计算方法-刘师少版第四章课后习题完整答案.pdf

22 第四章第四章 解线性方程组的迭代法习题及解答解线性方程组的迭代法习题及解答 4 1 用 Jacobi 迭代格式解方程组 1052 15102 3210 321 321 321 xxx xxx xxx 要求005 0 1 kk xx 解 Jacobi 迭代格式为 24 02 0 5 11 02 0 3 01 02 0 2 1 1 3 3 1 1 2 3 2 1 1 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 取初始迭代向量 T x 0 0 0 0 迭代结果为 T x 000 2 5000 1 3000 0 1 T x 6600 2 7600 1 8000 0 2 T x 9938 2 9961 1 9963 0 6 T x 9977 2 9986 1 9986 0 7 由于 2 6 7 105 0 xx 所以满足要求的解为 T x 9977 2 9986 1 9986 0 4 2 用高斯 塞德尔迭代法求解线性方程组 12 23 21 21 xx xx 要求005 0 1 kk xx 解 建立高斯 塞德尔迭代格式 2 1 2 1 3 2 3 1 1 1 1 2 2 1 1 kk kk xx xx 23 取初始迭代向量 T x 0 0 0 迭代结果为 T x 1667 0 6667 0 1 T x 2222 0 6111 0 2 T x 2037 0 5925 0 3 T x 2006 0 5988 0 4 T x 2000 0 6000 0 5 005 0 4 5 xx 故方程组的近似解为 T x 200 0 600 0 4 3 用超松弛迭代法求解线性方程组 0 1 0 1 21 00 1 21 0 01 21 001 2 4 3 2 1 x x x x 取初始向量 x 0 1 1 1 1 T 松弛因子 1 46 求三次迭代值 解解 建立迭代格式 2 2 461 2 1 2 461 2 2 461 2 1 2 461 4 1 34 1 4 43 1 23 1 3 32 1 12 1 2 211 1 1 kkkk kkkkk kkkkk kkkk xxxx xxxxx xxxxx xxxx 第 1 次迭代 k 0 X 0 1 1 1 1 T 80290 1 2 731 2 461 1 731 1 1 2 1 1 2 461 1 1 1 1 2 1 2 461 1 1 1 1 2 1 2 461 1 1 4 1 3 1 2 1 1 k x x x x 所以 X 1 1 1 1 73 0 8029 T 24 第 2 次迭代 k 1 82740 80290 2 63931 2 461 80290 63931 80290 731 2 53291 1 2 461 731 53291 731 1 2 1 2 461 1 1 1 1 2 1 2 461 1 2 4 2 3 2 2 2 1 x x x x 所以 X 2 1 1 5329 1 6393 0 8274 T 第 3 次迭代 k 2 85310 82740 2 67901 2 461 82740 67901 82740 63931 2 50551 1 2 461 63931 50551 63931 53291 2 38901 2 461 53291 38901 53291 1 2 1 2 461 1 2 4 2 3 2 2 2 1 x x x x 所以 x 3 1 3890 1 5055 1 6790 0 8531 注 本题的精确解为 1 2 1 4 1 6 0 8 4 4 线性方程组bAx 的系数矩阵为 A 23 21 31 试求能使雅可比迭代法收敛的 的取值范围 解 当0 时 雅可比迭代矩阵 B 0 23 2 0 1 31 0 23 21 31 BI0 4 14966 2 2 22233 3 25 得 i 2 0 3 21 故 2 B 由1 即2 时 1 B 但迭代法fBxx kk 1 仍是收敛的 证 021 1 1 1 2 1 21 BBB 故迭代矩阵 B 的这些范数都大于 1 虽不满 足迭代收敛的充分条件 但 8 0 9 0 8 03 0 09 0 det BI 8 0 9 0 21 故19 0 B 所以迭代法收敛 4 6 设线性方程组 32 4 31 21 xx xx 试求能使高斯 赛德尔迭代收敛的 的取值范围 解 高斯 赛德尔迭代矩阵 0 0 12 1 1 1 ULDGs 0 0 12 1 0 0 12 1 2 20 0 它的特征多项式为 2 20 det 2 2 s GI 其特征值为 2 21 2 0 当 2 2 12 2 即时 1 s G 高斯 赛德尔迭代收敛 26 4 7 设有迭代格式 2 1 0 1 L kfBxx kk 其中 B I A 如果 A 和 B 的特征值全为正数 试证 该迭代格式收敛 证 因为 B I A 故1 1 BAAB 由于已知 A 和 B 全为正数 故1 0 B 从而1 B 所以该迭代格式收敛 4 8 设 nn R