b5向量在轴上的射影的应用 (2).doc

本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考向量在轴上的射影的应用四川省汶川县威州中学校 邓炜新教材分别在高一、高二介绍了向量的有关概念（高一平面，高二空间），这对使用代数方法解决几何问题，提供了一个非常好的工具。课本中（高中第二册（下B）对向量在轴上的射影，只提出了概念，在应用方面，除了在证明三余弦定理时使用过它以外，其它应用几乎没有涉及。本文就它在求距离等方面的应用问题进行了探索。使各种距离有了统一的求法。对于正射影，课文中是这样加以定义的：（P33）A/B/AB已知向量和轴，是上与同方向的单位向量（如图）。作点A在上的射影A/，作点B在上的射影B/，则叫做向量在轴上或方向上的正射影，简称射影。课文中还给出了如下公式： （一）求点到平面的距离：PABC如图，点P为平面ABC外一点，设向量平面ABC，则显然斜线段PA（或PB、PC）确定的向量（或、）在上的射影的绝对值就是点P到平面ABC的距离。利用这一事实，我们可以将点P到平面ABC的距离问题，转化为先求平面ABC的法向量的单位向量，然后求在向量算上的射影，它的绝对值即是点P到平面ABC的距离，这样就避免了寻找垂足这一难点问题。【例1】已正方形ABCD的边长为4，E、F分别是边AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。解：建立如图所示的直角坐标系Cxyz，则B（4，0，0），G（0，0，2），ABCDEFGxyzE（4，2，0），F（2，4，0）；=（4，2，2），=（2，4，2），=（0，2，0）。设平面GEF，则显然不与z轴垂直，故可设=（x，y，1），则由平面GEF同理有：解之得：，。故=，和它同方向的单位向量为。显然，在上的射影的绝对值即点B到平面GEF的距离d。点B到平面GEF的距离是：ABCEA1C1xyz【例2】如图，ABC是正三角形，AA1、CC1都垂直于平面ABC，且AA1=CC1=AB=a，E为CC1的中点，求点C到平面A1BE的距离。解：建立如图所示的直角坐标系Cxyz，则有B，A1（0，a，a），E，C（0，0，0）=，=，=。设平面A1BE，则显然不与z轴垂直，故可设=（x，y，1），则由平面A1BE同理有：解之得：，。故=，和它同方向的单位向量为。显然，在上的射影的绝对值即点C到平面A1BE的距离d。点B到平面A1BE的距离是：。二、求直线到与它平行的平面的距离、两平行平面之间的距离：利用上面求到平面的距离的思路，很自然地有了下面两种结论：1、如图，要求直线到与它平行的平面的距离，只需求出平面的单位法向量，然后分别在直线和平面上任找一点A和B，则在上的射影的绝对值就是直线到平面的距离，由射影计算公式立即可得：HAB2、类似地，要求两平行平面、之间的距离，我们只要分别在这两个平面内任取一点A、B，求出在平面（或平面）的法向量上的射影，利用上述公式，立即得出两个平行平面、之间的距离。ABHNMABCDA1B1C1D1xyz【例3】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为有向直线A1B和AC上的点，且A1M = x A1B, AN = x AC（x1）求证：(1)MN平面BB1C1C。(2)求MN到平面BB1C1C的距离。证明：（1）如图，A1B = AC， A1M = AN，平面平面平面（2）建立如图所示的直角坐标系Dxyz，易得A1（1，0，1），B（1，1，0）,。而平面BB1C1C的单位法向量为，故MN到平面BB1C1C的距离即在上的射影的绝对值，故所求距离为：【例4】如图， ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N、P、Q、R、S分别是所在棱的中点。（1）求证：平面PMN平面QRS；（2）求平面PMN与平面QRS间的距离。解答：（1）略；（2）建立如图所示的直角坐标系Dxyz，则A1（a，0，a），C(0，a，0),R，M。易得为平面MPN和QRS的法向量，和它同方向的的单位向量是，两平行平面PMN和QRS间的距离即向量在上的射影的绝对值。即：NMABCDA1B1C1D1xyzPQRS三、求两条异面直线间的距离：如图，直线a和b是两条异面直线现在我们来求它们之间的距离。过直线a引平面与b平行，则问题转化为求直线a和与它平行的平面之间的距离。在直线a和b上分别引向量和，利用求直线与平面间的距离方法。得到下面的结论：ABCDA1B1C1D1xyz首先求出平面垂的单位法向量（即与和垂直的单位向量），然后在直线a和b上任取两点A和B，求出在上的射影，它的绝对值即是两条异面直线a与b的距离。【例5】如图，在长方体AC1中，AB= a，BC= b，AA1= c，求异面直线A1C与BD之间的距离。解：建立如图所示的直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），B（b，a，0），C（0，a，0），A1（b，0，c），=（b，a，0），=（b，a，c）。（b，0，0）设，则显然与A1C和DB的公垂线平行，面B、C分别位于两条异面直线A1C和DB上，故在上的射影的绝对值即两异面直线A1C和DB间的距离。显然，不与z轴垂直，故可设=（x，y，1），由和可得： 解之得： 故有，和它同方向的单位向量为：，所求距离为：CABDExyzPCBADyxH【例6】如图，设ABC是边长为的正三角形，PC平面ABC，PC=2，E、D分别为BC、AB的中点，求PE和CD的距离。解：建立如图所示的直角坐标系Cxyz，则P（0，0，2），E，如右图，可求得CD=，DH=，CH=，D，故有：，。设，且，它的坐标为（x，y，z），则显然有 解之得：，它的一个单位向量为。又由前面的解法知：在上的射影的绝对值就是两条异面直线PE和CD间的距离，即。此外，利用向量在轴上的射影，我们还可以解决以下问题：求点到直线的距离：即先求这一点到直线上任意一点的向量在这条直线上的射影，再使用勾股定理即可解；求两条平行线间的距离：即先在这两条直线各任取两点，求出由这两点所确定的向量在其中一条直线上的射影，最后使用勾股定理求解；求直线和平面间的夹角：即先使用向量求出直线上任意一点到平面的距离，再使用直角三角形中的正弦之定义，即可解决直线与平面的夹角问题，还可以得到相关公式，即向量与平面的夹角满足：，（为平面的单位法向量）求二面角的大小：只需求出二面角的两个半平面的单位法向量和，则利用公