第二十一届华杯赛初赛试题及答案.pdf

第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷 小学高年级组 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷 小学高年级组 一 选择题一 选择题 每小题 10 分 共 60 分 以下每题的四个选项中 仅有一个是正确的 请将表示 正确答案的英文字母写在每题的圆括号内 1 1 算式 个个20162016 99999999 的结果中含有 个数字 0 A 2017B 2016C 2015D 2014 知识点 计算模块 多位数计算 解析 个个20162016 99999999 110110 20162016 11021010 201620162016 121010 2016201620152016 个个 1000089999 20152015 个个 答案 C 2 2 已知在距 A地 140 米处相遇 如果乙每秒多行 1 米 则两人相遇处距B地 180 米 那么乙原来 的速度是每秒 米 A 5 3 2B 5 4 2C 3D 5 1 3 知识点 应用题模块 相遇问题及比例运用 解析 米160140300 米 120180300 161487160140 211432180120 米 5 1 3 1621 16 1 答案 D 3 在一个七位整数中 任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数 则这个七位数最大是 A 9981733B 9884737C 9978137D 9871773 知识点 数论模块 数的整除性质 解析 本题考查能被 11 整除和能被 13 整除的数的特征 能被 11 整除的数的特征是 奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被 11 整除 能被 13 整除的数的特征是 去掉个位数字的数后并加上个位数的 4 倍能被 13 整除 A 选项中 998 显然不能被 11 整除 由 99 8 4 131 13 1 4 17 显然 17 不能 被 13 整除 从而 998 也不能被 13 整除 B 选项中 988 显然不能被 11 整除 由 98 8 4 130 显然 130 能被 13 整除 从而 988 能被 13 整除 884 显然不能被 11 整除 由 88 4 4 104 10 4 4 26 显然 26 能被 13 整除 从而 884 能被 13 整除 847 中 8 7 4 11 显然能被 11 整除 473 中 4 3 7 0 显然能被 11 整除 737 中 7 7 3 11 显然能被 11 整除 C 选项中 997 显然不能被 11 整除 由 99 7 4 127 12 7 4 30 显然 30 不能被 13 整除 从而 997 也不能被 13 整除 D 选项中 987 显然不能被 11 整除 由 98 7 4 126 12 6 4 36 显然 36 不能被 13 整除 从而 987 也不能被 13 整除 答案 B 4 将 1 2 3 4 5 6 7 8 这 8 个数排成一行 使得 8 的两边各数之和相等 那么 共有 种不同的排法 A 1152B 864C 576D 288 知识点 计数模块 排列组合 解析 1 2 3 4 5 6 7 28 故 8 两边数的和都是 14 研究 14 的和 14 7 2 5 7 1 6 7 3 4 7 1 2 4 1 6 3 4 2 3 4 5 2 5 6 1 3 5 6 每组数都是 3 个或 4 个 任选一组数放在 8 的左侧 剩余的数放在右侧 这样 8 的两 侧的数要么是 3 个 要么是 4 个 再将这 3 个数全排列 4 个数也全排列 共有 8 A 3 3 A 4 4 8 6 24 1152 答案 A 5 在等腰梯形 ABCD 中 AB 平行于 CD AB 6 CD 14 AEC 是直角 CE CB 则 AE 2 等于 A 84B 80C 75D 64 知识点 几何模块 勾股定理 解析 如下图 做梯形的两高 以及连接 AC FG 显然有 FG AB 6 DF CG CD FG 2 4 CF FG CG 10 AE 2 AC 2 CE 2 AC 2 CB 2 AF 2 CF 2 BF 2 CG 2 CF 2 CG 2 10 2 4 2 84 答案 A 6 从自然数 1 2 3 2015 2016 中 任意取 n 个不同的数 要求总能在这 n 个不同 的数中找到 5 个数 它们的数字和相等 那么 n 的最小值等于 A 109B 110C 111D 112 知识点 组合构造模块 抽屉原理 解析 和是 1 的数有 1 10 100 1000 共 4 个 和是 2 的数有 2 20 200 2000 11 多于 4 个 和是 3 的数有 3 300 111 21 210 多余 4 个 和是 27 的数有 1998 1989 1899 999 共 4 个 和是 28 的数有 1999 要从n个不同的数中找到 5 个数使它们和相等 也就是要保证至少有 5 个数出自 于上面的同一组 根据抽屉原理 则n的最小值为 4 27 1 1 110 答案 B 二 填空题二 填空题 每小题 10 分 共 40 分 7 两个正方形的面积之差为2016平方厘米 如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米 那么满足上述条件的正方形共有对 知识点 数论模块 奇偶分析 解析 设两个正方形的边长分别为 m n 则有2016 22 nmnmnm nmnm 与奇偶性相同 根据其乘积为偶 数 故nmnm 与都是偶数 要使 m n 和 m n 都是偶数 这两个数中必需至少含有一个因数 2 50442016 732504 23 这样共有个因数 刚好分成 12 组 由于 m n 大于 m n 故有 12 组解 答案 12 24 11 12 13 8 如下图 O P M 是线段 AB 上的三个点 ABAO 5 4 ABBP 3 2 M 是 AB 的中 点 且 OM 2 那么 PM 长为 知识点 几何模块 线段长度 解析 2 10 3 2 1 5 4 ABABABAMAOOM 3 20 AB 9 10 3 20 6 1 6 1 2 1 3 2 ABABABBMBPPM 答案 9 10 9 设 q 是一个平方数 如果2 q和2 q都是质数 就称 q 为 P 型平方数 例如 9 就是 一个 P 型平方数 那么小于 1000 的最大 P 型平方数是 知识点 数论模块 奇偶分析 质数的判断 解析 若 q 是 2 13 k或 2 23 k这样的数 则 q 2 能被 3 整除 故 q 2 不是质数 故 q 是 2 3 k这样的数 由 p 2 为质数 故 p 只能是奇数 10001089332 729272 43177312729 441212 4432441 4392441 443 和 439 都是质数 答案 441 10 有一个等腰梯形的纸片 上底长度为 2015 下底长度为 2016 用该纸片剪出一些等腰梯 形 要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上 剪出的梯形的两个锐角等于 原来梯形的锐角 则最多可以剪出个同样的等腰梯形 知识点 组合构造 最值 解析 设可以剪出 n 个 并设上底长为 x 则下底长为 x 1 如下图知结果必为奇数个 记 n 2k 1 则有 2015 1 1 xkxk 2015 12 kxk 403112 12 2 kxk 4031 12 12 xk 4031 12 4031 12 x k 由12 kn 得4029 n xx x 1x 1 2k 1 个 答案 4029 第二十一届 华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷 小学中年级组 第二十一届 华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷 小学中年级组 一 选择题选择题 每小题 10 分 共 60 分 以下每题的四个选项中 仅有一个是正确的 请将表示 正确答案的英文字母写在每题的圆括号内 1 计算 124 129 106 141 237 500 113 A 350B 360C 370D 380 知识点 计算模块 整数运算技巧 解析 原式 113237 500 141129 106124 350500270230 350500500 350 答案 A 2 如右图所示 韩梅家的左右两侧各摆了两盆花 每 次 韩梅按照以下规则往家中搬一盆花 先选择左 侧还是右侧 然后搬该侧离家最近的 要把所有花 搬到家里 共有 种不同的搬花顺序 A 4B 6C 8D 10 知识点 计数模块 加法原理 解析 将图中花从左往右依次编号 1 2 3 4 根据题目要求 有下列搬花方式 2 1 3 4 2 3 4 1 2 3 1 4 3 4 2 4 3 2 1 4 3 2 4 1 共 6 种不同的搬花顺序 答案 B 3 在桌面上 将一个边长为 1 的正六边形纸片与一个边长为 1 的正三角形纸片拼接 要求无 重叠 且拼接的边完全重合 则得到的新图形的边数为 A 8B 7C 6D 5 知识点 几何 平铺 解析 如图所示 共有 5 个边 4 甲 乙 丙 丁四支球队进行比赛 懒羊羊说 甲第一 丁第四 喜羊羊说 丁第二 丙 第三 沸羊羊说 丙第二 乙第一 每个的预测都只对了一半 那么 实际第一名至第四 名的球队依次是 A 甲乙丁丙B 甲丁乙丙C 乙甲丙丁D 丙甲乙丁 知识点 逻辑推理 解析 若甲第一 则沸羊羊的预测中乙第一错误 从而丙第二 则喜羊羊的预测中丁第 二错误 这导致丙应该是第三 但这与丙第二矛盾 故甲第一错 从而丁第四 这样在 喜羊羊的预测中 丁第二错误 从而丙第三 在沸羊羊的预测中丙第二就错了 从而乙第一 这样甲就得第二 那么 实际第一名至第四名的球队依次是乙甲丙丁 答案 C 5 如右图 在 5 5 的空格内填入数字 使每行 每列及每个粗线 框中的数字为 1 2 3 4 5 且不重复 那么五角星所在的 空格内的数字是 A 1B 2 C 3D 4 知识点 数独 解析 推导过程如下图 同理可得 进而得到 6 在除法算式中 被除数为 2016 余数为 7 则满足算数的除数共有 个 A 3B 4C 5D 6 知识点 数论 整除 分解质因数 因数个数 解析 2016 除以某数余数是 7 说明该数能整除 2016 7 2009 4172009 2 2009 的因数共有6 11 12 个 能做除数且使余数为 7 的数必需大 于 7 这样去掉 1 7 两个数 共有 4 个数满足情况 答案 B 二 填空题 每小题 10 分 共 40 分 7 动物园里有鸵鸟和梅花鹿若干 共有腿 122 条 如果将鸵鸟与梅花鹿的数目互换 则有腿 106 条 那么鸵鸟有只 梅花鹿有头 知识点 应用题模块 鸡兔同笼 解析 可以将互换后看成是鸵鸟又长出 4 条腿 梅花鹿又长出 2 条腿 这样不管是鸵鸟还 是梅花鹿就都有 6 条腿了 这样一共有腿228106122 条 从而有头386228 个 于是就变成了经典的鸡兔同笼问题 152438 条 30122152 条 15 24 30 只 231538 头 答案 15 23 8 某年 端午节距儿童节和父亲节的天数相同 在 月历中与六月最后一天同列 父亲节是六月的第 三个星期日 则该年的父亲节是六月日 右图是某个月的月历示意图 知识点 余数原理 解析 通过图中只有 28 号得知该月是二月份 6 月 1 日比 2 月 28 日多 31 30 31 1 93 213793 故 6 月 1 日是周五 因此第一个周日是 6 月 3 日 第三个周日就是 6 月 17 日 答案 十七 9 在一个六位数中 任何 3 个连续排列的数字都构成能被 6 或 7 整除的三位数 则这个六位 数最小是 知识点 数论模块 数的整除性质 解析 这个六位数的前四位必然不能有 0 不然就不能保证任何 3 个连续排列的数字都能 构成三位数 最小的前三个数是 111 大于 111 又能被