第1章复数与复变函数(答案).pdf

1 第 1 章 复数与复变函数 1 1 复数及复平面复数及复平面 1 1 若 1 1 n n zz z n是正整数 则 A Re 0 B Im 0 C arg 0 D arg 解解 由 1z 知 1 z z 因此 1 nnn n zzz z 为实数 故Im 0 选 B 1z 时 n z 1 nn zz 1 2 33 13i13i 22 nn A 1 2 n B 1 1 2 n C 2 D 2 解解 由 2 i 3 13i e 2 及 2 i 3 13i e 2 知 等式中两项皆为 1 选 C 1 3 i 1e n A 2 cos 2 nn B 2 sin 2 nn C 2 2 2 1cos n n D 2 2 2 1sin n n 解解 i222 1 e 1 cos sin2 1 cos 故 i 2 2 1e 2 1c o s n nn 选 C 本题容易错选 A 项 因为2 1 2 cos 4cos 2 得 i 1e 2cos 2 错在cos 2 应加上绝对值 1 4 42 max i 1 zzz A 5 2 B 11 4 C 15 2 D 2 解解 由 4242 i 2 zzzz 而当 i 4 ez 时 i 4i 242 2 e1 iie1 i 2zzzz 故最大值为 2 选 D 用不等式确定最大值是常用方法 1 5 对任意复数 12 z z 证明不等式 121212 zzzzzz 证证 1 12121212 1122122 zzzzzzzz zzzzzzz 故 1212 zzzz 同理 2112 zzzz 即 121212 zzzzzz 也就是 1212 zzzz 证证 2 代数法 设i 1 2 kkk zxy k 则只要证 222 121122 2 zzzzzz 即只要证 2222 12121122 x xy yxyxy 1 只要证 22222 12121122 x xy yxyxy 此不等式等价于 2222 12211122 20 x yx yx y x y 由于 kk xy皆是实数 上式左边是完全平方式 故此不等式成立 也就是 2 1212 zzzz 成立 以下同证 1 证证 3 三角法 设 12 ii 1122 e e zrzr 则 222 1211221122 coscos sinsin zzrrrr 2222 121 212121 2 2cos 2r rrrr rrr 2 1212 rrzz 即 1212 zzzz 成立 以下同证 1 1 6 当1 z时 求 n z的最大与最小值 n是正整数 a是复常数 解解 1 代数法 由 1 5 题知 1 azzzz nnn 我们知道 当1 n z 且向量 n z与 夹角为 0 时右边不等式等号成立 故 n z的最大 值是 1 对左边不等式 要分情况讨论 1 若1 则 1 nn zz等号当 1 z且 n z与 方向相反时成 立 这时最小值是 1 2 若1 则由0 n z 当 n z时等号成立 最小值为 0 总之 不论 为何复数 1 n z的最大值是 1 而当1 时 最小值为1 当1 时 最小值为 0 解解 2 几何法 我们仅就1 加以证明 由1 z知1 n z 即 n z是闭单位圆上一 点 n z表示 n z点到 点的距离 很明显 初等几何 当 n z位于如图 1 2 的 1 的位置 时 n z与 距离最大 且最大值就是 1 当 n z位于 2 点时 n z最小 最小 值为1 1 的情况请读者自己研究 1 7 若 123 zzz 且 123 0zzz 证明以 123 z z z为顶点的三角形是正三角形 证证 1 记 1 za 则 22222 1232323 2 zzzzzzz 得 22 23 3 zza 同样 222 3112 3zzzza 即得 213213 zzzzzz 命题得证 证证 2 设 1 2 3 k i k zaek 因而有 312 0 iii a eee 即 123123 coscoscossinsinsin0 不妨设 123 02 则 2222 123123 coscos cos sinsin sin 于是 1212 22 coscossi nsi n 1 即 2121 12 cos 23 同理 32 2 3 说明 123 z zz在圆周上且 1 223 z zz z与 3 1 z z的度数均为 2 3 所以 123 z z z为顶点的三角形是正三角形 1 8 证明复数形式的柯西 Cauchy 不等式 222 111 nnn kkkk kkk a 3 证 对任意n个复数 由三角不等式 知 11 nn kkkk kk a 见 1 5 题 再由关于实数的柯西不等式得 2222 1111 nnnn kkkkkk kkkk a 说明它的几何意义 说明它的几何意义 1 9 若复数 123 z zz满足等式 1321 3123 zzzz zzzz 证明 213123 zzzzzz 证证 由已知等式取模可得 2 212313 zzzzzz 1 又由已知等式知 21311323 3123 zzzzzzzz zzzz 即 2312 3123 zzzz zzzz 从而有 2 123123 zzzzzz 2 1 2 两式相比得 2 2313 3 1323 zzzz zzzz 故 3123 zzzz 代入 1 即可得所要证明的结论 213123 zzzzzz 法 2 令 1321 3123 zzzz k zzzz 2131 2313 1 1 2 1 2 zzk zz zzzz k 得 313113 1 zzk zzzz k 因为 31 0zz 解得 13 2 i k 故两边夹角为 60 度 且边长相等 故为等边三角形 法 3 1321 3123 zzzz zzzz 得 21 zz 和 31 zz 的夹角等于 13 zz 和 23 zz 的夹角 故 1323 zzzz 2 1321 212331 3123 zzzz zzzzzz zzzz 由此得三边长度相等 并且 1 10 设实数 1r 求下面级数的和 1 0 cos k k rk 2 1 sin k k rk 解解 记e e 0 1 kikik k arrk 于是 0 11 1e1cosi sin k i k a rrr 2 1c o si s i n 12 c o s rr rr 4 故 1 2 0 1cos cos 1 2 cos k k r rk rr 2 2 2 1 sin sin 1 2 cos k r rk rr 1 2 复变函数 极限与连续性复变函数 极限与连续性 一个复函数一个复函数 f z 可以看作是从可以看作是从z平面到平面到 平面上的一个映射 也可称为变换 平面上的一个映射 也可称为变换 1 11 已知映射 1 z 求 1 圆周 2z 的像 2 直线yx 的像 3 区域1x 的像 解解 1 2 11 2 z z 是 面上以原点为圆心 1 2 为半径的圆周 2 11 i 1 i 2xx 则 11 22 uv xx 像是直线 uv 3 先看直线1x 的像 2 11 i 1 i1 y yy 则 22 22 1 11 y uvuvu yy 是 以 1 2 为圆心 1 2 为半径的偏心圆 而由0z 的像是 在圆外部 因此 1x 的 像是圆的内部 即 22 uvu 1 12 设 2 2 Im 0 0 z z f z z z 则 A 0 时 f z连 B 2 1 1 i 时 f z连续 C 1 时 f z连 D 不论 为何值 f z在0z 处均不连续 解解 记izxy 则 22222 2i Im zxyxyzy 故当0z 时 2223 222 2i yxyxy f z xy 考虑 222 222 yxy u x y xy 令ykx 得 22 22 1 0 1 kk u x kxx k 时极限不同 故z 0 时 u x y极限不存在 因此 不论 取何值 f z在0z 处不连续 选 D 相当于用极坐标研究二元函数的极限相当于用极坐标研究二元函数的极限 1 13 求极限 2 1 22 lim 1 z zzzz z 解 原极限 1 1 2 1 lim 1 1 z z zz zz 1 23 lim 12 z z z 复函数的极限与实二元函数极限的关系复函数的极限与实二元函数极限的关系 即即 0 lim zz f z 与与 00 00 lim lim xxxx yyyy u x yv x y 两问题是等价的两问题是等价的 5 1 14 证明定理 设 000 i i i zxy zxy f zu x yv x y 则 0 00 lim zz f zuiv 的充要条件是 0 0 0 lim xx yy u x yu 及 0 0 0 lim xx yy v x yv 证证 必要性 由 0 00 lim i zz f zuv 知 对任意0 0 只要 22 000 0 zzxxyy 便有 00 u x yui v x yv 这时 000 i u x yuu x yuvv 000 i v x yvu x yuv x yv 即 0 0 0 li m xx yy u x yu 及 0 0 0 lim xx yy v x yv 充分性 对0 存在 1 0 只要 22 0001 zzxxyy 便有 0 2u x yu 1 又存在 2 0 只要 2 0 便有 0 2v x yv 2 成立 取 12 min 因此 只要0 1 2 便成立 由三角不等式 0000 uivuivuuvv 成立 即 0 00 lim zz f zuiv 本问题的逆问题成立吗 本问题的逆问题成立吗 1 15 设 0 lim zz f z 证明 0 lim zz f z 证证 对0 存在0 只要0 便有 f zf z 成立 即 0 lim zz f z 本题证明方法与证明二元实函数极限不存在的方法相同 本题证明方法与证明二元实函数极限不存在的方法相同 1 18 证明 zz f z zz 在 0 0 点的极限不存在 证证 1 设eizr 则 22i2i 2 e 2isin2 zzre zzr 故在0z 点的极限不存 在 证证 2 记izxy 则 2 2222 4izzzzxy zzxyxy 当0z 时 由 22 0 0 lim x y xy xy 不存 在 知此函数在0z 极限不存在 1 16 证明 argf zz 在负实轴上不连续 证证 0 zfz 无意义 故不连续 设Im zy 则 0 0 lim y x f z 6 而 0 0 lim y x f z 因此 在负实轴上任一点x处0y 的极限均不存在 即对任意 0 0 0 lim zx xf z 不存在 故不连续 用复数指数形式可将这种和变为等比数列之和用复数指数形式可将这种和变为等比数列之和 而且 往往是一次便求得两个和而且 往往是一次便求得两个和 1 17 求和 1 1 coscos2cosxxnx 2 sinsin2sinxxnx 解 i2 ii 1eee xxn x 1 i i 1 e1 cos 1 isin 1 1 e1 cosisin 1 cos 1 isin 1 1 cosisin 2 1 cos 1 coscoscos 1 2 1 cos sinsinsin 1 i 2 1 cos nx x nxnx xx nxnx xx x xnxnx x xnxnx x 以上实部即本题 1 的结果 虚部是 2 的结果 即 1 1 coscoscos 1 1 coscos 2 1 cos xnxnx xnx x 2 sinsinsin 1 sinsin2sin 2 1 cos xnxnx xxnx x 注意 注意 1 z 2 z 3 z是点 而是点 而 2132 zz zz 是平面向量 是平面向量 1 18 证 明 三 点 1 z 2 z 3 z构 成 正 三 角 形 顶 点 的 充 分 必 要 条 件 是 222 1231 22 33 1 zzzz zz zz z 证证 必要性 设 1 23 z z z 是正三角形 则必有 3221 3112 zzzz zzzz 这是因为 213132 zz zz zz 的模相等 且夹角相等 即 2 123231 zzzzzz 即 222 1231 22 33 1 zzzz zz zz z 充分性 由 222 1231 22 33 1 zzzz zz zz z 得 2 122331 zzzzzz 2 231231 zzzzzz 2 311223 zzzzzz 取模易得 122331 zzzzzz 即三角形三边相等 为正三角形 这也这也是一般二元实函数的重要性质 是一般二元实函数的重要性质 1 19 证明 若 f z 在有界闭集上连续 则必有界 证证 设 i f zu x yv x