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年第期 阜气 繁潍笋 报 总第期 求前个自然数次幂和的一个解析公式 王海冲 数学系 摘获本文获得了前 个自然数次幕和的一个优美的解析公式 设 均为 自然数 则称 艺 为前个 自然数的次幕和 关于求氛的问题 是 一个古老的问题 然而至今仍吸引着许多数学家对它进行研究 陈景润和黎鉴愚在一年 间 曾连续发表过这方面的论文 本文给 出的解析公式 形式优美 是关于这个间题的一个最新结 果 引理设 二艺 则 是的次多项式 证明令 二 砂 则为 一十 和曲线 一 下方那些 其底边长为 高为 的长方条形的面积之和 如图 因此 有 一 厂 一 一 氛 一 斗 一 一 千 一 二 一七 一 乙一 下一叮一丁 一 互一 州 卜 一 十三 一 乞 十 七 一 二 二 不甲下 育乙 气少 一 刊 岌 目十 少 找 针 云 诬 一 十 一 艺 一 卜 一艺 艺鑫 一 乏乙 卜 一 艺 一一 一 十 五 一 盖趾 吸 艺 艺 一 艺 一 一 乙 一十 一 艺司 二 艺 艺孟 一 乏 乏二 一 卜 一 毛 二 二二 趾一 十工 元巴 艺孟 一十 一 艺 乏 艺红 一 卜 七里二 叭 一 互一 芝 艺艺 一 一 冷 二卜 十 一 由于 三蓦汪 一 七一 中仅含有 卜 一 重 复以上 手 续 可 知其中不再含有 项 所以引理已经获证 推论设 二 则 奴十 引入记号 十 犷矛 十 行列式 卜 口 卜 乙 犷 卜 一几 一一 是阶 十 七 十 一 十 即 的第 行是把 定理设 中的第 七 十 卜 行换为 一 得到的 艺 七 则 二 其中 二 为 乏 同 一一 证明 由引理 可设 一 一 且 十 笋 令 十 可以得到如下方程组 十 十 十 艺 趾 贻 一 艺 十 十 一 乏 这是关于 的元线性方程组 其系数行列式为 胶 十 尹 七 七 十 卜 七 旧上 一一 巨卜日卜匕日巨 由于护 所以方程组关于 十 有唯一解由法则 卜 吃一 二 为 宜 惫梦 日厂匕日 队日卜日卜尸 一 扭 艺 甩 七 艺 七 七 也 梦 矛 第列 第列 肚 十 十 门厂门卜口卜日 日 卜曰 了 了 一 唇 十 第 八 产 列 刀 梦 诊 二心 卜 十 十 七 一 第 列 边且 边 占 几月月 月旧胜 卫 胜 二 二 月二曰上 第列 阳 艺 问 曰 艺 问 一一一一 七 七 卜 一 蓦 证毕 由定理和引理的推论 可以得到如下的两个结果 艺艺 皿 十 艺 口 深 十 七 艺艺 十 艺 留 口 且卜几卜且 口 口月 曰 证明是显然的 参考文献 陈景润 黎鉴愚 关于幕和间题 科学
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