第 7 讲 构造与论证(补充练习).doc

第 7 讲 构造 与 论证（补充练习 ）（一）第一组 补充练习【练习I】今有长度是l，2，3，199的金属杆各1根，能否用上所有的金属杆，不弯曲任何一根，把它们焊接成(1)一个正方体框架；(2)一个长方体框架。分析：(1) 不可能焊接成正方体框架。因为正方体的12条棱长度相同，所以199根金属杆的长度和应该是12的倍数。但是实际上l23199（1199）199219900。19900不是12的倍数。 可以焊接成长方体框架。因为长方体有4个长、4个宽、4个高，所有棱长的和可以表示为（长宽高）4，199根金属杆的长度和是4的倍数即可。19900显然是4的倍数。 具体构造如下： 第一步，先把他们焊接成长为199的金属杆100根。 19911982197319699100 第二步，焊接的长方体框架，长是4根19912的金属杆， 宽是4根19912金属杆，高是4根199的金属杆。【练习2】 用15个如图所示的由4个小方格组成的“L”形板与一个田字形板能覆盖一个88的棋盘吗? 分析：(1) 如图，把88的棋盘进行隔行染色，图中共有32个黑格。 每张“L”形板无论怎样放置，要么盖住1个黑格，要么盖住3个黑格，总之是奇数个黑格，15张“L”形板盖住的黑格数是奇数。而田字形板无论怎样放置都恰好盖住2个黑格，田字形板盖住的黑格数是偶数。奇数偶数奇数，也就是说，15张“L”形板和1张田字形板盖住的黑格数是奇数，而图中有32个黑格（偶数），奇数不等于偶数，所以不能按要求进行覆盖。【练习3】 能否在8行8列的方格表的每个空格中分别填上1、2、3这三个数字中的任何一个，使得每行、每列及两条对角线各个数字之和都互不相同？并对你的结论加以证明。分析：(1) 不可能。 若某行（某列、某条对角线）上8个方格里都填“1”，数字和是8； 若某行（某列、某条对角线）上8个方格里都填“3”，数字和是24； 由8到24共有17个不同的整数值，把这17个不同的整数值当作抽屉。 8行、8列、2条对角线，共有88218个不同的整数值，根据抽屉原理，至少18/17 2个数字和相同。【练习4】桌子上放着5张卡片，小月在卡片的正面写上1、2、3、4、5，然后冬冬在背面分别写上1、2、3、4、5，写完后计算每张卡片上两数之和，再把5个和相乘，问：冬冬能否找到一种写法，使得最后的乘积是奇数？为什么？ 分析：(1) 不可能。 5张卡片正、反两个面上所有数的和是（12345）230，30是偶数。 冬冬计算每张卡片上两数之和，再把5个和相乘，要使最后的乘积是奇数的话， 5个和数都必须是奇数，因为只有奇数乘以奇数才得奇数，但是5个奇数相加不可能得到偶数30。（二）第二组 补充练习练习1、在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、2009。然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？将每一张卡片正反两个面上的数字相加，得到2009个数，把这2009个和数相加结果必是偶数，因为结果等于12009的所有数的总和的2倍。2009是奇数，2009个数的总和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么，2009个和数的乘积是偶数。 12009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数。而现在只有2009张卡片，根据抽屉原理，必有两个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片正反两个面上的数的和是偶数，从而2009个和数的乘积也是偶数。练习2、一个盒子里有400枚棋子，其中黑色的白色的棋子各200枚，下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去。这样的操作，实际上就是每次少了1枚棋子。那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是 颜色（填“黑”或“白”）。 在每一次操作中，若“每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去”，所以在2枚棋子颜色相同的情况下拿出的白子可能为0枚或2枚。 若“颜色不同，1黑1白，就补1枚白色的棋子回去”，那么此时拿出的白子数就是0枚。 综上述，每次操作拿出的白子数都是偶数，而最初白子有200枚，是偶数，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，最后剩1枚棋子，不可能是白子，只能是黑子。练习3、桌上有一堆石子共1001粒。第一步从中扔去一粒石子，并把余下的石子分成两堆。以后的每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去1粒，再把某一堆分成两堆。问：能否在若干步之后，桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？ 每次操作都是扔1粒石子，并把某一堆分成2堆。假设最后桌子上剩n堆石子，每堆3枚，桌上还有3n石子。在此之前进行了（n1）操作，扔了（n1）枚石子。扔掉的和桌子上现有的应该等于最初的1001粒石子。 3n（n1）1001 4n11001 4n1002 n250.5 n不是整数，说明最初的假设错误，所以无论经过多少步操作，桌上的每一堆中石子不可能都恰好是3粒。练习4、一些棋子被摆成了一个四层的空心方阵（下图是一个四层空心方阵的示意图），后来小林又添入28个棋子，这些棋子恰好变成了一个五层的空心方阵（不能移动原来的棋子），那么最开始最少有 个棋子。先明确方阵问题的特征：1、相邻两圈外圈每边比内圈每边多2枚棋子。 2、相邻两圈外圈比内圈多8枚棋子。 将四层空心方阵变成五层空心方阵有3种方法：一种是在最外层增加一圈（两行两列）；第二种是在最内层增加一圈（两行两列）；第三种是在最内层增加一行一列，在最外层的另外两个方向也增加一行一列。 1、 空心方阵的最里层至少需要8枚棋子，若是五层的空心方阵从里到外各层棋子数依次为8、16、24、32、40，最外层至少需要40枚棋子，小林只添28枚棋子，显然第一种情况不符合题意。 2、 如果是第二种情况，小林把28枚棋子放到了最里圈，则从里到外各层的棋子数依次是28、36、44、52、60，原四层空心方阵应该有棋子60524436192枚。 3、如果是第三种情况。设原四层空心方阵最里圈每边有枚棋子。小林在里圈1行1列放了（2）2125（枚）棋子 小林在外圈1行1列放了 （6）21213（枚）棋子（25）（213）28 4828 420 5原四层空心方阵最里圈共有棋子（51）416枚，原四层空心方阵从里到外各层棋子数依次为16、24、32、40，在这种情况下原四层空心方阵共有16243240112枚棋子。4、比较第二和第三种情况，发现112小于192，所以最开始至少有棋子112枚。练习5、（2009年华杯赛决赛试题）将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924”，删去这个数中所有位于奇数位（丛左往右数）上的数字组成一个新数，再删去新数中所有位于奇数位上的数字，按上述方法一直删下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是 。分析：先将这2009个数从左到右依次编号为1、2、3、2009。 根据题意，第一次删去的都是奇数位上的数字，留下的都是偶数位上的数字。第二次删去的是编号为除以4余2的数字。余下的是编号为4的倍数的数字。第三次删去的是编号为除以8余4的数字。余下的是编号为8的倍数的数字。 一直删下去