常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题49 直线、圆的方程的应用题的解法.doc

第49讲：直线、圆的方程的应用题的解法【考纲要求】能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。【基础知识】 1、圆的定义：平面内到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆。（2）当时，表示点；（3）当时，不表示任何图形。4.求圆的方程的方法：待定系数法，先定式，后定量。 如果与圆心和半径有关，一般选标准式，否则用一般式。5.用坐标法解决直线、圆的方程的几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论. 【方法讲评】例1 某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m.现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？解：建立如图所示的坐标系.依题意，有A(10，0)，B (10，0)，P(0，4)，D(5，0)，E(5，0).设所求圆的方程是(x a)2 + (y b)2 = r2.于是有解此方程组，得a = 0，b = 10.5，r = 14.5.所以这座.的拱圆的方程是x2 + (y + 10.5)2 = 14.52 (0y4).来源:Zxxk.Com把点D的横坐标x = 5代入上式，得y = 3.1.由于船在水面以上高3m，33.1，所以该船可以从桥下穿过.【变式演练1】一圆形拱桥，现时的水面宽为22米，拱高为9米，一艘船高7.5米，船顶宽4米的船，能从桥下通过吗？例2 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西50km处，受到影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？来源:学#科#网解：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度。则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为：轮船航线所在直线 l 的方程为：来源:学_科_网Z_X_X_K方法一：代数法由直线与圆的方程，得： 消去y，得因为所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。方法二：几何法圆心（0，0）到直线的距离所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。【变式演练2】一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为r（r0）km的圆形区域轮船的航行方向为西偏北45且不改变航线，假设台风中心不移动试问：来源:学*科*网Z*X*X*K（1）r在什么范围内，轮船在航行途中不会受到台风的影响？（2）当r=60km时，轮船在航行途中受到影响的航程是多少km？题型三求圆的方程和长度等使用情景求圆的方程和长度等解题步骤建立恰当的直角坐标系利用待定系数法求圆的方程例3 下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB = 20m，拱高OP = 4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).取(P2的纵坐标y0平方根取正值).所以14.36 10.5=3.86(m)【点评】这类问题的实质就是求圆的方程，一般利用待定系数法。【变式演练3】赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.【高考精选传真】2012没有此类问题的高考题【变式演练详细解析】【变式演练1详细解析】建立坐标系如图所示：C(11，0 )，D(11，0)，M(0，9)可求得过C、D、M三点的圆的方程是故A点坐标是(2，y1)，则得y18.82，(取y10)y17.5，因此船不能从桥下通过.【变式演练2详细解析】如图，以台风中心为原点建立直角坐标系（1）轮船在直线l：x+y-80=0上移动，原点到l的距离d=0r时，轮船在途中不会受到台风影响（2）60，会受到台风影