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拟移位映射与移位映射拓扑共轭 代 莉 广州市西关外国语学校 广东 广州 510175 摘 要 研究了文献 1 中的模映射 证明其拓扑熵为 0 另外利用该映射证明了拟移位映射和移位映射拓扑 共轭 从而揭示出拟移位映射是移位映射的一个重要的拓扑共轭系统 关键词 模映射 移位映射 拟移位映射 帐篷映射 拓扑熵 中图分类号 O189 1 文献标识码 A 文章编号 1671 9743 2009 02 0036 04 收稿日期 2009 01 07 作者简介 代 莉 1982 女 吉林吉林市人 广州西关外国语学校教师 硕士 主要研究拓扑动力系统 文献 1 推广 Li York 混沌定义 给出正混沌的概念 并且得到描述正混沌的符号动力系统 模映 射 在本文中 我们证明了模映射具有 0 拓扑熵 拟移位映射是符号空间上一类特殊的混沌映射 被广泛关注 文献 2 给出了单边符号空间上的拟移 位映射定义 并用该类映射描述了 Cantor 集及平面 Cantor 集上的混沌映射 文献 3 给出了双边符号空间 上的拟移位映射 用来描述 Smale 马蹄映射 并且证明了该映射和双边符号空间上的移位映射拓扑共轭 文 献 4 给出了双边符号空间上的新的一类拟移位映射 用来描述M bius 带上的奇怪吸引子 且证明了该映 射和双边符号空间上移位映射拓扑共轭 本文研究了 2 中拟移位映射 证明了单边符号空间上拟移位映 射和移位映射拓扑共轭 进而得到一类帐篷映射的拓扑熵 1 Bowen的拓扑熵定义 我们首先引进 Bowen 的拓扑熵定义 5 定义 X f 为紧致系统 d 是X 的一个拓扑度量 设 n 0和 0 子集合 F X 叫做f 的 n 张成集 如果对每一个 x X 存在 y F 使得 d f i x fi y i 0 1 n 1 子集合 E X 叫做f 的 n 分离集 如果 x y E x y 存在 0 i 用 rn X f 表示f 的 n 张成集的下确界 用 Sn X f 表示f 的 n 分离集的上确界 则 ent f lim 0 lim n sup 1 n logrn X f lim 0 lim n inf 1 n logSn X f 称为f 的在 Bowen 意义下的拓扑熵 2 模映射的拓扑熵为 0 文献 1 推广 Li York 混沌定义 给出正混沌的概念 并且得到描述正混沌的符号动力系统 模映 射 设 X d 为一个度量空间 f C 0 X 为连续自映射 记 P f 为f 的所有周期点的集合 若存在不可数集 第 28 卷第 2期 怀化学院学报 Vol 28 No 2 2 0 0 9 年 2 月 JOURNAL OF HUAIHUA UNIVERSITY Feb 2009 S X P f 对任意 x y S 存在正实数 Cx y 0 满足 i lim k infd f k x fk y Cx y ii lim k supd f k x fk y C x y 则称f 是正混沌的 设 x xi i 0 xi 0 1 上定义度量 为 对任意的 x y x y max 2 i xi yi i 0 空间 称为单边符号空间 是紧致 完备 完全不连通的 记 是循环群 Z2上的二元运算 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 定义模映射 m 为 对任意 x m x x0 x0 x1 x1 x2 定理 1 1 模映射 m 是正混沌的 定理 2 模映射 m 拓扑熵为 0 证明 下面用 Bowen 定义给出证明 对于任意的 0 存在 l Z 满足 1 2 l 记 Bl B x0 x1 xl 1 xk 0 1 k 0 1 l 1 记 Sl BBB B Bl 则对任意的 x x0 x1 x2 和 n Z 存在 y x0 x1 xl 1 x0 x1 xl 1 Sl 且 m i x m i y i 0 1 n 1 从而 Sl是模映射m 的一个 n 张成集 易知 Sl的基数Card Sl 2 l 令 r n m 为 m 的 n 张成集的下确界 则有 rn Card Sl 从而 lim n sup 1 n logrn m lim n 1 n logCard Sl 0 由 的任意性可得 ent m lim 0 lim n sup 1 n logrn m 0 证毕 3 拟移位映射与移位映射拓扑共轭 本节中 我们将利用模映射证明单边符号空间上拟移位映射和移位映射拓扑共轭 单边符号空间 上 的移位映射 定义为 对任意x x0 x1 x2 x x1 x2 大家熟知 Smale 马蹄 6 存在子 系统与符号系统 拓扑共轭 37 第 28 卷第 2 期 代 莉 拟移位映射与移位映射拓扑共轭 文献 2 给出了单边符号空间上的拟移位映射 拟移位映射 为 对任意 x x0 x1 x2 定义 x x1 x2 x3 x0 0 x 1 x 2 x 3 x0 1 其中对任意 i 1 xi的对称元x i定义为 x i 1 xi 0 0 xi 1 定理 3 拟移位映射 与移位映射 拓扑共轭 证明 记 是循环群 Z2上的二元运算 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 定义模映射 m 同上 易知 m 是一个同胚映射 对任意的 x x0 x1 x2 m x x0 x0 x1 x1 x2 x0 x1 x1 x2 而 m x m x1 x2 x3 x0 0 m x 1 x 2 x 3 x0 1 x1 x1 x2 x2 x3 x0 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x0 1 x0 x1 x1 x2 x2 x3 x0 0 x0 x1 x 1 x 2 x 2 x 3 x0 1 x0 x1 x1 x2 x2 x3 x0 0 x0 x1 x1 x2 x2 x3 x0 1 x0 x1 x1 x2 x2 x3 从而 m m 证毕 引理 1 移位映射的拓扑熵 ent log2 定理 4 拟移位映射的拓扑熵 ent log2 证明 由定理 3 拟移位映射 与移位映射 拓扑共轭 因为拓扑熵是拓扑共轭不变量 再由引理 1可得 ent log2 证毕 定义帐篷映射 2 T x kx x 0 1 k 1 x 1 k 1 1 k k 1 x x 1 1 k 1 38 怀化学院学报 2009 年 2月 其中 k 是大于 2 的实数 以 Ck表示 0 1 上的 Can