打这份稿件各需多少分钟。 解：设甲、乙单独打这份稿件需要的分钟数分别为x, y 由题意可得 设=A，=B， 则原方程组为 (1)-(2)：2A=，A= 将A=代入(1)，6+5B=，B= 经检验，x=60, y