打造类比思维活化数学学习.pdf

1 8 数学教育研 究 2 0 1 4年第 1 期 打造类比思维 活化数学学习 赵 莹 莹 江苏省苏州市南环中学校2 1 5 0 0 7 新课 程标 准提 出 学 生要 能 体 会数 学知 识 之 间 数学 与其他学 科之 间 数学 与 生 活之 间的联 系 要 能 增强发现 问题 和提 出问题 的能力 分 析和解 决 问题 的 能力 类 比思维 是 指 根据两 个 或两 类对 象在 某些 属 性 上相 同或相似得到它们在其他 属性上 也可能 相 同或 相 似的一种方法 就是 由两个 对 象 的某些 相 同或 相似 的 性质 推断它们 在其 他性 质 上也 有可 能相 同 或相似 的 一 种 推理形式 类 比思维 是一种 重要 的思维方 法 它在 漫长的数学发展 史 中 占有 举足 轻 重 的地位 在 数学 学 习中 我们 只有认真 审视 和对待 它 才能帮 助学生 打开 思维 活化数学学 习 真正为学 生 的将 来能 富有创新 性 而服务 然 而 研 究 表 明初 中生 的类 比能 力薄 弱 2 导 致了数学意识薄弱 进而解决 问题 的能力差 打造 类 比 思维 就能 活化数学的学习 打 开思 路 1 打造 类 比思维 活 化数 学课 堂 1 1 利用类比 可创设 类比的问题 情境 数学可 以理 解 为一 种情 境科 学 数学 的 教学 常 常 是围绕着某一个 数学 问题 的提 出和解 决 而展 开 的 在 数学课堂的教学 中 可以创设 类 比联 想的 问题情境 让 学生进行思考 随之暴露数学 的思维 过程 将每 一个环 节展现给 学 生 让 学生 尝 试 观察 和 类 比 从 而 解决 问 题 得 出结论 在 苏 科版 的数 学教 材 中 有许 多知 识 点 都设计 了可 以进行类 比教 学 的问题情 境 如 教 材在设 计二次根式 的教学 时 教材上就采用 了类 比的方法 n 等于什么 我们不妨取 a的一些值 如 2 一 2 3 一3 分别计算对应的 n 的值 看看有什 么 规 律 2 一 4 2 一2 一 4 2 3 一 9 3 V 9 3 I 概 括 当 a 0时 n 一a 当 n 0时 一一a 1 2 利用类 比 可采用变式教 学 多 年来 我 听过许 多名师的课 他们 非 常善于利 用 变式教学进行教 学 利用类 比的方 法将例 题进 行变化 能使课 堂更深刻 更有灵 活性 变式教 学有利 于学生 更 好 的寻找和提炼 问题 表象 背后 本 质 的东 西 它 对培 养 学 生分 析问题的 意识 和能 力有 很 大帮 助 从而 为进 一 步 的主动类 比提供可能 例 如 在讲解一元 二次方程根 的判别 式 的时候 就 可 以给出一系列的变式例题 原例题 k为何值时 方程 z 2 一1 z k 2 k 一 4 0有两个不相等 的实数 根 变例 1 k为何值时 方 程 z 2 一 1 z k 2 k 一 4 0有两个实数根 变 例 2 k为何 值时 方程 k x 2 一1 z k 一4 0 有两 个实数根 变例 3 k为何值时 方程 k x 2 一1 z k 一4 0有 实 数 根 这一 系列 的变 式例 题可 以让 学 生们 理清 楚 一 元 二次方程 的判 别式 与根 的三种 情形 的关 系 一 元二 次 方程 的判别式 与二 次项 系数 的关系 一 元 二次 方程 的 解与一元一次方程解 的联系 1 3利用类比 可展 现知 识点的形成过程 打造类 比思 维 利用类 比思维 进行探 究 可 以展 现 知识点 的形 成过 程 这种 教学 方式 更有 利 于学 生在 自 主 的学 习活 动 中感悟 到其 中 的思想 方 法和 内在 联 系 这样学生才 能感 受到数 学 知识 的形 成 从 而量 变 到质 变 学生在遇到新 问题 时 也会 主动 利用 类 比思 维解 决 所 遇到的数学问题 形 成 自己的思维 例 如 在讲解每一个几 何概 念和定 理的 时候 均可 采用先 探索 再猜想 然后证 明得 出几何 定理 例如 在 学 习 平行 四边 形 这 一章 时 就是 采 取这 样 的方 法进 行平行 四边 形的性质 的学 习的 经过这 些学 习 学 生们 感 受到了在解决 不 同的 问题 时 也 可 以类 比解 决 问题 的模式来 解 决 不 同的 问题 从 而 形 成 了方 法 的类 比 迁 移 总之 可 以根 据教 材 特点 在 传 授知 识 时 有 意识 地 引导学生 打造类 比思维 逐步学会类 比的方法 2打造 类 比思维 将数 学 系统 化 类 比是根据两个对象或 两类事 物 的一些属 性或相 似 猜测另一些属 性也可能相 同或相 似 的方 法 通过数 学知识 的不 同分 支 的类 比迁 移可 以寻找 其相 互关 系 将其 串成知识链 有利于整个知识体 系的建构 4 2 1 利 用 类 比 建 立数 与 式 知 识 体 系 通过 同一 数学 分支 之 间的类 比 可 以达 到 旧知 向 新知 的迁移 这样的学 习不仅仅 事半 功倍 而且 还 能更好 的帮助学生 打造 良好的知识体系 小学里 学 生 学 习 了 数 部 分 有 理 数 进 入 初 中 学生 学完 了全部 有理 数 还学 习 了无理 数 将实 数 全部 学完 进 入高 中 学生将 学 习虚数 将 复数 全部 学 完 这么 多数 利用 类 比思维 进行 分析 就 会发 现其 实 出现 的任何一种新数 都是伴随这 一种 的新 的运算 出现 的 加法使得 1变成 了 2 2变成 了 3 如此继 续下去 出 现 了正整 数 除法 除不尽 出现 了分 数 减法 不够 减的 现象导致 出现了负数 开方 开不 尽出现 了无理 数 被开 方数小 于零 出现 了虚数 利用类 比方 式帮 助学生 打开 思维 不仅仅是学 习了知识 更是 帮助 学生 理清 了知识 体 系 2 2利 用类 比 建 立 图形 的 知 识 体 系 数 学是一门系统性很强 知 识点很 多 的学科 特别 是 在九年义务教 育 的最后 三年 需 要 学生 掌握 的几何 图形方 面的知识和 内容非 常的多 利用 类 比思维 整理 出图形与几何 的知识 体 系后 就 能 又快 又好 的掌 握几 2 0 1 4 年第 1 期 数学教育研究 1 9 何 的知识 掌握了知识点的联 系后 还能更 好 的利 用知 识来解决相关计划 问题 利用类 比思 维 整理 了初 中几 何相 关 内容后 会 发 现不管是直线形一 一三角形 四边形 或多边形 还 是初 中唯一 的曲线形 圆 我们 研究 的 内容 都集 中在 线 段 和角上 在具 体 类 比边 角 后会 发 现 基 本 都 是 围绕 对应 两字 展开 的 同样 在 四边形 的学 习 中 将 需要 掌握 的四边 形 平行 四边形 矩 形 菱 形 正方形 和等腰 梯形 他们的性质 和判 定 用类 比的方式 列一 张 表格可 以帮助学生 更好 的掌握知识和知识体系 四边形 边 角 对 角 线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角 相等 两条对角线互相平分 中心对称 矩形 对边平行且相等 四个角是直角 两条 鱼堡互相平分且相等 轴对称 2 条 且中心对称 对边平行 两条 鱼垡互相垂直平分 每 菱 形 对角相等 轴对称 2 条 且中心对称 四条边都相等 条对角线平分一组对角 对边平行 两条 鱼堡互相垂直平分且相 轴对称 4 条 且中心对称 正方形 四个角是直角 四条边都相等 等 每条 鱼堡平分一组对角 两底平行 同一底上的 等腰梯形 两条 鱼垡 相等 轴对称 1 条 两腰相等 两个角相等 总 之 打 造类 比思维 经常 对相 关 的知 识 进行 类 比 促使学生主动将数学知识 系统化 可 以培养 学生对 知识进 行类 比的习惯 3打造类 比思维 活化解 题 方法 数学的学习 就是 围绕数 学 问题 的解 决而 展开 的 有学者通过研究 发现 在 数学 的 问题解 决 中常用 的 策 略之一 就 是 通 过 一 系 列 的 简 单 问 题 的解 决 寻 找 规 律 比较和类 比 然后 寻找解决 问题 的方法 找到 问 题的答 案 L 3 由此可见 通过类 比推理 可寻求 到解决 数 学问题 的方法和途径 可 以培养学 生 的发 散思维 创造 思维及推理能力 3 1 打 造 类 比 思 维 解 决 代 数 问题 例如 我们学过乘法公式 n 6 n 一6 一a 一b 请利用乘法公式解决下列 问题 2 m p 2 m n p 1 0 3 X 9 7 这个问题 的第一个 问题是 常规 问题 利 用乘 法 公 式马上就能顺利 的解 决 但 是 问题 表 面上看 是一 个 计算题 但是假如用死算 的方式 很难解决 类 比第一 题 所运用 的平方差公式 可以将 1 O 3化为 1 0和 0 3的和 的形式 将 9 7 化为 1 O和 0 3的差 的形式 就能变成和 第一题一样用平 方差 公式 进行 计算 了 可 以很 顺利 的 得到 1 0 3 x 9 7 一 1 0 0 3 1 0 0 3 一1 0 一0 3 一 1 00 0 09 99 91 3 2 打造类比思维 解决几何 问题 例如 如图 1 已知oo中 AB为直径 弦 C D上AB 于 E 1 求 证 AC 一AE AB 2 如图 2中过 A点再作一弦 AG交 C D 于 F 则 AC AF AG成立吗 并加以证明 3 如图 3 A G仍为 0O的弦 延长 A G交 C D 延 长线于 F 试判 断 2 中的结 论是 否仍 然成 立 并加 以 证 明 图 1 D 一 p 图 3 图 2 图 4 这个问题在数 学 中属 于较 难题 仔 细研 究 问题 的 结构会发现 这道题 目的结论是 结构相 类似 的式子 某 某 一某 某 某 某 故而 联想 到 能 否用 类 比 的方式 解 决这个问题呢 第 1 小 题是 非 常容 易 解 决 的 如 图 4只要 连 接 C B 就能用直 径证 出AAB C是一 个直 角三 角形 再 用 条件 C D l A B 就可 以用射影定理证 明出 AC 一AE AB 这个结论 到 了第 2 题 由于直 径 AB换 成 了弦 A G 表面上看这两小 题之 间没有 任何关 系 但 是 追溯 到射影定理 的 结论 证 明后 会 发 现 其实 A c 2 一AE AB 这个结 论 的得 到源 于 AAB Cc o AC E 由相似 的对应边成 比例才得 到了这 个结论 于是 可以这样用这样 的类 比思 维来思 考 对 照新 结论 AC 一AF AG A C未变 只有 E换成 了F B换 成 了 G 那 么 就可 以这样思 考 能否将原来 的 AB C AC E 换 成 AA GC c z v AAC F 呢 那 么上 一小 题 连接 C B的辅助线 是不 是也 可 以换成 连 接 C G 呢 连 2 O 数学教 育研 究 2 0 1 4年第 1期 接之后 通过观察发 现 图 5上 确实存 在 AG C 和 AC F 那 怎 么 证 明 AGC A AC F 呢 经过运 用类 比思 维进 行 类 比 会很 惊 奇 的发 现 证 明 AG C AC F 的 方 法 和 证 明 AB C o o AAC E一样 都 是通 过 以 A 为顶 点的公 共 角 和证 明以点 c和点 B 换点 G 为顶 点 的两 组 内 角相 等 来 证 明相 图 5 似 然后再 通过 相 似 得 到 比例 式 再 将 比例式 化 成 等 积式 第 3 小 题 的 图形虽 然产 生了变化 但是 结论 还是 同 一 个结 构 所 以和 第 2 题一 样 也首选 运用 类 比思维 来思 考 于是 如图 6 尝 试连接 C G 尝 试 证 明 AGCGO A AC F 并 且 尝试 通过 以点 A 为 顶 点 的公 共 角 和证 明以点 C和点 G 为 顶 点 的两 组 内角 相 等 来证 明 这 两 个 三 角 形 相 似 经 过 推 敲 可 以发 现 第 3 小题 真 的 I t 图 6 用与上述两小题类似 的方法 将它证 出 可见 熟 练运用 类 比思维 可 以大大缩短题 目思 考时 间 实 现较 容易题 的解 题方法到较难题解题方法 的迁移 3 3将数形类 比 活化解题 思路 例如 0 0 0 0 计 算 矛 矛一 此题 是 一 道 典 型 的代 数 计 算题 将此题 的一 个个 加数 与相似三 角形 的面积 类 比 就 非常容易 解决这 一 问题 不妨 构造 这 样 一 个 图 形 AB C 的面 积 为 1 分 别 取 AC B C 两边 的 中点 A B 则 四边 形 0 A A BB 的面积为 再分别 l 岛C 图 7 取 A c B c的 中点 A c B z c 的 中点 A B 则 四边 形A B B 2 A 的面积为寺 依次这样下去 这些四边 0 2 0 形的面积的和就是 素 素 利用这一 图形 能 直 观 地 看 出 这 些 四 边 形 的 面 积 和 就 等 于 AB C减 去最 小 的 三 角形 的 面积 A BC的面 积 等 于 1 而最小 的三角形 面 积是 最 小 的 四边形 的面 积 的 等 于 古 那 么 3 十 3 十 3 暑 的 值 就 等 于1 1 一1 一 为 这样 就 顺 利 的将 这 道 问题 解 决 了 善 用类 比思 维 实 现 数 与形 的迁 移 可 以更 好 的打 开思 路 活化解 题方法 总之 在指导学生解题时 注重 打造 学生 的类 比思 维 引导学 生通过 类 比 探 求 解题 途径 打破 知识 之 间 的屏 障 深化对 知识 的理解 从而掌 握这 一重要 数学 的 思想方法 4 打 造类 比思 维 活化 数学 思 维方 法 类 比思维是 指根据两个 或 两类 对象 之间 在某些 方面 的属性 相似 或相 同 的关 系 推 出它们 在其 他 方 面 的属性也可 能相 似或 相 同的逻 辑 方法 类 比思 维 是独 立于其余思 维之 外的 培养 好学 生的类 比思 维 就不仅 仅能将 结论 进行类 比迁移 或者 实现 更高 级的 将方 法 的类 比迁 移 打造 培养 好类 比思 维 就 能打 开思路 活 化数学 的思维方法 实现学生 能力 的提高 为培 养学 生 其余 的数学思想方法而服务 例 如 在平 面几何 的讲解 中 曾经涉及 到线 段 的中 点 的学习 在统计的讲解 中 我们 会讲到 中位 数 类 比两 者 的名字 两者的名字 中都 涉及 到 中 而 且都 是 中间 的意思 那 么两者 之间有 联 系么 经过研 究发现 线 段 上 上 的中点在平面解析几何中的公式为 丝 厶 线段 的中点就是线段两个端 点 的横 坐标 和纵坐 标 的平 均数 而在学 习中位 数时 我 们用 去掉两端 逐步 接近 正 中心的办法来找 寻 中位数 特别 当偶 数 个数 据组 成 的 数组 最后也 只剩下 中间没划掉 中间两个数 据 那么 中 位数就 是将 剩下两个处在 正中间 的数 的平 均数 作为 中 位 数 打开类 比思维 会发现在数 学 的海洋 里面 这种 情 形 比比皆是 在 数学新课程标准 中也 引述 了这样一例 对 于给定的两个数 z和 求使得 z 一6 一 6 达到最小 的 b 也就 是说要找 到一个 6 o 使得对任 意 的 b 有 z b y b z 一6 0 y 一6 课 程 标 准 提 出 可 以 把 给定的两个 数看 作数对 对应 于二维平 面 的点 如图 8 用 A z 表示 对 于任 意数 b 也 可 以看作 数对 6 6 用 点 B 6 6 表示 将数 式类 比成了相应 的点 然后 利 用 直 线 的 相 关 知识 发现 点 B b 6 是在通 过第一象 限 与横 坐标倾 斜 4 5 角 的直 线 上 这 个 的问 题 就可 以用几 何 语 言 可 以 表 述为 在 这条直 线上 寻找 l y B t b o 曰 6 0 图 8 一 点 使得这一 点到给定点 A z 的距离 最短 显然 这 一点应当是点 A x 到直线的垂 足 设其 为 B 6 b 因为 z一6 一6 一 b o b o一6 b 0 b b 一 b b 2 z 一6 0 b o 6 一6 2 6 一6 由图 8 我们可 以把 上式左边看 作线段 AB长 的平 方 上式 右 边 第 一 个 中括 号 中 的两 项 之 和 看 作 线 段 AB 长 的平方 最后 一项 看作 线段 B B 长 的平 方 因为 B 是 A 到直线 的垂足 由勾股定理 上式右边 第二项 应 当为 0 即 z b o b 0 一0 可 以得 到 b 一 z 4 2 从上面的计算结果可 以看 到 b 正是 z和 Y的算 术平均 课标上还指 出 上 面 的证 明方法 和 结果 可 以类 比 推广到 个数据 即对于给定 的 个数 z 一 z 使 得 下 转第 8页 8 数学教育研究 2 0 1 4年第 1期 可知 当抛物线的焦点弦 A B的倾斜角 由 9 0 逐渐减小到 O 时 抛物线 的焦点弦就逐渐变成抛物线 的对称轴 它 的 长度将 由 2 p趋向无穷大 最后通过师 生的共 同努力 由 直线与抛物线联立两方程 消去 y 由根与系数 的关 系得 z z 一 p2 再 利 用 均 值 不 等 式 得 f A B I z z 号 2 z 1 2 一2 户 这样 学生 对这部分 的内容就 会理解 比较深 刻 不 会只停 留在表 面上 知 其一 不知 其二 因此 教 师在 解 题过程中充分暴露失败 受困与挣 脱 困境 的过 程 才 能 让学生充分体验到 失败是成功之 母 的这条 哲理 的真 实性 带领学生 在逆境 中锻炼成 长 只有在生 动活泼 而 又艰辛 曲折 的探 索过 程 中 学生 学到 的知 识才 更加 深 刻 培养 了学生思维的深刻性 9 一 案例 3 求函数 一2 s i n 一 z E 的初相 9 一 一 位学生给出以下解答 这里相位是一 z o U 初相是当 z 一0时的相位 所以初相是 教师同 U 样 没有简单 评 价对 或 错 而 是 反 问学 生 这 种 解答 对 吗 你 还有 不 同的想 法 吗 同学 们很 疑惑 经过 细致 分 析 后 另 一 位 同 学 给 出 了 另 一 种 解 答 Y一 2 s i n 一 詈 一 一 2 s in 詈 z 一 詈 这 里 相 位 是 鲁 z 一 所以初相是 U U 很 多学生感到惊讶 他们 不能相信 会有这 样 的现 象 出现 同一道 习题竟有截 然不 同的两种答 案 而且 两 种解答 看似都有道理 这 便产生 了惊奇感 从 而引发 了 学 生一系列的 观察 分 析 比较 等思 维活 动 在辩 明 以 上错误的过程 中培养 了思维 的灵活性 在以上两个 案例 中 教师若 过 早地 给予 终结 性 的 评价 自然地就 扼杀 了其 他 学生 的求 异思 维与 发散 思 维 的火花 其 实 在正 常情 况下 由于受 思维 定 势 的影 响 新颖 独 特 的见 解 常 常会 出 现在 思 维过 程 的后 半 段 也就是我们 常说的 顿 悟 和 灵 感 因此 在平 时 的课堂教学 中 对学生的发言 不能 过早地 给予评价 以 对 其他学生的思维形成定势 而应该灵活地运用 延 时 评价 让学生在和谐 的气 氛 中驰骋 想象 畅所 欲言 让 学 生 自己讨论分析 使学 生的个性思维得到充分发展 3利用延时评价 为学生提供 一个敢于自主解 决 问题 的环境 案例 4 求方程 z z 2 z s i n 1 一 的实数解 一 位学生板 书 因 为 z R 一4 s i n z 一4 o 由此推 出 s i n z 1 从 而 s i n z 一1 即 s i n 一 1 所 以有 z 一2 n 1 Z 紧接着有一 位学 生举 手 说有 不 同 的解法 并板 书 道 原方 程化 为 一 s i n 警 c 0 s z 一 0 所以 一 s i n 8 一0 且 C O S 6 一0 由后式 得 z 一2 n 十1 n z 代 一 0 1 入前式得 2 n 1 一s i n 歹 lj 举 可得 n 一0或 一 1 所 以 z一 1 在这里 传统 教学 中教 师很 可 能会 直接 给 出评 价 对 或错 学生失去 了分析判 断 的机会 我仍然 采取 了微 笑 不语 不 直接 给出评 价 的策略 让 同学 们 自己分析 到底 哪种解 法是对的 哪种解法 是错 的 错 在何 处 经 过辩论 最 后大 家统一 认识