探求试题背后的规律.pdf

J 新高哲数学 棵求试韪酱赢昀规律 刘心 解决一个数学问题不仅仅是找到了一 种方法 发现问题隐藏的内在规律则更为重 要 先看一例 如图1 椭圆E 手 茅一1 口 6 o 的 左焦点为F 右焦点为F 离心率e 一寺 过 F 的直线交椭圆于A B 两点 且 A B F 2 的周长为8 y 1 历沓一 Ko 图l 1 求椭圆E 的方程 2 设动直线z y 一是z m 与椭圆E 有 且只有一个公共点P 且与直线z 一4 相交 于点Q 试探究 在坐标平面内是否存在定点 M 使得以P Q 为直径的圆恒过点M 若存 在 求出点M 的坐标 若不存在 说明理由 这道试题对考生的数学知识 解题能力 以及数学思想方法的掌握程度做了综合考 查 内涵十分丰富 很值得探究 1 N e wU n v e r s i t yE n t r a n c eE x a m i n a t i o n 一 问题解决 着重研究第 2 题 这是一道探究恒过 定点的问题 反映了数学的不变性 在解析 几何中具有普遍性与典型性 研究数学不变 性通常可以采用 特殊引路 的方法 首先 从特殊情形出发 寻找定点 如果 存在 的位置 再进行一般论证 本题的特殊 位置可选取两条水平切线 即P 点位于椭圆 短轴两端点 如图2 此时两圆方程为 z 一 2 2 y 3 一4 其交点为 1 o 3 o 从而 任意一条切线对应的定点 如果存在 只可能在此两点中产生 这样将大大缩小寻 找定点的范围 减少运算量 V 4 八 2 r k 厂 5 工 一2 U 一4 图2 第二 以P Q 为直径的圆恒过定点M 万方数据 这一条件可以有多种数学表达形式 其中 志删 走洲一一1 碎 莉一o 是比较简 捷的表达形式 这两种形式都与点的坐标密 切联系 因而正确表示P Q M 点的坐标是 本题的关键 M 点的坐标由特殊引路的探究 可简化为一元表示 P Q 两点中P 点如何表 示 通常可从两方面思考 一是由切线方程 与椭圆方程联立解交点 得到点P 坐标 即 用点M 表示点P 坐标 二是 设而不求 先 设P 点坐标 并用P 点坐标表示P Q 方程 求出Q 点坐标 第三 何时求出直线与圆锥曲线公共点 的坐标 何时不求公共点坐标 从减少运算 量的角度判断 能不解交点则尽量不解交 点 但许多时候求解交点也比较方便 运算 量并不大 如 1 已知直线和圆锥曲线的具 体方程解交点 2 已知其中一个交点求另 一个交点坐标 3 已知直线过原点 4 已 知直线与圆锥曲线只有一个公共点 等等 根据以上分析得到以下解法 f y 一志z m 解法一 由1 车 嬖一1 j 妒 3 4 3 一 z 2 8 忌m z 4 m 2 1 2 一O 故 一6 4 优2 志2 4 4 志2 3 4 研2 一1 2 一O j 4 志2 一m 2 3 一O 于是z 一煮 一一筹 y 一杀 所以 P 一筹 去 f v 一志 r m 由 Q 4 4 是 m l z 一4 设存在M z o 则由丽声 蔺一o 可 得一坐 垫一4 z z i 坐 3 一o 所 mmm 以 4 2 1 4 鱼 z 4 z 3 一o 由于对任意m 是但成立 所以联立解得 z 一1 故存在点M 1 o 符合题意 解法二 设椭圆蓦 菩一l 上动点 口 D P z y 不妨设点P 在z 轴上方 由y 一 鲁 砩导数 可得了7 一鲁 高 口a z 一 2 当z z 时 y 一一笔塑 所以经过点P 且 口 V o 与椭圆只有一个公共点的直线方程为y y 一舞 上一训 即等 铲 1 n o a b 由莩 等一1 可得过椭圆上一点P z 4J y 且与椭圆有一个公共点的直线方程为 等 等一1 与直线z 4 的交点Q 的坐 标为 4 等 设点M 坐标为 o 则是P M 忌州一 兰 梨一一1 z o 一 y o 4 一f 一 可得z 1 一 2 4 3 一O 恒成立当 日f 叉当 一 即讨定点M O 二 多方探究 从归纳 类比 联想 发散等思维方法出 发 对本题进行进一步探究可以得到一系列 有价值的结论 这既是对原问题的深化与拓 展 也是培养数学创新能力的高效途径 1 归纳探究 对上述解法回顾反思 容易发现 直线z 一4 恰好是椭圆的准线 定点M 1 o 恰好是 椭圆的焦点 这是偶然的巧合吗 归纳发现 对于任意椭圆也有如下结论 个2 2 已知椭圆E 与 芬 1 6 o 设 N e wU n i V e r s l t yE n t r a n c eE x a m i n a t I o n S 万方数据 l 新 陪数学 动直线z y 一是z m 与椭圆E 有且只有一个 2 公共点P 且与直线z 一生交于点Q 则以 P Q 为直径的圆恒过椭圆E 的右焦点F 仿照解法二容易证明上述结论 一般地 如果我们从一个特殊的结论出 发 探究得到对于普遍情形结论仍成立 则 我们不但发现了具有普遍意义的规律 同时 也发现了验证普遍规律的方法 这样的方法 往往具有通法的意义 2 类比探究 类比是从两类对象的部分相似性质 推 断其他相似性 类比是数学研究的重要思想 方法 椭圆 双曲线 抛物线都是到定点与到 定直线的距离之比为定值的点的集合 且具 有许多类似性质 因此本试题的结论可尝试 类比到双曲线 抛物线中去 从而获得以下 结论 1 设动直线Z y 一忌z m 与双曲线E 事一苦一1 a o 6 o 有且仅有一个公共 n 2 点P 且与直线z 交于点Q 则以P Q 为 直径的圆恒过双曲线E 的右焦点F 2 设动直线Z y 一是z m 与抛物线E y 2 2 户z p 0 有且仅有一个公共点P 且 与直线z 一一要交于点Q 则以P Q 为直径 的圆恒过抛物线E 的焦点F 号 o y 2 纩 Q 6 o 右焦 点为F 右准线Z 过椭圆E 上任一点P 作直 线P F 的垂线交右准线Z 于点Q 则直线P Q 与椭圆E 有且只有一个公共点P 证明 从略 以上结论对双曲线 抛物线均成立 且 此结论提供了过圆锥曲线上任一点作切线 的方法 而2 0 1 2 年高考安徽卷第2 0 题 第 万方数据 2 小题正是上述结论的特殊形式 请看 如图4 点F 一f 0 F c O 分别是椭 圆c 乏 善一1 口 6 o 的左右焦点 过 口 D 点F 作z 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于 点P 过点F 作直线P F 的垂线交直线z 一生于点Q 1 如果点Q 的坐标为 4 4 求此时椭 圆C 的方程 2 证明 直线P Q 与椭圆C 只有一个 公共点 4 i y 芥彰 Q 6 上一点 P z y 作直线与椭圆E 有且只有一个公 共点 且与直线z 一竺交于Q 点 试探究以 P Q 为直径的圆是否过定点F7 m 0 仿照前面的探究可知 过P z y 作椭 圆的切线可得切线方程为等 等一1 与 直线z 一笔的交点Q 的坐标为 篆 m m 6 2 m z o m 了o 6 2 m z o 于是碲 k 一点 手一 一m 优 6 2 n 2 一仇2 此式当且仅当m c 时 志P F 志Q F 一 一1 即直线P F 7 与Q F7 垂直 但从这一探究过程我们发现了一个更 一般的结论 即 过椭圆E 事 荸一