高数I总（南航）.pdf

南南 京京 航航 空空 航航 天天 大大 学学 第 1 页 共 6 页 二 六 二 七 学年 第 一 学期 高等数学 高等数学 I 考试试题 考试试题 考试日期 2007 年 1 月 22 日 试卷类型 A 试卷代号 班号 班内序号 学号 姓名 三 四 题号 一 二 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 总分 得分 一 填空一 填空 1 设设 2 arcsin 1yx 则 则1 2 d x y 2 设设 1 arctan 0 0 0 xx f xx x 则左导数 则左导数 0 f 3 12 lim n n n n 4 设设 cos cos2fxx 且 且 0 1f 则 则 f x 5 已知已知 1 sinsin3 3 f xaxx 在在 3 x 处取得极值处取得极值 则则a 3 f 是极是极 值值 6 设设2 Aab Bkab 其中其中 1 2ab 且且 abAB 则常数则常数k 二 选择二 选择 1 下列等式中正确的是下列等式中正确的是 A 2 00 1sincos0 xdxxdx B 2 0 1 x dx x C 1 1 1 1 1 ln0dxx x D 1 1 0f x dx 其中其中 2 1 sin 0 0 0 xx f xx x 本题分数 24 得 分 本题分数 9 得 分 第2页 共6页 2 设设 sin2 00 sin ln 1 xx f xtdt g xt dt 则当 则当0 x 时 时 f x与与 g x相比是相比是 A 等价无穷小等价无穷小 B 同阶但非等价无穷小同阶但非等价无穷小 C 高阶无穷小高阶无穷小 D 低阶无穷小低阶无穷小 3 设设 1 21 fxxxx 则在区间 则在区间 1 1 2 内内 f x是是 A 单调增加 曲线单调增加 曲线 yf x 为凹的为凹的 B 单调减少 曲线单调减少 曲线 yf x 为凹的为凹的 C 单调增加 曲线单调增加 曲线 yf x 为凸的为凸的 D 单调减少 曲线单调减少 曲线 yf x 为凸的为凸的 三 计算题三 计算题 1 设函数设函数 yy x 由由 2 arctan sinln 1 0 xt yyt 确定 求确定 求 dy dx 2 计算计算 tan 2 1 lim 2 x x x 本题分数 6 得 分 本题分数 6 得 分 第3页 共6页 3 求求 2 5 63 x dx xx 4 求求 2 arctan x dx x 5 计算计算 2 1 21 2 11 xx xx ee dx x 本题分数 6 得 分 本题分数 7 得 分 本题分数 6 得 分 第4页 共6页 6 证明 当证明 当0 x 时 时 2cos x exx 四 综合题四 综合题 1 已知直线已知直线 1 112 123 xyz L 2 210 320 xy L xz 证明 证明 12 LL 并求 并求 1 L与与 2 L所确定的平面的方程所确定的平面的方程 本题分数 8 得 分 本题分数 7 得 分 第5页 共6页 2 设设 f x为连续函数 为连续函数 1 0 dxf xtt 且 且 0 lim2 x f x x 求求 x 3 设设 f x在在 0 a上 非 负 上 非 负 0 0 0ffx 设 设S为为 yf x 0y 以及 以及xa 所围成的平面图形的面积 设所围成的平面图形的面积 设V为 该图形围绕 为 该图形围绕y轴旋转一周所得旋转体的体积轴旋转一周所得旋转体的体积 令令 2 V I S 求证 求证 2 3 Ia 本题分数 8 得 分 本题分数 6 得 分 第6页 共6页 4 设设 2 coscoscosn n fxxxx 1 求证 求证 任给自然数任给自然数1n 方程 方程 1 n fx 在在0 3 上有且仅有一 个根 上有且仅有一 个根 2 设设0 3 n x 是是 1 n fx 的根 证明数列的根 证明数列 n x的极限存 在 并求 的极限存 在 并求lim n n x 本题分数 7 得 分 南南 京京 航航 空空 航航 天天 大大 学学 第 1 页 共 5 页 二 六 二 七 学年 第一学期 课程名称 高等数学 高等数学 I 参考答案及评分标准 参考答案及评分标准 命题教师 肖瑞霞 试卷类型 A 试卷代号 一 填空一 填空 每一个小题每一个小题 4 分 共分 共 24 分 分 1 设设 2 arcsin 1yx 则 则1 2 d x y 2 3 dx 2 设设 1 arctan 0 0 0 xx f xx x 则左导数 则左导数 0 f 2 3 12 lim n n n n 2 3 4 设设 cos cos2fxx 且 且 0 1f 则 则 f x 2 2 1 3 xx 5 已知已知 1 sinsin3 3 f xaxx 在在 3 x 处取得极值处取得极值 则则a 2 3 f 是极是极 大大 值值 6 设设2 Aab Bkab 其中其中1 2ab 且且 ab AB 则常数则常数k 2 二 选择二 选择 每一个小题每一个小题3分 共分 共9分 分 1 下列等式中正确的是下列等式中正确的是 D A 2 00 1sincos0 xdxxdx B 2 0 1 x dx x C 1 1 1 1 1 ln0dxx x D 1 1 0f x dx 其中其中 2 1 sin 0 0 0 xx f xx x 2 设设 sin2 00 sin ln 1 xx f xtdt g xt dt 则当 则当0 x 时 时 f x与与 g x相比是相比是 B A 等价无穷小等价无穷小 B 同阶但非等价无穷小同阶但非等价无穷小 C 高阶无穷小高阶无穷小 D 低阶无穷小低阶无穷小 第2页 共5页 3 设设 1 21 fxxxx 则在区间 则在区间 1 1 2 内内 f x是是 B A 单调增加 曲线单调增加 曲线 yf x 为凹的为凹的 B 单调减少 曲线单调减少 曲线 yf x 为凹的为凹的 C 单调增加 曲线单调增加 曲线 yf x 为凸的为凸的 D 单调减少 曲线单调减少 曲线 yf x 为凸的为凸的 三 综合题三 综合题 1 设函数设函数 yy x 由由 2 arctan sinln 1 0 xt yyt 确定 求确定 求 dy dx 解 解 2 1 1 dx dtt 2 分 2 2 1cos 1 dyt dtyt 4 分 2 1 cos dyt dxy 6 分 2 计算计算 tan 2 1 lim 2 x x x 解 原式解 原式 1 lim 1 tan 2x xx e 2 分 1 1 lim cos 2 x x x e 4 分 2 e 6 分 3 计算计算 2 5 63 x dx xx 解 原式解 原式 2 22 1 63 1 8 26363 d xx dx xxxx 3 分 2 1236 ln636ln 2336 x xxC x 6 分 4 计算计算 2 arctan x dx x 解 原式解 原式 2 arctan 1 xdx xxx 3 分 2 arctan ln 1 xx C x x 6 分 第3页 共5页 5 计算计算 2 1 21 2 11 xx xx ee dx x 解 解答一 解 解答一 原式原式 2 1 21 2 11 x dx x 3 分 1 2 0 411xdx 5 分 4 7 分 解答二 令解答二 令sinxt 则原式则原式 2 2 0 sincos 2 1cos tt dt t 4 分 4 7 分 6 证明 当证明 当0 x 时 时 2cos x exx 令令 2cos x f xexx 不难得出 不难得出 0 0f 2 分 则则 sin1 x fxex 并且 并且 0 0f 4 分 又又 cos0 x fxex 所以所以 0 0fxf 0 0f xf 7 分 四 综合题四 综合题 1 已知直线已知直线 1 112 123 xyz L 2 210 320 xy L xz 证明 证明 12 LL 并求 并求 1 L与与 2 L所确定的平面的方程 所确定的平面的方程 证明 证明 1 L的方向向量的方向向量 1 1 2 3 s 2 L的方向向量的方向向量 2 2 1 0 3 0 1 1 2 3 s 12 ss 所以所以 12 LL 3 分 取取 1122 1 1 2 0 1 2 PL PL 12 1 2 4 P P 123 2 7 4 124 ijk n 6 分 所以平面方程为所以平面方程为2 1 7 1 4 2 0 xyz 也就是也就是27410 xyz 8 分 2 设设 f x为连续函数 为连续函数 1 0 dxf xtt 且 且 0 lim2 x f x x 求 求 x 解 令解 令txu 第4页 共5页 0 0 x f u du xx x 3 分 0 2 x xf xf x dx x x 5 分 0 2 00 0 0 limlim x xx f u du x xx 0 lim1 2 x f x x 8 分 3 设设 f x在在 0 a上非负 上非负 0 0 0ffx 设 设S为为 yf x 0y 以及 以及 xa 所围成的平面图形的面积 设所围成的平面图形的面积 设V为该图形围绕为该图形围绕y轴旋转一周所得旋转 体的体积 令 轴旋转一周所得旋转 体的体积 令 2 V I S 求证 求证 2 3 Ia 证明 证明 0 a Sf x dx 0 2 a Vxf x dx 0 0 2 a a xf x dx V I S f x dx 3 分 令令 00 2 3 xx F xtf t dtxf t dt 0 0F 0 12 33 x Fxxf xf t dt 0 0 F 11 333 x Fxxfxf xfxf 0 0 0 x fxFx 又又 0 0 F 所以所以 0 Fx 又因为又因为 0 0F 所以所以 0 F x 所以所以 0 F a 6 分 4 设设 2 coscoscosn n fxxxx 1 求证 认给自然数求证 认给自然数1n 方程 方程 1 n fx 在在0 3 上有且仅有一个根 上有且仅有一个根 2 设设0 3 n x 是是 1 n fx 的根 证明 数列 的根 证明 数列 n x的极限存在 并且计算的极限存在 并且计算lim n n x 证明及解 证明及解 1 令令 1 nn xfx 0 10 n n 1 0 32 n n 又因为函数连续 所以一定存在又因为函数连续 所以一定存在0 3 n x 满足满足 0 1 nnnn xfx 第5页 共5页 因为因为 0 n x 所以根唯一 所以根唯一 4 分 2 111 nnnnnn fxfxfx 又因为又因为0 3 n x 所以 所以lim n n x 存在 设存在 设lim n n ax 由由 1 nn fx 得 得cos 1cos 1cos n nnn xxx 两边同时取极限两边同时取极限 limcos 1cos lim 1cos n nnn nn xxx cos1cosaa 3 x 7 分 南南 京京 航航 空空 航航 天天 大大 学学 第 1 页 共 6 页 二 六 二 七 学年 第一学期 高等数学一 考试试题 高等数学一 考试试题 考试日期 2007 年 3 月 日 试卷类型 B 试卷代号 班号 班内序号 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总分 得分 一 填空与选择一 填空与选择 1 1 3 2 2 14 ab 则则ab 2 2 0 sin31 lim ln 14 x x xe x 3 3 arcsin2cos 4yxx 则 则y 4 43 341yxx 的凸区间为的凸区间为 5 32 11 61 32 yxxx 的图形在点 的图形在点 0 1 处切线与 处切线与x轴交点的坐标是轴交点的坐标是 A 1 0 6 B 1 0 6 C 1 0 D 1 0 6 曲线 曲线 3 2 sin 0 yxxx 与 与轴围成的图形绕轴围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积 为 轴旋转所成的旋转体的体积 为 A 4 3 B 4 3 C 2 2 3 D 2 3 7 如果函数 如果函数y f x 有有 0 1 2 fx 则当 则当0 x 时 该函数在时 该函数在 0 xx 处的微分处的微分dy 是是 A 与 与 x等价的无穷小 等价的无穷小 B 与 与 x同阶的无穷小 同阶的无穷小 C 比 比 x低阶的无穷小 低阶的无穷小 D 比 比 x高阶的无穷小 高阶的无穷小 8 f x 是连续函数 是连续函数 ln 1 x x F xf t dt 则 则 Fx A 2 111 ln fxf xxx B 1 ln fxf x C 2 111 ln fxf xxx D 1 ln fxf x 本题分数 32 得 分 第2页 共6页 二 求二 求 1 lim x x x xe 三 设函数三 设函数y y x 由方程由方程y2 y 2x确定 求确定 求y 四 已知四 已知 sin x x 是是 f x的一个原函数 求的一个原函数 求 xfx dx 本题分数 5 得 分 本题分数 6 得 分 本题分数 6 得 分 第3页 共6页 五 求五 求 2 25 x dx xx 六 求六 求arctanxxdx 本题分数 6 得 分 本题分数 6 得 分 第4页 共6页 七 求七 求 2 1 2 2 2 1x dx x 八八 求函数求函数y 2x3 3x2 12x 5的极值 的极值 本题分数 6 得 分 本题分数 7 得 分 第5页 共6页 九 设直线九 设直线y ax 0 a 时 时 2 ln 1 2 x xx 本题分数 7 得 分 本题分数 7 得 分 第6页 共6页 十一十一 设函数设函数 0 00 x g xe x F x x x 其中其中g x 有二阶连 续导数 且 有二阶连 续导数 且g 0 1 g 0 1 求 求F 0 十二十二 设函数设函数f x 在在 0 1 上连续 且对任意上连续 且对任意x 0 1 有有 0 af xb SaS 6 22 2 1 S为面积的最小值 为面积的最小值 7 3 令 令 2 1ln 2 x xxxf 0 1 2 x x xf 4 0 0 fxf 7 五 五 1 x x exg F x x 0 lim 0 0 3 x exg x x 2 lim 0 5 2 1 0 g 7 2 0 1 0 xf bxfaxf x 0 xf ab baxf 1 0 1 0 1 badx xf abdxxf 3 两边同除两边同除 a a b xf dx bdxxf a 1 1 1 0 1 0 5 南南 京京 航航 空空 航航 天天 大大 学学 第 1 页 共 6 页 二 六 二 七 学年 第 二 学期 高等数学 高等数学 I 期末考试试题 期末考试试题 考试日期 2007 年 7 月 3 日 试卷类型 A 试卷代号 内号内号班序班序 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 一 填空 1 设 sin xy ze 则 1 dz 2 1 3 f x x 展开成x的幂级数是 3 函数 22 2f x yxaxxyby 在点 1 1 处取得极值 则常数a b 4 设闭曲线 222 2 1 xyzz z 则 222 xyzds 5 设 2 f xxx B 0p C 1p D 0p 3 微分方程 2 1sinyyxx 的特解形式可设为 A 2 sincosyaxbxcAxBx B 2 sincosyx axbxcAxBx C 2 sincosyaxbxcx AxBx D 2 sinyaxbxcAxx 三 设 y zf x x 其中f有二阶连续偏导数 求 2 zz xx y 本题分数 8 得 分 第3页 共6页 四 计算 11 3 0 1 x dxy dy 五 求微分方程 2lnx yyxx 满足 1 1 9 y 的特解 本题分数 8 得 分 本题分数 8 得 分 第4页 共6页 六 计算曲线积分 3222 2cos132 sin3 L Ixyyxdxyxx ydy 其中L是曲线sinyx 上由点 0 0 到点 1 2 的一段弧 七 计算 33 226x dydzy dzdxxyz dxdy 其中 为 曲面 22 01 zxyz 的下侧 本题分数 8 得 分 本题分数 10 得 分 第5页 共6页 八 求幂级数 0 1 3 n n n x n 的收敛域与和函数 九 设函数 f xg x有二阶连续导数 0 0f 0 0g 且 对 于 平 面 上 任 意 简 单 闭 曲 线L 有 2 22 2 0 x L y f xyeyg xdxyg xf x dy 求 f xg x 本题分数 10 得 分 本题分数 10 得 分 第6页 共6页 十 已知 1 lim n n n a r a 且 1 n n a 条件收敛 求r 本题分数 5 得 分 南南 京京 航航 空空 航航 天天 大大 学学 第 1 页 共 4 页 二 六 二 七 学年 第 二 学期 高等数学 高等数学 I 期末考试参考答案与评分标准 期末考试参考答案与评分标准 考试日期 2007 年 7 月 3 日 试卷类型 A 试卷代号 一 填空 每小题 4 分 1 设 sin xy ze 则 1 dz dxdy 2 1 3 f x x 展开成x的幂级数是 0 1 3 33 n n x x 3 函数 22 2f x yxaxxyby 在点 1 1 处取得极值 则常数a 5 b 2 4 设闭曲线 222 2 1 xyzz z 则 222 xyzds 4 5 设 2 f xxx B 0p C 1p D 0p 3 微分方程 2 1sinyyxx 的特解形式可设为 C A 2 sincosyaxbxcAxBx B 2 sincosyx axbxcAxBx C 2 sincosyaxbxcx AxBx D 2 sinyaxbxcAxx 第2页 共4页 三 设 y zf x x 其中f有二阶连续偏导数 求 2 zz xx y 解 12 2 zy ff xx 4分 2 12222 32 11zy fff x yxxx 8分 四 计算 11 3 0 1 x dxy dy 解 2 111 33 000 11 y x dxy dydyy dx 4分 1 23 0 2 12 21 9 yy dy 8分 五 求微分方程2lnx yyxx 满足 1 1 9 y 的特解 解 22 ln dxdx xx yex edxC 3分 2 2 1 lnxxdxC x 6分 23 2 1ln 39 xxx C x 代入 1 1 9 y 得0C 所以 23 2 1ln 39 xxx y x 8分 六 计算曲线积分 3222 2cos132 sin3 L Ixyyxdxyxx ydy 其中L是曲线sinyx 上由点 0 0 到点 1 2 的一段弧 解 2 62 cos P xyyx y 2 2 cos6 Q yxxy x 所以积分与路径无关 替换为 0 0 0 1 22 4分 原式 1 22 2 00 3 32 4 dxyydy 2 2 42 8分 第3页 共4页 七 计算 33 226x dydzy dzdxxyz dxdy 其中 为曲面 22 01 zxyz 的下侧 解 补面 22 1 1 1 zxy 取上侧 5分 原式 1 22 616 xydvxyz dxdy 2 21121 2 0000 6 1 6 r drdrrdzdrdr 462 10分 八 求幂级数 0 1 3 n n n x n 的收敛域与和函数 解 1 11 lim3 1 33 n n n n n a aR na 在3x 点 0 1 1 n n 发散 在3x 点 0 1 1 n n n 收敛 所以收敛域为 3 3 4分 0 0 1 1 3 n n n x s xs n 1 00 3 1 333 nn nn nn xx xs x nx 8分 所以 3 ln 3 ln3xs xx 所以 33 ln 0 3 1 0 x s xxx x 10分 九 设函数 f xg x有二阶连续导数 0 0 0 0fg 且对于平面上任意简单 闭曲线L 有 2 22 2 0 x L y f xyeyg xdxyg xf x dy 求 f xg x 第4页 共4页 解 任意简单闭曲线积分为0 PQ yx 2 22 2 2 x yf xeg xyg xfx x g xf xfxg xe x gxg xe 5分 解得 12 1 2 xxx g xC eC exe 所以 12 1 1 2 xxx f xC eC exe 9分 又 0 0 0 0gf 所以 12 11 44 CC 所以 2 111 1 442 xxx f xeexe 111 442 xxx g xeexe 10分 十 已知 1 lim n n n a r a 且 1 n n a 条件收敛 求r 解 1 lim n n n a r a 如果1r 1 n n a 发散 不成立 如果1r 则曲线积分 22 L xyds 4 设 22 3u x y zxyxyz 则gradu 5 微分方程320yyy 的通解是 6 设 2 1 0 1 0 x f x xx 则级数 1 1 1 1cos n n k n 的敛散性是 A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 敛散性与k有关 三 设 22 sin zfy xy 其中f有二阶连续偏导数 求 2 zz xx y 本题分数 8 得 分 第3页 共6页 四 计算 222 0 y x dxedy 五 求微分方程 ln x xyy x 的通解 本题分数 8 得 分 本题分数 8 得 分 第4页 共6页 六 计算曲线积分 33xx L yeydxexdy 其中L 是逆时针方向的圆周 22 2xyy 七 计算 2 2z dydzyzdzdxdxdy 其中 是半球面 22 1zxy 的上侧 本题分数 8 得 分 本题分数 10 得 分 第5页 共6页 八 求幂级数 21 1 1 1 21 n n n x n 的收敛域与和函数 并求 1 1 3 1 21 3 n n n n 九 设函数 f x有二阶导数 0 0 0 1f f 曲线积分 222 L x yxyf x y dxfxx y dy 在全平面内 与路径无关 求 f x 本题分数 10 得 分 本题分数 8 得 分 第6页 共6页 十 设有方程10 n xnx 其中n为正整数 1 证明此方程在 0 1 内存在唯一正实根 n x 2 证明当1 时 级数 1 n n x 收敛 本题分数 7 得 分 南南 京京 航航 空空 航航 天天 大大 学学 第 1 页 共 3 页 二 六 二 七 学年 第 二 学期 高等数学 高等数学 I 参考答案与评分标准 参考答案与评分标准 考试日期 2007 年 9 月 日 试卷类型 B 试卷代号 一 填空 每小题 4 分 1 函数 y zx 在点 2 1 处的全微分 2ln2dzdxdy 2 1 2 f x x 展开成x的幂级数是 0 1 2 22 n n x x 则曲线积分 22 L xyds 3 2 a 4 设 22 3u x y zxyxyz 则gradu 2 6 xyzyxz xy 5 微分方程320yyy 的通解是 2 12 xx C eC e 6 设 2 1 0 1 0 x f x xx 则级数 1 1 1 1cos n n k n 的敛散性是 A A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 敛散性与k有关 第2页 共3页 三 设 22 sin zfy xy 其中f