条件数学期望平滑性质的某些推广及应用(1).pdf

第3 0 卷 第1 期 湖北师范学院学报 自然科学版 J o u r n a lo fH u b e iN o r m a lU n i v e r s i t y N a t u r a lS c i e n c e V o L3 0 N o 1 2 0 1 0 条件数学期望平滑性质的某些推广及应用 严慧 徐立峰 湖北师范学院数学与统计学院 湖北黄石4 3 5 0 0 2 摘要 A k 条件数学期5 个最基本的平滑性质入手 讨论了平滑性质的一些推广与应用 利用测度论中的 基本方法给出了二个新的命题及其证明 并作了进一步的讨论 关键词 随机过程 条件数学期望 概率 测度 中图分类号 0 2 1 1 6 7文献标识码 A 文章编号 1 0 0 9 2 7 1 4 2 0 1 0 0 1 0 0 5 6 0 6 0引言 条件数学期望是建立在测度论基础上的现代概率论中最重要的概念与工具之一 随机过程理论 中最基本 应用最为广泛的三大过程 鞅 M a r k o v 过程 平稳过程 中 鞅 M a r k o v 过程都是用条件数学 期望来定义的 本文不打算讨论条件数学期望的一般平滑性质 我们仅打算考虑以下二点 设缪 是 基本O r 一域夕的一个子o r 一域 我们有 I 若田E 汐 意指随机变量为孔可测 则层 轫I 叼 下 E 亭I 叼 1 I I 若叩与汐独立 意指o r 叼 与汐独立 则E 叩I 叼 砌 2 这是我们所熟悉的条件数学期望最基础的平滑性质 本文中我们从这最基本的平滑性质出发 给出它们的一些推广及应用 在第l 部分的命题是已有的 但散见在各种文献中 本节按照我们的逻 辑顺序 即由 1 2 出发 进行重新归纳 因此有些命题更改了原有证明 在第2 部分中我们给出了进一步的推广 命题l 命题2 是我们新给出的 应当指出 命题2 只是 1 中引理5 1 一个简单的平推 但 1 中并未给出完整的证明 我们不仅给出了详细的证明 而且引 出了一些新的探讨 1 条件数学期望平滑性质的某些推广与应用 设汐是少的子o r 一域 f 是随机变量 霹存在 由于涉及条件期望E 手l 叼时总要求嘭存在 以下讨论相关条件期望时 约定总假设对应的期望存在 条件期望E s eI 明是用R a d o n N i k o d y m 导数定义的 其基本内涵是 I 它是一个汐一可测的随机变量 特别地 在常用场合汐 o r 7 时由D o o b 泛函表示定理有表 达式 E fl 7 h 7 3 其中可是一个随机变量 E l s e I 7 表示E f lo r n h 是劈一可测函数 于是可以认为 E 孝I 田 Y h Y 4 是更确切的表达 收稿日期 2 0 0 3 1 8 作者简介 严 慧 1 9 8 3 一 女 湖北黄梅人 硕士 研究方向为随机过程 5 6 万方数据 I I V A 汐有 E 厶E fl 翻 E 1 d 5 3 5 是便于应用的形式 例如在 5 中取汐 o n A t O z l R 则有 E E 孝f 叨 联 6 公式 6 通常称为一般形式的全期望公式 若即是连续型随机变量密度为g y 或田是离散型随机 变量分布列为P 7 1 k i 1 2 则分别有具体的全期望公式 骘丝E E f l 田 些E 危 叼 f h y g y d y 上E 叼 y g y d y 7 或 嘭 E h 7 h k p 田 k i E gI 刀 k 1 p 叼 k i 8 在 7 8 中取f L A 是任一随机事件 则有如下全概公式 P A L P AI 7 g d y 9 或 P A P AI 7 k 1 尸 田 k i 1 0 1 0 是初等概率论中我们所熟悉的形式 7 一 9 无论在理论上实用中也都是十分有用的工具 又由I 当f 是随机变量一即夕可测函数时 E E l I 叼是汐一可测的 故随机变量E 亭I 叼 取值为f 在 所在的汐的原子上的平均值 因此层 孝I 固可视为对f 的平滑算子 在汐的原子上平 滑 熟知叫fl 叼有如下简单的平滑性质 I 若7 汐 则科轫f 团 田E ff 朔 a e 1 1 I I 若叩与融立 则E 田l 叼 E T a e 1 2 1 1 的含义是明显的 因为7 7 为汐一可测 故嘶原子也即叼的原子 因此平滑算子E f I 叼对可不 起平滑作用 考虑上述基本平滑性质 1 1 1 2 的简单推广与应用 用测度论的典型方法可知 1 1 1 2 有以 下简单推广 引理li 若叼 汐工g 为B o r e l 一可测函数 则 E f x 1 g 誊 I 叼 厂 叼 E g f I 明 a e 1 3 i i 若叩与纩独立 为B o r e l 一可测函数 则有 E f 1 1 l 叼 E f 刀 a e 1 4 引理1 是函数H x y f x g y 的特例 鉴于其广泛应用 我们自然关心当H x y 不是可分离变 量型函数时 引理1 将会以何种形式出现 事实上我们有以下重要公式 定理1 若H x y 有界可测 或非负可测 专为汐一可测随机变量 则有 E 日 f 7 I 叼 E x 叼 I 朔 1 5 定理l 的作用是明显的 1 5 右端条件期望中随机变量暂时地成为常量 这一点在许多问题的 讨论中会给我们带来方便 参见下面的应用 例l M a r k o v 性的证明 设 t 0 是独立增量过程 只是 靠 I 0 的自然盯一流 即只 矿 s t 则V s t BE 劈及B o r e l 可测函数厂 有 P EBI 乡p P f EBI 1 6 E 以f l 歹卫 E 叭 I 1 7 证明 本例是指可由独立增量性推出M a r k o v 性 两式是M a r k o v 性的不同表示形式 由于P 毛EB I 印 叫厶 f I 霸 故 1 6 是 1 7 的特例 但 又可由示性函数的线性组合逼近 故也可由 1 6 推出 1 7 只需证 1 7 5 7 万方数据 由定理l 独立增量性及引理l 之 i i E 瞰 IJ 卫 E 火 一 歹刀 E 瞰 一 口 I 歹l 矗 E 叭 一 口 E 叭f 一 a I E 厂 一 I 亭 E 以 If 例2 W a l d 等式的证明 设 己 是独立同分布随机变量序列 且它们与另一个取正整数值随机变 量 7 独立 则 E 亭1 邑 亭 E 7 E 亭l 证明 由 3 可令以叼 E f 4 f I 即 其中 是留一可测函数于是由全期望公式 4 及引理1 E 手1 孝 E E 手l 岛 孝 l 7 歪抓田 八后 P 田 后 丘2 1 E f 邑 I 7 J P 叼 七 t 1 E 手l 邑 P 7 后 七 1 扭亭 e n 后 彤l E T I 作为应用 将定理l 与平滑性质 1 3 结合起来显然有 定理2在定理l 的条件下 若还有叩与汐独立 则 E 日 孝 田 I 团 E H x 叼 州 1 8 此命题的证明可以在文献 2 中找到 但那里是用测度论中的典型逼近方法证明的 而这里我们 把它作为定理1 与平滑性质 1 4 的直接推论 2 进一步的推广与讨论 定理2 还可写成以下形式 定理3在定理2 的条件下 有 E 日 f 田 I s E H 菇 叼 d F e x 1 9 其中凡 髫 是f 的分布函数 证明 在 1 8 中取汐 盯 孝 并在两端取期望 由全期望公式 6 左端 E E 日 f 叼 I 7 E H 孝 可 记妒 孝 E H x 7 f 贝U 右端 E IE E H 亭 7 川 脚 孝 知 菇 d F t 菇 上 E H 石 田 d F e 菇 故 1 9 成立 1 中指出定理3 是定理2 最常用的形式 本节中我们将这一结果作进一步推广并展开一些讨 论 在定理3 中f 是一个随机变量 下面我们将它推广为随机函数 即随机过程 亭 t 的情形 命题1设趼 呀是刚臼二个独立子矿一域 随机函数f f 珊 关于劈 霹可测 若x 与可是相 互独立的随机变量 且关于贸可测 日 菇 Y 是二元非负或有界的B o r e l 函数 则 E H 毫 X m 1 1 L E H 考 t l q d F x t 2 0 其中B t 是x 的分布函数 5 8 万方数据 证 先考虑H x Y 厶 x Y 其中4 口E 力 即要证 E f X t o 扛 厶 7 L 巩 f ty 如 田 d F t 2 1 由独立性假设 2 1 左端 E L f X 日 叼 E I 亭 X o o P 叼 B 又令以 巩 t 则J 兀 d 以 t 耿x 故 2 1 右端 J 巩 亭 c 厶 田 d F P 卵EB I 手 E l a t d F x t P 叩 B f t d F x t P T I 8 E f X P 田 B E E L f X P 7EB E f x 故此时 2 0 式成立 令 H x Y 日为 扪一非负可测函数 使 2 0 式成立 易于验证 是劈一系 又令彳 A B A B 留 则形是7 r 一系且盯 形 由已证三包含形中任一集合 的示性函数 由函数形式的单调类定理 L 包含一切盯 彩 可测函数 命题l 证毕 下面我们考虑去掉x 与 7 独立的条件 我们先给出命题再进行一些讨论 命题2设趼 缓是稍勺二个独立子盯一域 随机变量田 x 为野一可测 厂 石 为非负或有界B o r e l 可 测函数 随机函数专 t 关于力X 墨有界可测 则 E 亭 x 甜 厂 r J 骘 t 甜 d v 2 2 其中影 t E E 八7 1 I X t 证明由于厂 非负有界 故口 t 是关于t 的单调增函数 2 2 右端积分有定义 为证 2 2 先设f t 如 t 厶 其中B 历 A 绣 注意到A 蛭 X 田E 贸 故 2 2 左端 层 孝 x 小叩 E L l a X 八叩 E l A E I s x 八田 E I n x 厂 田 P A 注意到厶 t 是确定性函数 故 2 2 右端 上喏 w d v t 2J R E l s t I A t o t J R I t E l 一 t o d P A J J n t d v t P A J d v t p A B P A E 叭n l X B P A E I n x 甜 M 田 利用测度论中的典型方法可证对一般有界可测函数手 c c 2 2 仍成立 由命题1 2 我们可一些有关分布函数的讨论 若随机函数退化为确定性函数 即f t h f 此时 2 2 为 E x 以叩 L 矗 t d v t 2 3 若仍有x 与叼独立 则 2 0 为 5 9 万方数据 E H 7 l x 7 1 L E H h t 7 d 以 t 2 4 这是 2 0 的一个容易理解的形式 当日为可分离变量函数即 2 2 E 菇 八7 1 J D E 厂 田 d F x 2 5 由独立性耿叼 E X E f n f t d R 由E f 7 1 0 时 即通常的数学期望计算公式 E 7 l x I t d F x t 2 6 因此命题1 命题2 可视为经典计算公式 2 6 的推广 讨论当x 与町并非相互独立时的情形也许更有启发性 鉴于X 与叼独立时有 t t E f 田 n 当x 与 7 非独屯时秽 t 耿n 1 x t 仍具有分布函数最主要的性质 但不具正规性 因此此时我们有理由把口 f 记为 t t E f 田 X t 垒吖h t 2 7 以 t 仍是x 的分布函数 但取值与随机变量八 7 有关 把由分布F t 决定的期望算子记为 E 坼训 即 E 八X f g t d 彤神 t 2 8 当亭 t O J 非退化时 2 2 可表示为 手 x J E f f d 磁1 2 9 2 3 可表示为 h X 陬 d 磁 3 0 这就把通常数学期望计算公式 2 6 作了推广 而 3 0 的独立形式即 2 6 关于分布函数 2 7 我们可以象初等概率论中对以 戈 的讨论一样 作更仔细的探讨 限于篇幅 这里不再展开了 在命题2 中 当厂 菇 菇 形 关于贸非负可测时即 3 中引理5 1 但那里没有给出完整的证 明 该引理在生存分析中的鞅方法的核心定理的证明中有重要应用 由于篇幅较长 这里不便引出 可 参见 1 P l l 4 定理5 5 的证明过程 进一步的思考 在命题2 中 本质上亭与叼是分离变量的形式 对于一般情形是否有类似于命题l 的结果 即能否用与x 有关的分布得到E H 亭 x 田 的积分表达式 此外 易于证明在公式 2 9 中田为 l 维随机向量时仍成立 但当叼为随机序列 7 1 刀 7 时 无穷维 此时日是泛函 我们猜想 2 0 仍成立 即 若f 翕 与叼独立 则仍有 E L H 7 1 f 岛 L E H 聋 f 邑 d F 菇 3 1 若 3 1 成立 则例2 中等式的证明将更为简单 沿用原有记号 取H 叼 f 曼 手 f 则由 3 1 离散形式 一 E f 岛 手 三E 磊 P 7 三懈 P 7 骘 晰 从本文的讨论可以看到 尽管条件数学期望从理论上讲已是完善的 但考虑到其各种不同的应用 背景 仍有许多有意义的问题值得作进 步研究与探讨 6 0 万方数据 参考文献 1 陈家鼎 生存分析与可靠性 M 北京 北京大学出版社 2 0 0 5 2 钱敏平 龚光鲁 随机过程论 第二版 M 北京 北京大学出版社 1 9 9 7 3 龚光鲁 钱敏平 应用随机过程教程及在算法和智能计算中的随机模型 M 北京 清华大学出版社 2 0 0 4 4 严士健 刘秀芳 测度与概率 第二版 M 北京 北京师范大学出版社 2 0 0 6 5 严士健 王秀骧 刘秀芳 概率论基础 M 北京 科学出版社 1 9 9 9 S o m ee x t e n s i o n sa n da p p l i c a t i o n so f s m o o t h i n gp r o p e r t yo fc o n d i t i o n a le x p e c t i o n Y A NH u i X UL i f e n g C o l l e g eo fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s H u b e iN o r m a lU n i v e r s i t y H u a n g s h i 4 3 5 0 0 2 C h i n a A b s t r a c t T h i sp a p e rb e g i nf r o mt h et w om o s te l e m e n t a r ys m o o t h i n gf o r m u l a sd i s c u s s e dt h ev a r i o u se x t e n s i o n sa n da p p l i c a t i o n s B yt h eb a s i cm a n n e r si nI n e 髓L l r et h e o r y w es h o wt w on e wc o m m u t i n gf o n n l l l a s A n dS o m ed i s c u s s i n ga b o u tt h e f o r m u I s s 帆g i v 蜘 K e yw o r d s s t o c h a s t i cp r o c e s s c o n d i t i o n a lm a t h e m a t i ce x p e c t a t i o n p r o b a b i l i t y f n e a 舟u I e 6 l 万方数据 条件数学期望平滑性质的某些推广及应用条件数学期望平滑性质的某些推广及应用 作者 严慧 徐立峰 YAN Hui XU Li feng 作者单位 湖北师范学院 数学与统计学院 湖北 黄石 435002 刊名 湖北师范学院学报 自然科学版 英文刊名 JOURNAL OF HUBEI NORMAL UNIVERSITY NATURAL SCIENCE 年 卷 期 2010 30 1 被引用次数 0次 参考文献 5条 参考文献 5条 1 陈家鼎 生存分析与可靠性 2005 2 钱敏平 龚光鲁 随机过程论 1997 3 龚光鲁 钱敏平 应用随机过程教程及在算法和智能计算中的随机模型 2004 4 严士健 刘秀芳 测度与概率 2006 5 严士健 王秀骧 刘秀芳 概率论基础 1999 相似文献 2条 相似文献 2条 1 学位论文 严慧 Markov过程若干问题研究 2009 本文研究了Markov过程中的若干问题 主要内容包括 第一部分 从条件数学期望二个最基本的平滑公式出发 讨论了这二个公式的各种推广与应 用 运用测度论中的基本方法给出了二个新的计算公式的证明 并对这些新的公式与经典公式的关系和进一步的拓展进行了一些讨论 第二部分 依据 单指标随机过程Markov性的基本含义 给出了两指标随机过程一类宽Markov性的定义 证明了二指标随机过程具有宽Markov性的一个判定定理 该定理 是单指标情形下相应定理的推广 作为该判定定理的应用 在Volterra积分核满足可分离变量和独立增量性条件下 我们证明了如下Volterra型二指标 随机积分方程的解是一个宽Markov过程 2 学位论文 王金磊 倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计 2009 倒向随机微分方程 BSDE 是一个相对比较新的研究方向 1973年Bismut 9 研究的线性形式可以看作是著名的Girsanov定理的推广 非线性BSDE的概 念是由Pardoux和Peng 60 在1990年引入的 Duffle和Epstein 28 于1992年独立引入经济模型中的随机微分效用概念 也可以看作某些特殊的BSDE的解 从那以后 关于BSDE的很多理论和应用结果得到了发展 其中包括 反射倒向随机微分方程 正倒向随机微分方程 偏微分方程与倒向随机微分方程 的联系 随机控制 数理金融 非线性期望和非线性鞅论 递归效用和风险敏感效用以及随机微分几何等 在El Karoui和Mazliak 30 Ma和 Yong 51 Yong和zhou 86 写的书以及综述论文El Karoui Peng和Quenez 33 中 详细介绍了BSDE的理论和在数理金融和随机控制中的应用 倒向随机微分方程的存在唯一性意味着我们能够明确的解决现在应怎样去做以实现一个给定的将来目标 但是对于一个具体的倒向方程如何算出它的解 来对一般情况而言仍是一个未解决的问题 在实际应用中能够显式解出的BSDE是很少见的 因此我们需要计算BSDE的数值解 相对于正向随机微分方程的数值解法 无论是从结果的丰富程度还是从算法实现的难易程度来看 BSDE都要落后很多 出现这一问题不外乎有以下两个 原因 首先 正向随机微分方程与倒向随机微分方程在结构上有本质的区别 从而倒向随机微分方程的数值方法不能完全套用正向随机微分方程已有的 数值方法 其次 从应用的角度讲 正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程 而倒向随机微分方程则主要关心在有随机干扰的环 境中如何使一个系统达到预期的目标 在过去的十几年里 许多学者做出了很大的努力 在BSDE数值解法的研究中取得了一系列的成果 这些数值方法按照其求解原理可以划分为两大类 第 一类方法主要通过数值求解与BSDE相对应的拟线性偏微分方程 另一类算法直接对随机问题按时间进行倒向计算 2006年 Zhao Chen和Peng 89 提出 了解BSDE的 格式 该方法结合PDE数值解法的特点 使用随机的思想来解释高精度的差分方法 对BSDE进行时间空间离散 用Monte Carlo方法结合插 值近似计算条件数学期望 在数值实验中得到了较好的结果 本文主要研究了BSDE的几种数值方法 在Zhao Chen和Peng 89 的基础上 离散BSDE时用Gauss Hermite积分替代Monte Carlo方法近似条件期望 并得 到了 格式的误差估计 提出了一种新的Crank Nicolson格式并进行误差估计 对一种更高阶的Adams方法也提出了BSDE的离散格式且得到了格式的收敛 误差 下面我们列出本文的主要结果 第一章 简要介绍本文中所讨论问题的背景及总体思路 介绍了BSDE Feynman Kac公式的基本概念 对BSDEE有的数值解法进行了简要的回顾总结 第二章 给出了BSDE 2 1 的 格式的误差估计 证明了对一般的 格式一阶收敛 特别当 1 2时 格式二阶收敛 当 1时 我们得到 格式对 2 1 的适应解 yi zi 一阶收敛 在 1 2的情形 我们还得到解zi 的误差估计 我们称下面两个解 yn zn n N N 1 O 的方程为离散BSDE 2 1 的 格式 公式略 对该格式的误差估计主要有下面的定理 定理2 1 假设2 1成立 令yt和yn分别是BSDE 2 1 和 格式 2 12 的解 那么对足够小的时间步长 tn 我们 有 公式略 其中C是一个正常数 它仅依赖于T 和f导数的上界和 2 3 的解u t x 定理2 3 假 殳2 7成立 令yn n N o 是 格式 2 12 在 1 2时的解 yt 0 t T 是BSDE 2 1 的解 那么对足够小的时间步长 tn 我们有 公式略 定理2 4 假设2 1成立 令 yn zn n N 0 是 格 式 2 12 和 2 13 1 2时的解 yt zi 0 t T 是BSDE 2 1 的真实解 那么对足够小的时间步长 tn 我们有 公式略 全离散 格式可以如下定义 给定随机变量yNi i z 寻找近似解 yni zni n N l O i Z 满足 公式略 全离散 格式的误差为 定理2 7 令 yt zt 是BSDE 2 1 的解 yni zni 是通过线性多项式插值计算方 y n 1的全离散格式 2