测量准确度评估讲座7.doc

0 测量准确度评估讲座测量准确度评估讲座 7 中国计量科学研究院 钱钟泰 童光球 哈尔滨理工大学 王学伟 马怀俭 中国计量学院 宋明顺 顾龙方 7 3 不等精度测量列的数据处理不等精度测量列的数据处理 对被测量 Y 进行 m 次不等精度测量 所得结果为 Yi U Yi i 1 m 所有 i 值的误差估计值 U Yi 的覆盖因子均相等 对这样测量 列应用最小二乘方法可得出下列计权平均值的处理方法 对数据 Yi取权 pi为 pi 1 U Yi 2 1 U Ys 2 7 11 s m 1 注意在这样取权的情况下有 pi 1 7 12 i m 1 则处理结果表示式将为 Em Y piYi EYm 7 13 i m 1 m EYm pi Yi EYm m 1 S0 m 7 14 i m 1 m Yi Sm Yi S0 m pi Si m 7 15 m 1 7 16 这方法同样是应用最小二乘方法的处理结果 因此对任何分布的 误差的数据都有效 这就是 JJG1027 91 规范 4 7 条的内容 7 4 相关等精度测量列的数据处理相关等精度测量列的数据处理 对 Y 及 Q 同时进行 m 次测量等精度测量 得到测量列 Yi与 Qi i 1 m 除分别可按 7 2 款处理出 E Y Ym E Q Qm Sm Y 及 Sm Q 外 可按下式计算出两量的协方差 Cov Y Q 及相关系数 Y Q 的估计值 Covm Y Q Yi Ym Qi Qm m 1 i m 1 Yi Qi Yi Qi m m 1 7 17 i m 1i m 1i m 1 m Y Q Covm Y Q Sm Y Sm Q 7 18 1 上两式的自由度 同样为 m 1 此外 这可应用最小二乘方法 对 Y 和 Q 作回归直线的计算 这 时测量方程组将为 a b Qi Yi Y i 1 m 7 19 则最小二乘方法的处理结果为 bm Covm Y Q Sm Q 2 am Em Y bm Em Q 7 20 而 am 和 bm 的实验标准差及相关系数可通过两测量列的相关系 数 Y Q 的估计值用下式表示 S bm bm 1 m Y Q 2 1 m 2 1 2 S am S bm Em Q 2 m 1 Sm Q 2 m 1 2 m am bm Em Q S bm S am 7 21 式 7 21 是由最小二乘方法用残差表示实验标准差的公式推导出 来的 公式中的量都是变量 Y 和 Q 的统计参数 而不用计算残差 因此 是一组很实用的公式 还可计算出测量方程组误差 Y 的实验标准差 S Y m值 Sm Y Sm Y 1 m Y Q 2 m 1 m 2 1 2 7 22 这里指出 Sm Y 和 Sm Y 并非同一量 Sm Y 反映的是 Y 对其期 望值的分散性 而 Sm Y 则反映量 Y 对回归直线偏离值的分散性 因 此一般情况下有 Sm Y Sm Y 并且在 Y Q 1 时 式 7 21 的 S am 及 S bm 及式 7 22 的 Sm Y 都将为零 概率论指出这是量 Y 和量 Q 线性相关的情况 而在这情况下标准差 Y 并非为零 回归分析的自由度 为 m 2 因为其未知量是 a 和 b 两个 对于给定的量 Q 可用下式计算相应的量 Y 的估计值 Ym Q Ym Q am bm Q 7 23 估计值 Ym Q的实验标准差 S Ym Q 可用下式计算 S Ym Q S bm Q Qm 2 m 1 Sm Q 2 m 1 2 7 24 这是 JJG1027 91 规范 第 4 6 条的内容 在这一 规范 第 4 条中 给出的各种公式中大多数都是最小二乘方法的应用结果其估计值将 为由争议时最后判断依据 并不受误差概率分布的约束 7 5 对测量列自由度的规定对测量列自由度的规定 为保证数据处理结果有足够的可靠性 规范 第 4 条要求测量列 的自由度不得小于 5 本办法要求遵照执行 2 7 6 覆盖因子的选取及误差中心化极限值的计算覆盖因子的选取及误差中心化极限值的计算 数据处理覆盖因子的选取已于数据处理覆盖因子的选取已于 5 2 条中作了规定条中作了规定 将所选定的覆将所选定的覆 盖因子乘以数据处理标准差估计值盖因子乘以数据处理标准差估计值 即得相应的即得相应的中心化极限值 中心化极限值 八八 误差的综合方法 误差的综合方法 8 1 误差项误差项 Yk期望估计值期望估计值 E Yk 的综合方法的综合方法 当误差 Y 按式 3 2 分解成误差项 Yk k 1 n Y Yk 3 1 k n 1 将各误差项的期望值 E Yk k 1 n 分别独立估计为 E Yk k 1 n 其用式 8 1 表示的估计误差 E k k 1 n 的极限估计值为 U E k k 1 n E k E Yk E Yk k 1 n 8 1 则误差 Y 的期望值 E Y 可估计为式 8 2 的 E Y 其用式 8 3 表示的估计误差 E 的极限值估计为式 8 4 的 U E E Y E Yk 8 2 k n 1 E E Y E Y 8 3 U E U E k 8 4 k n 1 8 2 独立误差项独立误差项 Yk中心化极限值中心化极限值 U Yk 的综合方法的综合方法 当误差 Y 按式 3 1 分解成独立的误差项 Yk k 1 n 各误差 项的中心化极限值 U Yk k 1 n 分别估计为 U Yk k 1 n 则误差 Y 的中心化极限值 U Y 可估计为式 8 5 的 U Y U Y K U Yk 8 5 k n 1 式 8 5 表示的综合方法可称为扩展的方和根法 称式中的系数 K 为 扩大因子 当按 3 4 款确定为主要组成项的概率分布清楚时 可按表 8 1 选择 扩大因子 K 值 在这条件下式 8 5 表示的综合结果 将是足够可靠的 出现按表 8 1 要求 扩大因子 K 值大于 1 的情况 的概率是可以忽略的 因此方和根法对于独立的误差项中心化极限值 是普遍适用的 为提高综合结果的可靠性 在极限值允许扩大时 扩 大因子 K 尽量采用 1 2 式 8 5 表示的综合方法可以看作是对 GUM93 规定的特殊执 行办法 如果误差 Y 及误差项 Yk k 1 n 中心化变量的 覆盖因子 3 分别用 K 和 Kk k 1 n 表示 即有式 8 6 和 8 7 如果在执行 GUM 93 评定方法时 覆盖因子 K 采用用示式 8 8 通过 Kk k 1 n 表示的 值 就将得到式 8 5 表示的 U Y K U Y Y k 1 n 8 6 Kk U Yk Yk k 1 n 8 7 K K U Yk 2 U Ys 2 1 Kk 2 1 2 8 8 k n 1s n 1 表表 8 1 不同独立组成项合成时的不同独立组成项合成时的 扩大因子扩大因子 K 值表值表 序序 号号 主主 要要 组组 成成 项项 的的 概概 率率 分分布布 扩大因扩大因 子子 K 值值 1所有主要组成项的所有主要组成项的 覆盖因子覆盖因子 Kk值均大于值均大于 21 2三个以下组成项的三个以下组成项的 覆盖因子覆盖因子 值值 Kk 1 7 峰度峰度 a4 yk 1 2 其它组成项的其它组成项的 覆盖因子覆盖因子 Kk值均接近值均接近 2 1 3一个主要组成项的一个主要组成项的 覆盖因子覆盖因子 值值 Kk 1 2 峰度峰度 a4 yk 2 其它组成项的其它组成项的 覆盖因子覆盖因子 Kk值均接近值均接近 2 1 4四个以上主要组成项四个以上主要组成项 覆盖因子覆盖因子 值值 Kk 1 7 峰度峰度 a4 yk 1 2 1 2 5主要组成项中主要组成项中 Kk 1 2 峰度峰度 a4 yk 2 和 和 Kk 1 7 峰度峰度 a4 yk 1 2 的各一个 的各一个 1 2 6二至五个主要组成项的二至五个主要组成项的 覆盖因子覆盖因子 值值 Kk 1 2 峰度峰度 a4 yk 2 1 4 7六个以上主要组成项的六个以上主要组成项的 覆盖因子覆盖因子 值值 Kk 1 2 峰度峰度 a4 yk 2 1 7 8 3 误差极限值误差极限值 U Y 及期望极限值及期望极限值 U E Y 的估计的估计 式 8 2 和 8 5 的期望值和中心化极限值的综合公式是本节的理 论基础 从本款起将讨论由此导出的综合方法 当用式 8 2 和 8 5 分别确定误差 Y 的期望值和中心化极限值的 估计值 E Y 和 U Y 及期望估计误差 E 极限估计值 U E 后 误差 Y 的极限值 U Y 可用式 8 9 的 U Y 估计 U0 Y 1 2E Y 2 U E 2 U Y 2 1 2 8 9 类似的关系对误差项 Yk k 1 n 同样成立 U0 Yk 1 2E Yk 2 U Ek 2 U Yk 2 1 2 k 1 n 8 10 式 8 9 和 8 10 事实上是将误差 Y 及误差项 Yk k 1 n 系统误 差 E Y 和 E Yk k 1 n 的极限值用式 8 11 和 8 12 估计 U0 E Y 1 2E Y 2 U E 2 1 2 8 11 U0 E Yk 1 2E Yk U Ek 2 1 2 k 1 n 8 12 当各误差项 Yk k 1 n 的极限值 U0 Yk k 1 n 估计为 U0 Yk 4 而无法确定其中的期望估计值 E Yk k 1 n 时 则误差 Y 的极限值 U Y 可用式 8 13 的 U Y 估计 U Y K U Yk 8 13 k n 1 式 8 13 的评估结果的可靠性低于式 8 10 的评估结果的可靠性 式 8 4 是式 8 13 应用的实例 8 4 误差项误差项 Yk相关时的误差综合方法相关时的误差综合方法 当误差项 Yk相关且两变量 Yk与 Yj的相关系数 Yk Yj 已知 时 则误差 Y 的中心化极限值 U Y 可估计为式 8 14 的 U Y U Y U Yk 2 k n 1 2 Yk Yj U Yk U Yj 1 2 8 14 j k k n 1 1 2 当误差项 Yk相关且两变量 Yk与 Yj的相关系数 Yk Yj 已知 及各误差项 Yk k 1 n 的极限值 U0 Yk k 1 n 估计为 U0 Yk 而无 法确定其中的期望估计值 E Yk k 1 n 时 则误差 Y 的极限值 U Y 可用式 8 15 的 U Y 估计 U Y U Yk 2 k n 1 2 Yk Yj U Yk U Yj 1 2 8 15 j k k n 1 1 2 由于按本文第三节误差分项规定所得的误差项相互独立 在本文 的评估方法基本不用本条的综合方法 8 5 综合结果的覆盖因子综合结果的覆盖因子 为满足 GUM93 的规定 本款给出了综合结果的覆盖因子的估 计方法 但不建议用此覆盖因子值将中心化极限值或极限值换算成 标准差 或 均方根值 的估计值 原因是换算后的 标准差 或 均方 根值 的涵义明确及估计值的可靠程度都远低于换算前的相应的极限 估计值 8 5 1 当误差项 Yk k 1 n 中心化变量的 覆盖因子 Kk k 1 n 及 扩大因子 K 是清楚时 可用式 8 8 估计式 8 5 综合所得的中心化 极限值 U Y 估计值 U Y 的覆盖因子 K K U Yk 2 U Ys 2 1 Kk 2 1 2 8 8 k n 1s n 1 8 5 2 当误差项 Yk k 1 n 的 峰度 a 4k k 1 n 已知并相互独立 5 时 则误差 Y 的 峰度 a 4可用式 8 16 计算 a4 a4 k Yk Y 8 16 k n 1 根据 峰度 a 4可按示式 5 2 估计式 8 5 综合所得的中心化极限 值 U Y 估计值 U Y 的覆盖因子 K l 2 0 0 4a 4 5 2 8 5 3 当缺乏必要讯息时综合结果的覆盖因子可约定为 2 8 6 综合结果的自由度综合结果的自由度 为满足 GUM93 的规定 本条给出了综合结果的自由度的估计方 法 但明确表示 提供 自由度 的要求是不适宜的 上文已指出 由于测量时对误差 Y 或误差项 Yk的极限值是直接 控制的 且其 峰度 4 3 均小于零 按 t 分布的确定 覆盖因子 值理 论上不能成立 在非数据处理评估时不建议作按 t 分布的确定 覆盖 因子 值 这样非数据处理评估时的自由度非但是牵强附会不自然的 也 是无用的 8 6 1 GUM93 的附录 G 建议用其式 G 2b 计算合成变量 Y 的 中心化极限值 U Y 的 等效自由度 即有式 8 17 JJG 1927 91 规 范 引用了此式为式 1 34 可能式 8 18 较式 8 17 更加合理 Y Yk k 8 17 k n 1 Y Yk k 8 18 k n 1 误差项 Yk k 1 n 的