最小数学期望与倒向随机微分方程_李娟.pdf

第卷第期 年月 数学进展从 最小数学期望与倒向随机微分方程 李娟 陈增敬 尉永青 山东大学数学与系统科学学院 济南 山东 中国山东公安专科学校 济南 山东 一 中国 摘要本文讨论了如何用倒向随机微分方程来计算一类最小数学期望证明了 对 运动 最小数学期望算子仍然保留了数学期望算子的某些性质指出了最小数学期 望算子与数学期望算子的某些不同之处 关健词倒向随机微分方程最小数学期望最小条件数学期望 主题分类中图分类号 文献标识码文章编号 一一一 引言 最小数学期望 的研究首先开始于经济理论的研究众所周知 经济理论 中的一个重要的研 究课题是如何度量不确定环境下人们的偏好问题最早的方法是等 人提出的数学期望效用法 他们证明了在一定的条件下 人们的偏好可以 通过期望效用来度量之后 一 等人的期望效用思想被大多数人所接受并在实践中 得以应用时至今日 的期望效用思想依然影响经济 数学等研究领域但是 用 期望效用法来度量人们 的偏好也存在着许多缺点最先对的期望效用法提出挑 战的是和 他们提出了著名 的 悖论和悖论这两个悖论说 明了 在一定的环境下 用期望效用法描述 的人们的偏好与实际人们 的偏好不相符具体地说 悖论说明期望效用的方法不能反映人们 的风险厌恶或风险爱好 而 人们对风险的厌恶或风险的爱好的心理是影响人们偏好的主要因素悖论说明了在 做决策时 人们总是希望知道一些确定的信息 厌恶不确定的信息 而期望效用法不能反映人 们对不确定信息 的厌恶或爱好经济学家们已发现数学期望 的线性性 中和 了人们对风险的厌恶或爱好 对不确定信息的厌恶从这个意义来讲 数学期望的线性性是 导致悖论和悖论的重要原因之一正是基于以上原因 经济学家们正在寻找一 种既能保持经典数学期望 的某些性质又能反映不确定厌恶的数学工具来描述偏好现在 经济 学家们发现用凸容度叩定义的期望效用即可以度量人 们对不确定信息的厌恶见降 一 及这些文章后面引用 的参考文献最近 证明了这种凸容度定义 的期望等价于最小数学期望 粗略地讲 设石是一个随机变量 用日 表示关于容度的积分 则豹二 乓 其中 是满足一定条件的概率 测度集合 吸 是 石的数学期望 因此 求积分等价于求最小数学期望除了在经 济理论中需要计算最小数学期望外 在期权的定价理论中也需要计算最小最大数学期望 我 收稿日期 一一 基金项目本文得到教育部高等学校骨干教师基金和山东省自然科学基金 的资助 数学进展卷 们知道在完备的证券市场 中 对给定的折扣未定权益 荟 存在唯一 的一个概率测度使得 期权在时刻的折扣定价是 场 引只而在不完备的证券市场 中 象这样的概率测度通 常存在不唯一因此 在这种情况下 人们希望知道期权定价的最高上界和最低下界 用数学 术语 即最小最大条件数学期望以上理论的研究的成果是十分漂亮的然而 利用定义计 算最小期望是相当困难 的本文的目的是给出一种计算最小条件数学期望的简单方法 这种 方法是将计算最小数学期望 的问题转化成求解一类倒向随机微分方程解的问题 由于解倒向随 机微分方程有一套简单的数值计算方法 因此计算最小数学期望 问题也就变得比较容易了特 别是可以用计算机进行计算进一步 我们讨论了布朗运动关于最小数学期望 的一些性质例 如 独立性等应当说 用倒向随机微分方程的方法比用最小数学期望的定义直接去证明以上 性质要简单得多 值得一提的是尽管经济学家们发现用凸容度定义 的期望效用可以度量人们的某些不确定 厌恶但是 如何用容度定义条件容度期望是当前摆在经济 学家面前的一大难题 这个难题的存在使得用容度定义的容度期望效用函数无法用来描述动态 依赖时间的经济模型本文定义的最小条件数学期望实质上是一种条件容度期望 显然用它 可以描述不确定条件下 的动态经济模型 记号 设 几 下 尸 是一个完备的概率空间只仑 是一个满足通常条件的厂的子 一 域流 哄 伦 表示此概率空间上 的维标准运动 不失一般性 假设 便 我们假定只是由运动 姚 仑 生成的自然 一 域流 即只城 们的方法可以推广到一般的 一 域流假定是给定的有限时间且几 厂记 为 了讨论方 二约我 护碑 厂 尸 若 若是 肠 可测的随机变量 使得川引 厂 月 二 石存在使得若 价 厂 护 买 尸 是入 适应的 维随机过程 使得 厂 认 是所有与概率测度 尸等价且关于 的 一 导数为平方可积的概率测度 构成 的集合 即对任意 豁 护 厂 对于任意的 令从 豁 只 则 从 是一个平方可积鞍 由秧的表示定理 存在 二 下 使得从 二几 城 设 一 奇 那么 一 氏 礁 因此 尸 尸 似 一一 十 琪 全 三 特别地 桨一 一 冲 山 厂 二 式说 明 对集合中的每个概率测度 都存在一个随机过程 通过式产生的 我们记这样的为 并称 是由过程 了确保最小数学期望有意义 本文将讨论如下 的概率测度集合 熟 使得 豁是 由过程 氏产生的概率测度为 尹一 产生概率测度 的过程满足 期 李娟 陈增敬 尉永青最小数学期望与倒向随机微分方程 这里 户 是一个给定的常数 定义设 若任 几 下 尸 令 斑引熟红肠你 侧 她以乓图入 三三 呵七尸呵匕尸 称暇创和 若陌 天 分别为随机变量在上的最小数学期望和最小条件数学期望用类似的 方法我们可以定义 尹上的最大 条件数学期望因为 任尹 和 由不等式 有 石三 刀 告合 一 丫 此处 孟着 二 所以以上定义的最小大数学期望有意义 在文献 中 作者讨论了最小最大数学期望在经济 和统计 中的 应用但是 由于最小大数学期望 的非线性性 使得计算或讨论最小数学期望 的性质比较困 难 本文的 目的是用文献 中引入 的 一 期望的方法计算和讨论最小大数学期望的性质 主要结果 设 石任 几 下 尸 拼是 式中给定的常数 令 是下面的的解 叭一石一 关 囚一 大 声 兰 兰 在文献 中 作者称如下定义 的 一 图和 一 圈天 为 省的 一 期望和条件 一 期望 一 苟 一 苟只 三三 下面的引理建立了最小数学期望与 一 期望之间的联系 引理设苟任 几 厂 拼 是中给定的常数 那么 若 只进一步 如果 荟任以 下 对任何 全 令若 扛 司 中 悠 一 陈工 石 限卜 了鳃 一 入 二 一 石 若天 那么 在 少 证明对给定的 石 护 几 厂 根据解的存在唯一性定理 定理 倒 向随机微分 方程存在唯一 的一对解 任 下 少 令 一拼 则 倒向随机微分方程可 以写成 其中 而 一 君 可 是一个 布朗运动 设 因为 户 一 一 关 一 是由过程 产生的概率测度 三 故 任尹 在方程 则由变换知 两边 同取条件数学期 忿任 望 级 卜只 并注意到 君 礼币歹 是 鞍 得 跳一 乓 叱 月 全 提今场 苟 凡 数学进展 卷 另一方面 设 任尹 是产生概率测度 的随机过程 那么 下列线性倒向随机微分方 程存在唯一 的一对解 尹 二 一 一 关 别 一 关训叽 用以上类似的方法 解线性方程得 好 肠 腾 凡 注意到 一口 全 一川 卜 任 比较和 由倒向随机微分方程的比较定理 定理得 叱凡 犷七 故 提今级陌 入伦 由此得 陌天 特别地 取 亡 得黝 阵 即 石 一 若 入 二 一试 引入 现在证明由于 尹 刀 氛 任尹级 乳 一 匀 级刽全提今如临 一 勃 提今级若 因此 一二 同 一 圈全提今 乓临 一 类似地 司创一 一以 乳 全 这意味着氛 一 旧三 二 叭苟 一 劫 提今 场 一 娜 因此 尹场 若 一 动 一 际 一 科刽三 如 苟 一 动 任尹 应用不等式 二 级 若 一 引 当什中的第二个等式可用相同的方法证明 由此引理和文献定理知 在文献中给出的下列性质对 苟任以几 买 尸 仍然 成立 引理假定若 粼 多 那么 芍 阵若凡 兰 兰 如果全是一个 只 一 可测的随机变量 则侧代只 二心万引入 二三 应用引理 我们可以用倒向随机微分方程求若的最小数学期望和最小条件数学期望 例设是一个常数 计算最小条件数学期望斑天和最小数学期望目 不 解令 二 剐 全入 则存在 使得 从 是下列的解 厂 头一 听 一 关囚 一 关 脚 兰 三 解上述方程得 一 风 一 二 兰兰 从而 占下妈 入 讯 一拜一 若下妈 一拜 期 李娟 陈增敬 尉永青最小数学期望与倒向随机微分方程 例计算 尸 肠 天和 铸 解对函数邵用公式 易验证下列方程 产 一 听 一 关 二 一 关 二 讯 三 三 的解是 叭 拼 因此 听 只 哄 和 听 说明以上仅举了两个其相应的倒向随机微分方程的解具有解析表达式的例子更一般 的例子我们可以用倒向随机微分方程解的数值计算加以解决有关这方面的内容 我们将另文 讨论 如果用鞍的观点看例和例 我们可以发现 尸 一 布朗运动 俄 关于最小期望算子 是上鞍 而 尸 一 卞鞍 关于戳是软这反映了到轶与司 鞍的不同之处 一个 有趣的现象是在例中 令从 二 阵 只 叩 川 那么 琪 的 一 分 解为 哄从 一 人 其中是一个斑一软 应用例 我们可以得到下面的有趣的结论 引理最小数学期望算子戳是线性的当且仅当 二尸 证明显然 如果 尹二尸子 拼 是线性的反之 如果截是线性的 即对任何乙 任 以几 买 万陌 司 对 选取右 几 和 叮一林勺 由例 二 以司 一 拼 因为科 是线性的 所以斑林勺 一 环扮 斑 几 暇一 林勺 这样 拜 因此 拜 由尹的定义可知 尹尸 对于 一 运动 我们知道运动关于数学期望算子具有下列性质对 任意 的 丛云三三 吕 三和满足一定条件的函数 如果右和 刀是两个具有相 同分布的随机变量 则 幻 二 的 独立性 讯 一 琳 界 一 琳 稳定性 从 一 琳 二 拭做 一 且 城 一 琳 是 一 的函数 上述性质对最小数学期望依然成立吗以下将对这个问题进行讨论 例说 明对于最小数学期望 性质可能不成立 即如果 苟和 刀具有相同的分布 等 式 不一定成立 例 令 涛 二 又 击铸 一 显然 与具有相同的分布 但是 由例 知 涛 叫一分一行 万告铸一 一瑟斗 一 因为 显然 涛叫 治 二一 下例说明斑从下妈 一 磷 不依赖于 一叭 例令司二 邵 那么由引理和引理得 一 磷 界 一 磷 铸 界 因此由引理得 侧城环勺 一 琳 二 斑斌 几 一 琳 界 二 不依赖于 一仁 但是 我们有如下定理 定理设 讯 是一个 一 标准运动 如果分是一个可测的函 数使得对任意 的 全全 从讯 一 磷 任 以几 买 月 那么 琪 一 琳 界 万 从 一 琳 数学进展 卷 证明由引理和文献冈命题 即得 下例说 明对给定 的某个 任尹 级 城环份 一 哄 护 川下 砂码 一 例 令是 由过程 击 产生 的概率测度 显然 任 但 听 一城 并 训听一弘 创下妈 一 琳 不是 一 的函数 事实 一上 令 对 级 更一 琳 只 和好训不 犷护 一 入 易证犷 乞 分别是下 列线性倒 向随机微分方程相应于终端值纷 不 币亏 一 磷 和护 环与一 的解 绒 一 一 厂众 一 厂 粼二 亡 助 一 解上述线性方程得 时 一 二一 十 决宁 一 好 一 一 三 书丹 旱 一 一 其中 瓜是集合的示性函数 剐二 一 卜 一 洛 笼去 一 一 一司 且 环勺 一 琳 不是 一 的函数 尽管如此我们有下列定理 定理如果 任 且 哄 任 几 下 此处 那么 占 一 琳 乙环扮一 剐创妈 一 琳 是 一 的函数 三 十 使得对任何 三 尹 三 吕 三 和 诚 尹 证明不失一般性 假定 矶 一 磷 一 二一 公 此处 如下定义 护牌 笋 月 否则 对任意 全 可以选取 州介 一 鉴 一 勺二 很容易验证对每个 磷 护 几 下 月 当一时 二 入 二 并且付 几 叽 一 选取一列连续函数 宙 劝 参见文献闭定理 一 且令 几 卜 关 己夕厂 忆 己 二 设 二 诚 二 一 琳 三三 一 对每个 垂 令信 几 尹和尹 沙是下列方程的解 犷一 两一 一 关 扩一 铸一 一 关 一沪一 少牡衅 一 关 万粼一 三 三 一牡 一 钾 中几片 一 关 叽 兰 兰 一 尹 期 李娟 陈增敬 尉永青最小数学期望与倒向随机微分方程 首先 根据文献引理或文献网引理 对每个 全 常数 一 和 下列偏 微分方程存在唯一的解 任 一 勺 等 十 盖 三黔 一 砂武等 叹 一 幻拭幻 任 户 几一 洲一 衡 其中 刃竺旦竺 旦竺 刁 刁二 由一般的及 一 公式 文献命题知 歹扩一 丽 和好 琳 特别地 可姑 几 另一方面 在方程和方程中 注意到当 时 垂 个参见文献定 理 一 根据文献引理 酣一歹 姑一 其中 万 和加分别是下列方程和 的解侮 和 在 亡 时的值 产 产 月上 了 了 万亡 两 一 一 关 听一 一 关 万一 一 一 关 一 万 而 一 一 关 一 吕 一 由酣 二 了得 万 二 由引理和文献命题知 从林勺 一 百 川城林几 一 磷 故得证 令 中 司是以上定义的函数 由文献定理得 对每个 全 下列偏微分方程 存在唯一解 塑匕 云 丢 山 口 豁 一 砂 几 荟 一 二二 对 一 讯 一 琳 用公式和解的存在唯一性定理文献定理或用文献 中 的四步法得 一云 琳 一 琳 二 醋 其中 扮是下列方程的解 厂 一 铸 一 叫 一 蚕牡片 一 叽 三 兰了几 特别地 衅 叹 一 显然 它是 一 二 的函数 应用定理 并注意到当 叶时 垂 刘因此 嵘升 几 一 琳 界 二 环分一 磷 由于衅是