2009-2010学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A.pdf

2009 2010 学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷 A 卷 答案 北 京 交 通 大 学 北 京 交 通 大 学 2009 2010 学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷 A卷 答案 2009 2010 学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷 A卷 答案 一 本题满分一 本题满分 8 分 分 某城市有汽车某城市有汽车 100000 辆 牌照编号从辆 牌照编号从 00000 到到 99999 一人进城 偶然遇到一辆车 求该车牌照号 中含有数字 一人进城 偶然遇到一辆车 求该车牌照号 中含有数字 8 的概率 的概率 解 解 设事件 8汽车牌照号中含有数字 A 所求概率为 AP 2 分 40951 0 10 9 11 5 5 APAP 6 分 二 本题满分二 本题满分 8 分 分 设随机事件设随机事件A B C满足 满足 4 1 CPBPAP 0 ABP 16 1 BCPACP 求 随机事件 求 随机事件A B C都不发生的概率 都不发生的概率 解 解 由于 所以由概率的非负性以及题设 得ABABC 00 ABPABCP 因此有 2 分 0 ABCP 所求概率为 CBAP 注意到CBACBA 因此有 2 分 CBAPCBAP 1 2 分 ABCPBCPACPABPCPBPAP 1 8 3 0 16 1 16 1 0 4 1 4 1 4 1 1 2 分 三 本题满分三 本题满分 8 分 分 某人向同一目标进行独立重复射击 每次射击时命中目标的概率均为 某人向同一目标进行独立重复射击 每次射击时命中目标的概率均为 p 10 10000 1000 1000 2 x x x xp 求某只电子元件的使用寿命大于求某只电子元件的使用寿命大于 1500 小时的概率 小时的概率 4 分 分 已知某只电子元件的使用寿命大于已知某只电子元件的使用寿命大于 1500 小时 求该元件的使用寿命大于小时 求该元件的使用寿命大于 2000 小时的概率 小时的概率 4 分 分 解 解 设 则 小时于电子元件的使用寿命大1500 A 3 210001000 1500 15001500 2 1500 x dx x dxxpXPAP 4分 设 则所求概率为 小时于电子元件的使用寿命大0002 B ABP AP XP AP XXP AP ABP ABP 20002000 1500 2分 而 2 110001000 2000 20002000 2 2000 x dx x dxxpXP 所以 4 3 3 2 2 1 2000 AP XP ABP 2分 五 本题满分五 本题满分 8 分 分 设随机变量设随机变量X服从区间上的均匀分布 而随机变量服从区间上的均匀分布 而随机变量 2 1 01 01 X X Y 求数学期望 求数学期望 YE 解 解 第 2 页 共 7 页 2009 2010 学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷 A 卷 答案 1111 YPYPYE 2分 0101 XPXP 2分 0 1 2 0 0 0 3 1 3 1 dxdxdxxpdxxp XX 3 1 3 1 3 2 4分 六 本题满分六 本题满分 8 分 分 设在时间设在时间t 分钟 内 通过某路口的汽车数 分钟 内 通过某路口的汽车数 tX服从参数为服从参数为t 的的 Poisson 泊松 分布 其中 泊松 分布 其中0 为常数 已知在为常数 已知在 1 分钟内没有汽车通过的概率为 求在分钟内没有汽车通过的概率为 求在 2 分钟内至少有分钟内至少有 1 辆汽车通过的概率 辆汽车通过的概率 2 0 解 解 的分布列为 tX t k e k t ktXP L 2 1 0 k 2分 因此在分钟内 通过的汽车数为 1 t e k kXP k 1 L 2 1 0 k 由题设 所以 2 001 eXP5ln 3分 因此 25 24 25 1 11 0 52 102112 5ln22 0 eeXPXP 3分 七 本题满分七 本题满分 8 分 分 设二维随机变量的联合密度函数为设二维随机变量的联合密度函数为 YX 其它0 20 101 xyx yxf 求 求 随机变量随机变量Y边缘密度函数 边缘密度函数 4 分 分 方差方差 yfY YD 4 分 分 解 解 dxyxfyfY 因此 当或者时 0 y2 y 0 yfY 1分 当时 20 y 第 3 页 共 7 页 2009 2010 学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷 A 卷 答案 2 2 0 y dxdxyxfyf y Y 所以 其它0 20 2 y y yfY 3分 3 4 62 1 2 0 3 2 0 2 y dyydyyyfYE Y 2 82 1 2 0 4 2 0 322 y dyydyyfyYE Y 2分 所以 9 2 9 16 2 3 4 2 2 2 2 YEYEYD 2分 八 本题满分八 本题满分 8 分 分 现有奖券现有奖券 10000 张 其中一等奖一张 奖金张 其中一等奖一张 奖金 1000 元 二等奖元 二等奖 10 张 每张奖金张 每张奖金 200 元 三等奖元 三等奖 100 张 每张奖金张 每张奖金 10 元 四等奖元 四等奖 1000 张 每张奖金张 每张奖金 2 元 而购买每张奖券元 而购买每张奖券 2 元 试计算买一张奖券的平均 收益 元 试计算买一张奖券的平均 收益 解 解 设X 购买一张奖券所得的奖金 则X的分布律为 X 1000 200 10 2 P 10000 1 10000 10 10000 100 10000 1000 所以 2分 5 3 10000 1000 2 10000 100 10 10000 10 200 10000 1 1000 XE 4分 再令Y表示购买一张奖券的收益 则2 XY 因此 5 7 2 5 3 2 XEYE 元 2分 九 本题满分九 本题满分 8 分 分 两家电影院竞争两家电影院竞争 1000 名观众 假设每位观众等可能地选择两个电影院中的一个 而且互不影响 试 用中心极限定理近似计算 甲电影院应设多少个座位 才能保证 因缺少座位而使观众离去 的概率不超 过 名观众 假设每位观众等可能地选择两个电影院中的一个 而且互不影响 试 用中心极限定理近似计算 甲电影院应设多少个座位 才能保证 因缺少座位而使观众离去 的概率不超 过 1 第 4 页 共 7 页 2009 2010 学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷 A 卷 答案 附 标准正态分布的分布函数附 标准正态分布的分布函数 1 0N x 的某些数值表的某些数值表 x 1 96 2 06 2 17 2 33 2 38 x 0 975 0 98 0 985 0 99 0 995 解 解 设甲电影院应设个座位才符合要求 N 设1000名观众中有X名选择甲电影院 则 2 1 1000 BX 1分 由题意 而 99 0 NXP 500 2 1 1000 XE 250 2 1 2 1 1000 XD 2分 所以 250 500 250 500NX P XD XEN XD XEX PNXP 99 0 250 500 N 3分 查表得 33 2 250 500 N 所以有 84 53625033 2 500 N 所以 应至少设537个座位 才符合要求 2分 十 本题满分十 本题满分 8 分 分 设总体设总体X的密度函数为的密度函数为 其它0 102xx xf n XXX 21 L是从总体是从总体X中抽取的一个简单随机样本 令中抽取的一个简单随机样本 令 nn XXXX max 21 L 试求的密度函数 试求的密度函数 n X xf n 解 解 总体X的分布函数为 11 10 00 2 x xx x xF 3分 因此的密度函数为 n X 第 5 页 共 7 页 2009 2010 学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷 A 卷 答案 4分 其它0 102 1 2 1xxxn xfxFnxf n n n 1分 x x x xf 0 1 其中其中1 0 为参数 为参数 是从总体是从总体 n XXX 21 LX中抽取的一个简单随机样本 中抽取的一个简单随机样本 当当1 时 求未知参数时 求未知参数 的矩估计量 的矩估计量 6 分 分 当当 M 1 时 求未知参数时 求未知参数 的最大似然估计量 的最大似然估计量 6 分 分 L 解 解 当1 时 密度函数为 10 1 1 1 x xx xf 所以 1 11 1 dxxdxxxdxxxfXE 2分 解方程 1 XE 得解 1 XE XE 2分 将替换成 XEX 得未知参数 的矩估计量为 1 X X M 2分 当1 时 密度函数为 10 1 1 1 x xx xf 所以 似然函数为 1 1 1 i n n i i xxfL nixi 1 1L 2 分 所以 n xxxnLL 21 ln1lnln 第 6 页 共 7 页 2009 2010 学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷 A 卷 答案 对 求导 得 n xxx nL L 21 ln ln 2 分 令 0 ln L 得方程 0ln 21 n xxx n L 解得 n xxx n L 21 ln 因此 的最大似然估计量为 n XXX n L 21 ln 2 分 十二 本题满分十二 本题满分 8 分 分 设总体设总体 2 NX 是从总体是从总体 n XXX 21 LX中抽取的一个简单随机样本 中抽取的一个简单随机样本 X与分 别表示样本均值与样本方差 令 与分 别表示样本均值与样本方差 令 2 S