武汉科技大学_信号与系统习题精解第6章.pdf

145 第第 6 6 章章 系统及系统的系统及系统的时域分析时域分析 6 1 学习要点 1 系统的分类 1 连续 时间 系统与离散 时间 系统 2 即时系统与动态系统 3 确定性系统与随机性系统 4 单输入 单输出系统与多输入 多输出系统 5 线性系统与非线性系统 6 时变系统与时不变系统 7 因果系统与非因果系统 8 稳定系统与非稳定系统 2 线性时不变因果稳定系统的基本特性 1 线性 齐次性 可加性 2121 yyff 6 1 2 时不变性 dfd ttyttf 对连续系统 6 2 dfd kkykkf 对离散系统 6 3 3 微积分特性 tytf f 6 4 dxxydxxf t f t 6 5 4 因果性 如果0 f 0 tt 或 0 kk 则0 f y 0 tt 或 0 kk 5 稳定性 如果系统的激励 f时 则零状态响应 1 则其零状态响应 为 cos cos 11df ttfatfaty 显然 1dff ttyty 故该系统是时不变 系统 2 已知 nf nbfny f 设 001 nnnnfnf 则其零状态响应为 011 nnbfnbfny f 显然 01 nnyny ff 故该系统是时不变系统 3 3 3 3 下列系统中 f和 f y分别表示激励和零状态响应 试判断系统的因果性 1 3 7 tfty f 2 t f xxftyd 3 2 5 3 nfnfny f 4 n i f ifny 5 1 nfny f 6 3 tftyf 解解 对于 1 4 由于任一时刻的零状态响应均与该时刻以后的输入无关 因此都 是因果系统 而对于 5 系统任一时刻的零状态响应都与该时刻以后的激励有关 响应在先 激励 在后 这在物理系统中是不可能的 因此 该系统是非因果非因果的 6 也是非因果的 因为如果 0 tf 0 tt 则有 0 3 tfty f 3 0 t t 可见在区间 0 0 3 tt t ttCtCety t x 代入初始条件得 0 sincos 0 1021 CtCtCey t t x 2 cossin sincos 0 2102121 CCtCtCetCtCey t tt x 联立以上两式 解得20 21 CC 所以 系统的零输入响应为 sin2 ttuety t x 2 特征方程为 012 2 得特征根 1 21 因而 可设零输入响应为 0 21 teCtCty t x 代入初始条件得 1 0 2021 CeCtCy t t x 2 0 210211 CCeCtCeCy t tt x 联立以上两式 解得13 21 CC 所以 系统的零输入响应为 13 tuetty t x 6 6 6 6 给定系统微分方程 初始状态 0状态 以及激励信号分别为以下三种情况 1 2 tftyty 0 0 tutfy 2 3 2 tftyty 0 0 tutfy 158 3 4 3 2tftytyty 1 0 1 0 tutfyy 试判断系统在起始点是否发生跳变 据此对 1 2 分别写出其 0 y值 对 3 写出 0 y 和 0 y值 解解 1 将 tutf 代入方程 由于方程右边没有冲激信号 t 及其导数 所以系统 在起始点 从 0状态到 0状态 没有发生跳变 从而可知 0 0 0 yy 2 将 tutf 代入方程 由于 ttf 即方程右边有冲激信号 t 所 以系统在起始点 从 0状态到 0状态 会发生跳变 根据奇异函数匹配法的原理 可设 00 ttbutaty 注意 这 里 tu不代表单位阶跃信号 只是借用它表示 ty n 在0 t点有一个单位的跳变量 从而有 tauty 代入原方程可得 3 2 ttautbuta 解得 63 ba 故3 0 0 ayy 3 将 tutf 代入方程 由于 ttf 即方程右边有冲激信号 t 所 以系统在起始点 从 0状态到 0状态 会发生跳变 根据奇异函数匹配法的原理 可设 00 ttcutbtaty 从而有 tbutaty tauty 代入原方程可得 4 3 3 2 2 2 ttautbutatcutbta 解得 4 3 2 1 0 cba 故 2 3 0 0 byy 1 0 0 ayy 7 7 7 7 给定系统微分方程 3 2 3 tftftytyty 若激励信号和初始状态分 159 别为2 0 1 0 yytutf 试求系统的全响应 并指出其零输入响应 零状 态响应 自由响应 强迫响应各分量 解 解 1 求零输入响应 tyx 由已知条件有 1 0 0 2 0 0 0 2 3 xx xx xxx yy yy tytyty 特征方程 023 2 特征根为 1 1 2 2 故可设零输入响应 齐次解 为 0 2 21 teCeCty tt x 代入初始条件 并求解得4 1 C 3 2 C 故 34 2 tueety tt x 2 求零状态 ty f 依题意 可设齐次解0 2 21 teDeD tt 又由于0 t时 1 tutf 易知 2 3 是方程的一个特解 故零状态响应为 0 2 3 2 21 teDeDty tt f 为了确定待定系数 将 t u t f 代入原方程 有 3 2 3 tuttytyty fff 根据奇异函数匹配法 当 00t时 可设 tbutaty f 则 tauty f 0 tatuty f 代入方程 平衡两边相同项的系数得0 1 ba 故110 0 0 ayy ff 0 0 0 ff yy 160 代入表达式 可解得 2 1 D 2 1 2 D 故 2 3 2 1 2 2 tueety tt f 3 全响应 2 3 2 5 2 2 tueetytyty tt fx 其中 零输入响应为 34 2 tuee tt 零状态响应为 2 3 2 1 2 2 tuee tt 自由响应为 2 5 2 2 tuee tt 强迫响应为 2 3 tu 8 8 8 8 有一系统满足 当激励为 1 tutf 时 全响应为 2 1 tuety t 当激励为 2 ttf 时 全响应为 2 tty 1 求该系统的零输入响应 tyx 2 设系统的初始状态保持不变 求其对于激励为 3 tuetf t 的全响应 3 ty 解 解 1 设当激励为 1 tutf 时 系统的零输入响应为 tyx 零状态响应为 ty f 则系统全响应为 2 1 tuetytyty t fx 1 系统的初始状态保持不变 根据LTI系统的性质 当激励为 2 ttf 时全响应为 2 ttytyty fx 2 联立式 1 2 可得 2 tuettyty t ff 3 又知0 0 f y 用经典法解式 3 所示的方程 可得 tuety t f 从而 系统的零输入响应为 161 2 1 tuetuetuetytyty ttt fx 2 由 1 不难看出 系统的单位冲激响应 tuettyth t f 所以 根据卷积积分法 当激励为 3 tuetf t 时 零状态响应为 1 33 tuettutetuetuettuethtfty ttttt f 又由于系统的初始状态保持不变 所以系统的零输入响应仍为 tuety t x 故系统的全响应为 2 1 33 tuettuettuetytyty ttt fx 9 9 9 9 某 LTI 系统 无初始储能 在外界激励 2 3 tuetf t 作用下的响应为 ty 即 tfTty 又已知 3 2 tuetytfT t 求该系统的单位冲激响应 th 解解 依题意 对于初始状态为零的LTI系统 在激励 2 3 tuetf t 作用下的响应为 thtftfTty 则在激励 2 6 3 ttuetf t 作用下的响应为 thtftfTty 由于 2 3 2 6 3 ttfttuetf t 故有 2 3 2 3 2 3 thtythtthththtthty 又由已知条件 3 2 tuetytfTty t 从而得 2 3 3 2 thtytuety t 故该系统的单位冲激响应为 2 1 2 tueth t 10 10 10 10 电路如题 10 图所示 0 t时 开关位于 1 且已达到稳定状态 0 t时刻 开关 自 1 转至 2 1 试从物理概念判断 0 i 0 i和 0 i 0 i 2 写出 0t时间内描述系统的微分方程表示 求 ti的全响应 3 写出一个方程式 可在时间 teKeKti tjtj 代入初始条件10 0 0 0 ii 解得 jKjK 3 10 3 10 21 代入上式 并化简 得系统的全响应为 2 3 sin 3 20 2 1 tuteti t 3 根据 2 不难得到 在 t的零状态响应为零 试确定 值应等于多少 解 解 1 依题意 可得 2 2 22 ttuetutuetuetfthty ttt f 2 2 2 22 tuetutuetue ttt 先计算 2 0 22 tueedeetuetue tt t ttt 由卷积积分的性质 可得 2 2 2 222 tueetuetuetue tttt 2 2 2 2 2 tueee tt 2 22 tuee tt 故有 2 2 2 2222 tuetueetueety ttttt f 2 42222 tueeetuee ttttt 也可以写作 当20 t时 1 242 eeety t f 2 依题意 可得 2 2 22 ttuetututxtuetfthty tt f 2 2 2 2 2 2 0 2 tue duxtueduxtue t t t t t 2 2 2 2 2 2 0 2 tuetudxetudxe t t t t t 当 2 t 时 要0 tyf 即 2 2 2 22 0 22 t t t t t edxeedxee 0 4 2 0 22 edxee t 故有 dxee 2 0 24 167 15 15 15 15 一个乒乓球从h米高处自由下落至地面 每次弹跳起的最高高度是前一次最高高度的 3 2 若以 ny表示第n次跳起的最高高度 试列出描述此过程的差分方程 若给定2 h 试解此差分方程 解 解 依题意 可得此差分方程为 0 1 3 2 nyny 且0 0 nhy 从而 用 经典法 不难得到方程的解形如 n ny 3 2 C 0 n 由hy 0 得h C 于是有 n hny 3 2 0 n 所以 当2 h时 得 n ny 3 2 2 0 n 16 16 16 16 已知 nf和 nh分别表示 LTI 离散系统的激励和单位序列响应 试求系统的零状态 响应 1 3 nnnhnunf 2 5 2 1 nununhnunf n 解 解 1 利用 卷积和 求 LTI离散系统的零状态响应 3 3 3 nunu nnunnu nnnu nhnfny 2 利用 卷积和 求 LTI离散系统的零状态响应 5 22 22 5 21 22 2 1 21 21 2 1 2 1 2 1 2 1 5 2 1 5 5 151 50 nunu nunu mnumumu nununu nfnh nhnfny nn n n n n mn m mn n m m mn n 168 17 17 17 17 题 17 图所示的系统由两个级联的 LTI 系统组成 它们的单位序列响应分别为 1 nh和 2 nh 已知 3 1 n n nh 8 0 2 nunh n 令 nunf 求 ny 1 nh 2 nh nf ny 题 17图 解 解 方法1 21 nhnhnxny 3 8 01 8 01 5 3 8 01 8 01 8 01 8 0 1 3 8 0 8 0 3 8 0 8 0 8 0 3 8 0 3 21 21 0 3 0 nunu nunu nunu mnumumnumu nununu nunnnu nn nn n m m n m m m m m m n n 方法2 21 nhnhnfny 3 8 01 8 01 5 3 8 01 8 01 8 0 8 01 8 01 3 8 0 8 0 3 8 0 8 0 3 8 0 8 0 8 0 3 21 1 2 3 1 3 0 3 0 3 3 nunu nunu nunu mnumumnumu nununu nunnnu nn n n n n m mn n m m mm mnm nn n 18 18 18 18 已知 LTI 离散系统模拟框图如题 18 图所示 D D ny D DD D nf 2 3 题 18图 169 1 列出系统的差分方程 2 求出它的单位序列响应和阶跃响应 3 已知激励 3 nunf n 求该系统的零状态响应 解 解 1 根据上图列出差分方程 1 2 2 1 3 nfnfnynyny 整理后得到 1 2 2 1 3 nfnfnynyny 2 单位序列响应 nh满足 0 2 1 1 2 2 1 3 hh nnnhnhnh 由迭代法 可得初始条件 1010