幂指分段函数在饮酒数学模型中的叠加应用.pdf

1 幂指分段函数在饮酒数学模型中的叠加应用幂指分段函数在饮酒数学模型中的叠加应用 吴磊 重庆大学 B 区城市建设与环境工程学院市政工程专业 重庆 400045 E mail conquer2006 摘摘 要 要 本文分别采用分段函数的数学思想建立了饮酒后血液中酒精含量 ty随时间 t 的变 化关系的动态数学模型 并对问题有了很好的解答 最后对驾驶人员和想喝一点酒的人提出 了一些建议和忠告 希望交通事故不再发生 通过模型验证 得出模型具有很好的应用价值 关键词关键词 幂指分段函数 数学模型 叠加效果 延迟效应 中图分类号 中图分类号 o 01 029 1 问题的提出问题的提出 据报载 2003 年全国道路交通事故死亡人数为 10 4372 万 其中因饮酒驾车造成的占 有相当的比例 针对这种严重的道路交通情况 国家质量监督检验检疫局 2004 年 5 月 31 日发布了新的 车辆驾驶人员血液 呼气酒精含量阈值与检验 国家标准 新标准规定 车 辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克 百毫升 小于 80 毫克 百毫升为饮酒驾 车 原标准是小于 100 毫克 百毫升 血液中的酒精含量大于或等于 80 毫克 百毫升为 醉酒驾车 原标准是大于或等于 100 毫克 百毫升 大李在中午 12 点喝了一瓶啤酒 下午 6 点检查时符合新的驾车标准 紧接着他在吃晚 饭时又喝了一瓶啤酒 为了保险起见他呆到凌晨 2 点才驾车回家 又一次遭遇检查时却被定 为饮酒驾车 这让他既懊恼又困惑 为什么喝同样多的酒 两次检查结果会不一样呢 请你参考下面相关数据 或自己收集资料 建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型 1 并讨论以下问题 1 对大李碰到的情况做出解释 2 在喝了 3 瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准 在以下情况下 回答 1 酒是在很短时间内喝的 2 酒是在较长一段时间 比如 2 小时 内喝的 3 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高 4 根据你的模型论证 如果天天喝酒 是否还能开车 5 根据做的模型并结合新的国家标准写一篇短文 给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告 2 问题的分析问题的分析 2 1 参考数据参考数据 1 人的体液占人的体重的 65 至 70 其中血液只占体重的 7 左右 而药物 包括酒 精 在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的 2 体重约 70kg 的某人在短时间内喝下 2 瓶啤酒后 隔一定时间测量他的血液中酒精含 量 毫克 百毫升 得到数据如下 表 1 测定的喝酒后某人血液中的酒精含量表 Tab1 after drinking Determination of alcohol Content of a person s blood in Table 时间 小时 0 25 0 5 0 751 1 52 2 53 3 54 4 5 5 酒精含量 30 68 75 8282776868585150 41 时间 小时 6 7 8 9 10111213141516 酒精含量 38 35 28 25181512107 7 4 2 2 2 参考数据及问题的分析参考数据及问题的分析 针对问题的提出 假设 y t 为 t 时刻血液中的酒精含量 由参考数据分析 我们设了一 个幂指分段函数作为我们的目标函数作为我们的目标函数 这个分段函数由两部分组成 第 一段为抛物线型幂函数 第二段为衰减的指数型 采取了数据拟合的思想方法 由参考数据 我们假设了用 5 10 2 tbtaty作为抛物线型而用 05 1 5 1 tcey t 作 为衰减的指数型 我们在模型的推广中应用第二个衰减指数型 为了求参数 我们针对不同 的情况采用了不同的实测计算数据 针对体重约为 70kg 的某人在短时间内喝下 1 瓶或 3 瓶 啤酒的模型参数 求出三种不同情况下的血液中的酒精含量与时间 t 的函数关系式 然后根 据血液中的酒精含量与人的体重成反比 得出了不同体重情况下酒精含量与时间t的关系式 即把 70 m 作为函数关系式的系数而得到 然后 根据我们建立的短时间内饮 1 瓶酒的模型 对大李的情况进行解释 并在短时间内喝完酒的模型下对问题 2 与问题 3 进行了求解 图 1 喝酒后人体血液中酒精含量随时间变化的拟合曲线图 Fig1 After drinking human blood alcohol content changing with time fitting curve 对于估计血液中的酒精含量在什么时间最高的问题我们应用了微分法求极值的数学思想 9 随后 我们对模型进行了推广 把 3 瓶酒分成 n 等份 相当于在任一小区间 2 n 小时内喝完 3 n 瓶 即每一个微小的时刻都在喝一个微小量 从而酒精摄入就成为连续的了 能更好的 表示酒在较长时间内摄入的情况 但是由生活常识及叠加时计算的复杂性 我们只讨论等分 为 3 次和 10 次的情况 通过计算机数学软件 Mathematica 4 和 Matlab 2 编程绘制出了其图形 并由相应的结论 对所提出的问题作出了更进一步的解释 3 模型的建立及求解模型的建立及求解 3 1 模型一模型一 短时间内饮酒短时间内饮酒 3 1 1 根据参考数据 我们针对体重约 70kg 的某人短时间内喝下 2 瓶啤酒后 隔一定时 间测量他的血液中酒精含量 分别由已知实测数据得到抛物线拟合 5 与衰减指数拟合 6 的对 应数据 并进行拟合得到 那么体重约 70kg 的某人在短时间内喝下 2 瓶啤酒后 隔一段时 间检测他的血液中的酒精含量的分段函数关系式为 5 1t 5 10 5 1 2 t ce tbtat y 拟合过程 在 Matlab 中运行 对于指数衰减函数 05 1 5 1 tcey t 可以转化为线性 5 1tlnln cy 3 令bcyz ln ln作线性最小二乘拟合 经 Matlab 运行结果求出参数值 故函数关系式为 5 11798 0 513 22 t ey 所以总的函数关系式为 5 1513 22 5 102597 1510509 65 5 1 1798 0 2 te ttt y t 3 1 2 由同体重下某人短时间内喝下 2 瓶啤酒的拟合函数 我们又推知了该人短时间内 喝下一瓶啤酒的拟合函数 7 8 同理由已知推到它的拟合数据并求解得 血液中酒精含量与时间 t 的分段函数关系式为 5 1t 5 10 5 1 2 t ce tbtat y 仍然把指数衰减函数转化为线性关系 5 1tlnln cy bcyz ln ln 经 Matlab 运行 经计算 c 13 2447 总的分段函数关系式为 5 12447 13 5 102581 760618 30 5 1 1942 0 2 te ttt y t 3 1 3 由此我们推出了该人段时间内喝完 3 瓶啤酒的拟合函数 同理推导它的拟合数据 表并经线性最小二乘拟合 经 Matlab 运行 c 38 9586 所以总的函数关系模型为 5 19586 38 5 1077437 2191854 90 5 1 1924 0 2 te ttt y t 总之 通过对某人短时间内喝完两瓶 一瓶和三瓶啤酒的数据分析 通过线性最小二乘法的 拟合思想 得出三种情况下的含量与时间 t 的函数关系 3 2 模型二模型二 长时间内饮酒长时间内饮酒 3 2 1 如果将三瓶啤酒在两个小时内分三次等量喝完 即每四十分钟喝一次 且每次都 是等量喝完 设 二次曲线抛物线为 m t 指数衰减函数为 n t 时间分配为 tntntnt tmtmtnt tmtmtmt tmtmt tmt 321 81 2 17 2 321 17 2 5 1 321 5 1 33 1 21 33 1 67 0 1 67 0 0 又由一瓶啤酒在很短的时间内喝完的拟合函数为 5 12447 13 5 102581 760618 30 5 1 1942 0 2 te ttt y t 其中 5 11942 0 2 2447 131 5 102581 730618 301 t etn ttttm 5 1 67 0 1942 0 2 2447 132 5 10 67 0 2581 73 67 0 0618 302 t etn ttttm 5 1 33 1 1942 0 2 2447 133 5 10 33 1 2581 73 33 1 0618 303 t etn ttttm 4 在 Mathematica 软件中编制程序 10 进行叠加 得到叠加后的图形 3 2 2 同理 如果将啤酒在两小时内等分成十次喝完 即每次时间间隔是 2 10 小时 一 次喝一瓶的十分之三 这样由该人把一瓶啤酒在短时间内喝完的血液中酒精浓度与时间 t 的 函数变化关系 5 12447 13 5 102581 760618 30 5 1 1942 0 2 te ttt y t 那么十分之三瓶的啤酒在短时 间内喝完的人体血液中的酒精含量与时间 t 的函数关系为 5 12447 13 10 3 5 102581 760618 30 10 3 5 1 1942 0 2 te ttt y t 这样模型的分析与计算就同三瓶啤酒在两 个小时内分三次等量喝完的情况 针对这种情况 即把 3 瓶啤酒分 10 次喝完 并且每次喝 完是在短时间内进行 经过在 Mathematica 软件中编程并运行 得出了人体中血液中酒精含 量随时间的变化关系 经对比发现 叠加后的图形高峰点上升 但高峰点到来的时间推后 3 2 3 若将啤酒在两小时内分成 n 次喝完 由于两小时内分成十次喝完所得的图像不连 续 但是并不影响饮酒后照样能驾车的标准 所以我们采取了把间断的叠加曲线近似成一个 光滑连续曲线 从而得到在较长时间内喝酒后酒精含量与时间 t 的函数图象 通过对三瓶酒 在短时间内喝完 三瓶酒在较长时间内分三次喝完 分十次喝完 经过对分三次喝完和分十 次喝完的图像的对比分析 我们应用了数学归纳法的思想 得出经过不同情况下的饮酒 血 液中的酒精含量的峰值由于逐段叠加而延迟 这是符合实际情况的 也就是说针对实际情况 中人体血液中的酒精含量的峰值所对应的饮酒后的时间t与饮酒后司机开始能驾车所对应的 时刻 t 一致 这样就对实际具有指导意义 也有改进和推广的价值 4 问题的解答问题的解答 4 1 问题一的分析与解答问题一的分析与解答 由于饮酒后酒精在人体血液内的积存 对人体血液中酒精浓度的峰值有个延迟效应 所以虽 然大李两次喝同样的酒 但是由于第一次喝的酒精仍在起作用 所以累积的结果是他第二次 喝后超标 假设他是在晚上七点半时喝酒 经计算 第一次检查时 血液中的酒精含量为 18 51 毫克 百毫升 小于 20 毫克 百毫升 即第一次喝后符合标准 而第二次 还要 考虑第一次喝后的影响 两次产生的共同影响为 20 71 毫克 百毫升 大于 20 毫克 百 毫升 因此第二次时 被定为饮酒驾车 因此 他喝同样的酒 却产生不同的检查结果 图 2 两次喝酒后叠加后的拟合曲线 Fig2 After two drinkings superposed fitting curve 5 4 2 问题二的分析与解答问题二的分析与解答 1 对三瓶啤酒或半斤低度白酒是在很短时间内喝完的情况的分析与解答 由于我们分别建立了短时间内喝完一瓶 两瓶和三瓶的模型一 根据三瓶啤酒在短时间内喝 完的模型及图像 5 19586 38 5 10 7743 219185 90 5 11924 0 2 te ttt y t 因为从函数解析式与附图知 当 t 1 5 时 83 130 5 1 t y 毫克 百毫升 所以抛物线段所对应的时间区域内不能驾车 多长时间内驾车就会违反上述标准 只可能在 指数衰减阶段求解 由 209586 38 5 11924 0 t小时 所以短时间内喝完 3 瓶 只能在26 11 1 t小时以后才能驾车 2 对 3 瓶啤酒或半斤低度白酒是在较长时间 比如 2 小时 内喝的情况下的分析与解答 根据由 3 瓶啤酒在较长时间内 2 小时内分 3 次 内喝的血液中酒精含量与时间 t 的函数关 系式和 3 瓶啤酒在较长时间内 2 小时内分 10 次 的血液中酒精含量与时间 t 的函数关系式 推广到 2 小时内分 n 次喝完血液中酒精含量与时间 t 图像 然后由图算法得出结论 只考虑 指数衰减阶段 当血液中酒精浓度不大于 20 毫克 百毫升 4 12 2 t小时即司机在长时间内 喝了 3 瓶酒 在酒后 12 4 小时内驾车就会违反上述标准 综合模型 1 与 2 我们得到以下结论 对于一定量的啤酒 通过对在很短时间内喝完 和在较长时间内喝完的对比 21 tt 5 12447 13 5 10 2581 730618 30 5 11924 0 2 te ttt y t 可以用抛物线求极值方法也可以用数形结合的思想 法一 63 43218458 1 2581 730618 30 max 2 yt tty 当 法二 数形结合地思想 从图中找出血液中酒精浓度达到最大值时对应的时间 t 针对长时间内 不妨设 2 小时 内喝完啤酒时 3 瓶啤酒 我们采用了图算法求峰值地 方法 即抛物线顶点处 在两小时内将 3 瓶啤酒分 3 次等量喝完 用图像法求血液中酒精含 量什么时间最高 当 y 取最大值时 t 2 15 小时 结论 与长时间内将 3 瓶啤酒喝完血液中酒精含量峰值比较 此时相对延迟 4 4 问题 问题 4 的分析与解答 的分析与解答 根据假设 考虑了每天定时 定量喝一次酒 而且第一天这个时间喝的酒到第二天其影响可 以忽略掉 还有每天定时定量喝的酒都是在短时间内喝完 每天定量喝 x 瓶 结合实际情况 6 进一步考虑 对于喜爱喝酒的司机来说 最理想的情况就是喝了酒后 随时都可以驾车 那 么 只需饮酒后血液酒精浓度达到最大值时含量仍符合新的驾车标准即可 为此 列出了抛 物线型函数 饮酒量 1 瓶 5 10 258 730618 30 2 ttty 饮酒量 x 瓶 258 730618 30 2 ttxy 既当22 1 t时 取最大值 所以 2026194056 8963 44 22 1 xyt 所以8164 0 x瓶即74 0 x瓶 所以根据假设条件 若司机每天定时定量喝一次酒 二十四个小时后酒的影响可以忽略 每 天喝的酒都是在短时间内喝完 那么当饮酒量74 0 x瓶时 司机天天喝酒 且还能开车 从这一点上看 本模型很具有实际意义 推广价值 4 5 问题 问题 5 的分析与解答 的分析与解答 酒精在血液中的含量随时间的变化是先升高而后减少 从而可以推算出当一名司机在 饮酒后 经过多长时间后驾车不影响其正常驾驶 也就是当司机饮酒后血液中的酒精浓度经 过 t 时间后 要小于 20 毫克 百毫升 对于司机饮酒驾车 针对饮酒时间 即是短时间内喝 完还是在较长一段时间内喝完 建立了针对上述两种情况的幂指分段函数的数学模型 并对 这模型进行分析 求解和作图 通过这个模型让广大司机朋友能对自己的饮酒情况有所了解 并以此判断自己是否能够驾车 以题中的大李为例 当他在中午 12 点喝酒后其身体内血液中酒精含量升高 经过 6 小 时 血液中的酒精大部分已排出体外 即血液中酒精含量低于 20 毫克 百毫升 符合新的驾 车标准 但其体内血液中仍存在部分酒精 当其晚上再次喝酒时 血液中的酒精浓度又一次 升高 使两次进入血液中的酒精相叠加 再经过 8 小时 血液中酒精浓度便高于 20 毫克 百毫升并超过国家标准 第二种情况 如果该司机想天天喝酒又能正常开车 首先是对于建 立的短时间内饮酒的模型 采用了分段函数的概念 分为开口向下的递增抛物线和指数衰减 曲线两部分 这就是说 司机在短时间内 饮酒以后 血液中的酒精含量是先增后减 所以 对于想喝一点酒的司机来说 按照问题 4 的解答 以满足一次饮酒后血液中酒精浓度最 大值符合新的国家标准 即天天喝酒 也能照样开车 对于长时间内饮酒模型首先也是假设 该司机每次喝酒的量都是一定的 则经计算可得出 只要该司机喝啤酒的总数不超过 0 47 瓶 他便可以天天喝酒 也不会影响开车 其次 对于建立的喝酒是在较长时间内完成的模型 根据图形分析 其血液中的酒精含 量的最大值将会延迟 且血液中酒精含量将产生叠加并累积的效应 而使最大值发生变化 使最大值增大 最后 其叠加后的图形的最大值也将增大 这样以来 对于想喝一点酒的司 机 如果天天喝酒 按问题 4 的解答 只有酌情减少每次饮酒量 这样才能保证血液中 酒精含量符合新的国家标准 再次 对于想喝一点酒的司机 如果想喝了酒立即开车 那就要保证血液中酒精含量的 最大值符合新的驾车标准 如果喝了酒以后不立即开车 而是休息或等待一段时间后再驾车 那么这时就要保证这时血液的酒精含量符合新的驾车标准 总之 当一次饮酒量小于一定数 值时 如问题 4 的解答 那么司机可以立即开车 当一次饮酒量大于这个定数时 司机 不能立即驾车 只能在等待一段合适的时间后 才能驾车 利用相关的数学与人体生理知识 向各位驾驶人员提出以下通俗忠告和建议 7 如果是您想喝一瓶啤酒 并且是短时间喝 6 小时后方驾车上路 如果是您想喝 2 瓶啤酒 并且是短时间喝 10 小时后方驾车上路 如果是喝 3 瓶啤酒或半斤低度白酒 当天都不要开车 如果是每餐喝一瓶啤酒 在 14 小时内都不要开车 如果是一段时间内都在喝酒的话 当天也不要开车了 5 模型的评价与推广模型的评价与推广 5 1 模型的评价模型的评价 针对饮酒驾车的实际问题 建立了这个综合模型 模型里又有针对不同条件的小模型 我们不仅建立了体重约 70kg 的某人短时间内喝一瓶啤酒的模型 也建立了喝两瓶啤酒 三 瓶啤酒的模型 并建立了此人在较长时间内喝完 3 瓶啤酒的模型 应用 Matlab 中线性最小 二乘法拟合图像 得出了函数的参数并求出了函数 还运用了 Mathematica 软件 3 求解图像 和 Matlab 2 中优化工具箱中 leastsp 计算 拟合图像 用幂指分段函数的思想建模 能够确切的体现数学建模的思想 即把实际问题转化为数 学语言 再把数学语言用数学式子表达出来 结合实际问题 用数学的方法解决了实际问题 所建立的分段函数叠加模型简洁 明了 便于使用数学工具 降低了编程求解的难度 缩短 了运行时间 提高了工作效率 这两个模型对于喝酒外出的司机很有指导意义 特别是想天 天喝一点酒的司机 更具有借鉴意义 其实用价值很大 整个模型的结果最终由普通的数学关系表达式和几个图形表示 具有很好的实用性 在 基于准确性的同时 对该模型的参数作了较为细腻的估计 在其表达式中有意识的对参数取 了较多的有效数位 使其准确度更高 数据拟合很好 结果可信度更高 在酒量相同的条件 下 较短时间内喝酒的人其自身酒精浓度达到最高峰的时间比较长时间内喝酒的要稍低一 些 这与现实生活中出现的情况很吻合 5 2 模型的推广模型的推广 所列的模型是针对体重为 70kg 的人 那么对于质量为 mkg 的人 模型推广为各项乘以系 数 70 m 这样就更具有普遍指导意义 题中只涉及到天天喝一次 且每次定时定量 如果天天喝 n 次 必须保证叠加后的峰值小 于 20 从而算出每次喝的酒量用以指导司机或饮酒人员 因为题所设为酒精含量 而在实际中通常是多少度的酒 二者存在一个转化关系 转化之 后才更贴近于实际 模型是根据酒精在血液里的变化消耗减小规律得出了酒精在血液中的浓度变化类似药物 进入人体内起药里作用的浓度变化 所以该模型可进一步的推广到药物在人体中的浓度随时 间的变化 对医学和临床的治疗 给药等提供了很好的参考价值 8 参考文献参考文献 1 姜启源 数学模型 M 北京 高等教育出版社 1993 2 张志勇 精通 Matlab M 北京 北京航空航天大学出版社 2003 3 萧树铁 数学实验 M 北京 高等教育出版社 1999 4 嘉木工作室 Mathematica 应用实例教程 M 北京 机械工业出版社 5 杨启帆 方道元 数学建模 M 杭州 浙江大学出版社 1999 6 姜启源 谢金星 数学建模 M 北京 高等教育出版社 2003 7 李 涛 贺勇军 应用数学篇