第6章 不可压缩流体的平面势流 《流体力.doc

第六章不可压缩流体的平面势流6-1有势流动的速度势函数一、速度势函数对于无旋流动，有 (1)根据数学分析可知：上式成立是成为某一函数的全微分的充要条件。称为速度势函数，简称速度势。即：又有：，又由矢量分析： (2)即速度势的梯度等于流场的速度。在柱坐标中：径向速度：切向速度：轴向速度：由此可见，对任意方向的偏导数，就是速度在该方向的投影，这是的一个重要性质。函数称为速度势函数，简称速度势，对无旋流动，总有速度势存在，所以，无旋流动也称为有势流动。在有势流动中，和的关系为： (3)即在有势流动中，沿AB曲线的切向速度线积分(速度环量)等于终点B与起点A的速度势之差。又：在有势流动中，沿任一封闭周线K的速度环量若是单值或由斯托克斯定理，则二、势函数方程将，代入不可压流体连续方程：则有： (4)(其中称为拉普拉斯算子)即在不可压流体的有势流动中，速度势满足拉普拉斯方程。凡是满足拉普拉斯方程的函数，数学上称为调和函数，所以，速度势点数是一个调和函数。对柱面坐标，的拉普拉斯方程为： (5)推导过程为：将，代入柱面坐标的连续方程，即可根据以上讨论可知：只要流体流动无旋。则必然存在单值的速度势函数，反之，若流场中存在单值的势函数，则此流动必为无旋流动。此外，流动无旋，流场中沿封闭曲线的速度环量为零。即：因此，求解不可压流体的无旋流动问题，便可归结为求解速度势问题，以此求得速度场，再由无旋流动的伯努利方程，求得压力分布。6-2流函数一、不可压缩流体的流函数以上引进的势函数虽然能使问题简化，但它仅限于有势流动(即无旋流动)，对于有旋流动，我们必须根据定常，不可压二元流动的连续方程，引出流函数的概念。推导如下：由二元不可压流体的连续方程则： (1)又：平面流动的流线微分方程为： (2)由数学分析可知：(1)是(2)成为某一函数的全微分的充要条件。即： (3)又： 所以， ， (4)则， ， 说明满足连续性方程二、流函数的基本性质(1) 等流函数线为流线显然，在流线上，即即： 即，的曲线为流线。在每条流线上的常数值各不相同。(2) 即：平面流动中两条流线间通过的流体流量等于两条流线上的流函数之差。XYOAB12u-dx-dxdydl证：取两道流成，再取曲线AB垂直于各流线，假定垂直纸面的尺寸为1，在AB曲线上取微元线段，其上速度为，则通过曲线AB的体积流量为： X指向减小方向，为负。为使为正，所以在dx前加负号。证毕。由此可见：两根流线之间的流量等于两流函数的差值。同时，由于在引出这个概念时，没有涉及流体是有粘性还是无粘性(即理想或实际)，有旋或无旋。所以，不论是有粘性还是无粘性，有旋还是无旋，只要是不可压流体的平面流动，就存在流函数。三、流函数方程 (5)四、边界条件 若无穷远处均匀来流绕流一物体时，在不分离的情况下，对于固定不动的边界，在壁面上流体的法向速度为0，而壁面必然是流线，通常令壁面上的流函数值为0，因此，壁面上的边界条件可写作：或=0 (6a)对于无穷远处均匀来流，当取X轴与来流方向一致时，则有 (6b)五、与之间的关系1满足柯西黎曼条件对不可压流体的平面无旋(有势)流动，则必然同时存在和，而对平面无旋流动，由，可推出则 (7)再将 ，代入上式得： (8)对极坐标： (9)所以不可压流体平面无旋流动的流函数，满足拉普拉斯方程，也是调和函数。又：对平面无旋流动，必然存在由 柯西黎曼条件2流线与等势线正交是流线与等势线正交的条件 式就是等势线簇和流线簇互相正交的条件。所以说明(等势线簇) 和流线簇正交。在XY坐标平面上由及画图，构成正交网格，称为流网。如下图所示。6-3 几种简单的势流流动不可压流体平面无旋流动的流函数和势函数，满足拉普拉斯方程，而且，拉普拉斯方程是线性齐次方程，其解具有叠加性。设是两个有势流动，均满足：，叠加后，可得； (1)同理： (2)，一、 一、 y平行流(均匀直线流动，无旋，参看下图)x0u设流体作等速直线流动，流场中各点速度大小，方向均相同。即， (3a) (3b)当取x轴与来流方向一致时，则有，显然，与互相垂直(斜率互为负倒数)，并且都满足拉普拉斯方程。又：由位流伯努利方程 由，则若平行流在水平面上进行(即z=常数)，或流体重度可忽略不计，则即流场中压力处处相等。二、点源与点汇设在无限大平面上流体从一点沿径向直线均匀地向各方流出。(如图所示)这种流动称为点源。这个点称为源点。yxyx点源点汇反之，若流体沿径向直线匀地从各方流入一点，这种流动称为点汇，这个点称为汇点。显然，点源和点汇流动都只有径向速度且 切向速度 又：对半径为r，单位长度的圆柱面，由质量守恒，则流体通过统一圆柱面的流量Q应相等。则： (4)式中，Q是点源(或点汇)单位时间流入(或流出)的流量。称为点源或点汇的强度。对点源Q0，我们取+Q，对点汇，Q0，取-Q。则 (5)当r=0时，与都变成无穷大，所以源点(或汇点)是奇点。所以(4)，(5)仅仅在源点(汇点)以外才适用。又由柯西黎曼条件： 则 积分： (6)或由极坐标的柯西黎曼条件： 则：等势线，即是半径不同得同心圆，(由圆的方程)，与流线(即)互相正交。(参图虚线为等势线，实线为流线)。又将与代入极坐标的拉普拉斯算子 均满足拉普拉斯方程 ，由此可见，点源与点汇均是无旋流动。对无限水平面的无穷远处 三、涡流与点涡1、速度分布设有一旋涡强度为J的直线涡束，该涡束半径为r0沿Z轴方向为无限长(如图)，且该涡束好像刚体一样以等角度绕自身轴旋转，由于假设直线涡束沿Z轴方向无限长，即认为在与Z轴垂直的所有平面上流动情况都一样。所以，此种流动可视为平面运动处理。而涡束周围的流体将被带动着做旋转运动。如图所示，这种运动称为涡流。设涡束轴为Z轴，则由涡束所诱导的环流的流线就是以坐标原点为圆心的圆心园。由于涡束以等角速旋转，则速度沿半径的变化规律由斯托克斯定理求得：由该定理：沿任何圆周流线的速度环量等于涡束的旋涡强度。即： (7)显然，由等环量，则在涡束外，涡束内，流体如同刚体一样以等角速绕自身轴旋转，即显然常数，则，通常称涡束外为势流旋转区，涡束内为涡核区。证：除原点外，涡流为无旋流动由(1) 而 则 =，Yr0ux,yr因此，除原点外，涡流为无旋流动证毕。2、涡核区的压力分布推导如下：由平面定常流动的欧拉微分方程 涡核内任一点的速度为： 则 ，；，代入欧拉方程，则： 其中由于u与x轴反向所以加负号两式则： 积分得： 边界条件：则 代入通解则涡核区任一点压力涡束边界压力 ，为强制旋涡(即涡束)的边界速度由于涡束外是势流，由伯努利方程：则代入上式，得涡核区的压力分布为： 又：当，时，则 而当 r=0时 p=p中心=pC， 代入涡核区任一点压力涡束边界压力则 由此可见，涡核内外压力降相等，都等于以涡核边缘的速度计算的动压头。涡核内外的压力分布如图所示。由上图可见，由于涡核区的压力比涡核外势流旋转区时压力低，所以涡流有抽吸作用。如自然界中的龙卷风，旋风等。就是因为旋转中心的压力低，产生真空吸力，都可以把碎纸，树叶，甚至房屋等卷入(吸入)空中。另外，流体机械中，离心泵，离心式风机外壳中流体的流动也是涡流的实例。又：当涡束半径时，涡束成为一条涡线，这样的涡流称为点涡。当时，则，所以涡点是奇点。3、点涡的及下面求点涡的速度势及流点数 由于 ， 再由柯西黎曼条件： 则 对逆时针，；顺时针，。四、点源点汇偶极流qyxP(x,y)rArBrA(源)B(汇)2a-a+aqAqB如图所示：位于A点(-a,0)的点源和位于B点(a,0)的点汇迭加后，其速度势为： 其中：若，则同理，流函数为：由几何关系：一三角形外角等于两不相邻内角之和，则其中为动点P与AB两点连接线之间的夹角。由流线方程，这就是说，流线是经过源点A与汇点B的圆线簇。如图所示若点源、点汇无限接近，即a0时，假定a0时，Q，并且使则这种流动称为偶极流无旋流动，M为一个有限的常数值，称为偶极矩。下面推导偶极流的速度势及流函数如图所示，由(6)则：且当2a0时，再由级数展开式，。当为无穷小时，略去高阶项，则那么： (8)同理：再由：2a0，Q，2aQM得： (9)再令上式等于常数C1，并改写方程，得流线方程 此为圆的方程：即流线是半径为，圆心在(0，)且与X轴在原点相切的圆周簇。如图实线所示。同理：令(9)等于常数C2，得等势线方程：单独的偶极流没有什么实际意义，但这种复合流动对讨论下一节绕圆柱体的流动是有用的。流线等势线64 平面势流的叠加流动一、点汇+点涡螺旋流对点汇 对点涡 迭加，则： (1) (2)令(1)，(2)两式等于常数，则得到等势线 (3)流 线 (4)式中C1、C2是两个常数，这是两组相互正交的对数螺旋公式，称为螺旋流。则切向速度：径向速度：速度代入伯努利方程则得流场中压力分布： (5)在锅炉设备中，离心式除尘器，离心式喷油嘴等均是点汇点涡的实例。而水泵、风机外壳中的流动则是点源点涡的实例。二、绕圆柱体无环量的流动：均匀直线流动+偶极流在工程实践中常常遇到流体横向绕过圆柱体的流动，(如图所示)，各种冷却及加热设备中都来用这种流动方式。(如锅炉设备中的过热器省煤器，汽轮机设备中的冷凝器等)。因此，分析及掌握绕圆柱体的流动规律是很重要的。设在无穷远处有一速度为的平行流，方向与圆柱体垂直，并绕过一半径为r0的无限长圆柱体。由图可见，流体在流近柱体前，不受任何干扰，流线是一组平行直线，流近柱体时，由于柱体的阻碍作用，流线发生弯曲，在柱体后一定距离后又恢复为一组平行直线，显然，在处，流体没有受到干扰，流线仍是平行直线。当流体沿X轴流向圆柱体时，在A点处与柱体发生碰撞，显然，A点是驻点，该处流体速度为0，然后折转方向，贴圆柱体表面流动，因此，半径为r0的圆就是一条流线。在B点处流体要急转成水平方向，所以B点为后驻点。然后，流体又沿X轴方向流动。所以，紧贴圆柱的那一条流线以半径为r0的圆周以及与X轴所组成。再分析稍离圆柱体的流线形状，发现在Y轴附近，有相当长的一段区域，与偶极流的流线极为相似。这说明理想流体绕流圆柱体的流动状况与偶极流的流动有着内在联系。经前人研究认为：理想流体绕流圆柱体的流动，正是以平行于X轴的均匀直线流动与以坐标原点为偶极点的偶极流两者叠加的结果。事实上，这种设想也符合绕流圆柱体的流动规律。则这种组合流动的流函数相应的速度场为为：可得两个驻点坐标，即。在圆柱体表面上有，因此可以求得圆柱体物面方程为一半径为的圆周，。因此，平行流绕圆柱体无环量流动的流函数可以写成： (6)式中 同理势函数可以写成： (7)式中 因为，在圆柱体内，无实际意义。对式(7)求导，则流场中任一点的速度分量为 （8）上式中。由上式可知，当时， 沿包围圆柱体圆形周线的速度环量为错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。说明平行流绕圆柱体的平面流动没有速度环量。当时，即在圆柱面上 (9)在(B点)或(A点)处，(后、前驻点)时，即等于无穷远处来流速度的两倍。圆柱面上任一点的压力，由伯努利方程得： (10)工程上常用无因次压力系数来表示流体作用在柱体上任一点处的压力。无因次压力系数定义为： (11)将(10)代入(11)得： (12)由此可见，对绕流圆柱体，CP既与r0无关，也与和无关，这就是利用CP的方便所在。根据式(12)算出的理论无因次压力系数曲线如图中实线所示。其中纵坐标为CP，横坐标为，角是从前驻点A沿顺时针方向增加。由图可见： ，速度等于零，CP1，压力达到最大值，速度最大，CP-3压力达最小值，后驻点CP1 与完全对称，因此，流体作用在圆柱面上的压力全部对称，合力为零。下面进行证明：qdqdFro如图所示：垂直纸面方向取单位长圆柱，在其上取微元弧段，作用在上面的微小是压力，则：式中的负号是考虑到，当，为正值时，dFx，dFy的方向分别与x轴y轴相反。将代入上式积分则：阻力：升力：上式说明：运动流体作用在圆柱面上的x方向，y方向的压力合力均为零。那么根据运动的相对性原理，亦即圆柱体在流体中作匀速运动时，将不受阻力。这个结论可推广到其它任意形状的物体。显然，这个结论与实验观察完全违背。这就是著名的达朗伯疑题。其发生的原因是对整个流场作了位流(无旋流动)的假设，直到普朗特提出了边界层的概念，才解决了这个问题。因为根据边界层理论，即使对低粘流体(如空气和水)，在运动流体紧靠物体表面的范围内，也不能忽略摩擦影响。在这个范围内，流动有旋，并且在柱体后半部分将发生边界层分离，形成旋涡区，使压力下降。从而破坏了圆柱面上压力分布的对称性，形成阻力。小结：平行流绕圆柱体的平面流动有以下几个特点：（1） （1） 在无穷远处，速度为来流速度，即；（2） （2） 在圆柱体表面上有（3） （3） 圆柱体物面方程，这是一个半径为的圆，因为该圆表面上有，也称驻圆。（4） （4） 该流动的速度环量。65 绕圆柱体有环量的流动库塔儒可夫斯基公式平行流绕圆柱体有环流的平面流动相当于平行流绕圆柱体的无环流平面流动+纯环流。而点涡外的速度场就是纯环流，而纯环流除原点外，所以，纯环流是无旋流动，又称为势涡。则组合流动的速度势上数及流函数为： (1) (2)其中我们讨论的纯环流是顺时针方向的，即0，故前加了负号。则： (3)因为当，在圆柱体内无实际意议从上式可以看到：。即径向分速不因有环量而变。在圆柱表面上，即时，由(3)(4)(5) 下面求驻点位置：再由(4)令(驻点)则：其中前已加了负号，所以为正值(5)说明在三、四象限，即驻点位置在三、四象限。为驻点位置角。将(5)变成又：由三角函数：则： 当时，即，圆柱表面上有两个驻点，位置角分别为，如上图所示，若，则随故A、B两个驻点向下移动，并互相靠拢。当且为，即时，即，则，两驻点合二为一。如图所示当继续，且，即时，则，这时圆柱面上不存在驻点，驻点沿y轴向下移到相应位置。如图所示。驻点半径r求法如下：令(3)式：(a)(b)由(a)式由(b)式，因前面已考虑了符号，故恒为“+”，故只有为“-”，才能满足为“+”，所以在三、四象限，受(a)约束，故代入(b)式，求得驻点半径：讨论：通过上面的分析，可看出：驻点的位置依赖于的数值。0时，即圆柱无环量绕流时，驻点