实变函数部分课后习题答案(最新版）.doc

备注：证明题每章都是二选一，计算题在第五章第二章1.证明点集为闭集的充要条件是.证明：因为，若为闭集，则所以故反过来，若，则必有，从而为闭集.2.设是上的实值连续函数，证明：对于任意常数，都是开集，都是闭集.证明：任取常数，若 ，则，由于连续，使，这表明是开集.任取常数，若，且，则从和连续知 ，故这表明.，故是闭集.第三章68页3.证明对任意可测集合和都有 （*）证明：若，则成立.若则（*）等价于注意到且可测可测可测9、设，那么可测当且仅当对任意正数，存在开集及闭集使得。证明： 若可测，则。由外测度的定义，此时，从而对任意正数，存在开集，使得。另一方面，由可测集的构造知，对可测集，存在型集合，其中为闭集，使得。设，则为闭集，且，从而有充分大的，使得，不妨令。那么。 特别取，则存在开集族与闭集族，使得，且。令为型集，为型集，则均可测，且，由的任意性，。即可看成可测集与零测度集的并，从而为可测集。第四章P117定理3.设于，于，证明于。（必考）证明：因为，故由反证法可知对于任意正整数故 令。又，故，即于。证毕。2.设于，且于，证明于证明：设于，其中。由于于，从而由Riesz定理，有子列于。即于，其中。从而在上，且，从而。证毕第五章P1328设，是上的非负可测函数，证明： 证明：由本节习题5知，则 ，故 (1)反证设，则使，使，所以,显然从知得矛盾，所以法二：设，由于是上的非负可积函数，从而。考虑到以及于是。即。而，故。P1501.设，在上可测且几乎处处有限，证明：在上可积的充要条件是法一：证明：由已知，在上，有，从而。又，且从而。同理可证。从而在上可积收敛法二：在上可积在上可积，显然可测（由可测） 若，则则从知。反过来，若，则所以此时，可积，从而可积。P1516.证明证明 显然在上非负连续，从而非负可测。故存在（有限或正无穷）。又时，在上非负可测，由基本定理，令，则非负可测，单调上升（关于！）且故由定理（因为在上连续，P142Th2）则综上有结论（1）得证注意上面的论证，固然也可用本节练习3的结论先验证广义积分绝对收敛，从而有但交换顺序导致不方便，还是要用基本定理，反而多了一道手续7.证明(1)证明 令，则非负连续于，当时（当）当时（若）令则对一切有在和上分别非负可测。从P104定理4知在上广义绝对可积知在上可积，由控制收敛定理知（定理）P147例4证明：证明：显然在0,1上有，令小题P3 例1-4P104. 证明的充要条件是.（类似这种题目）P33Cantor集合（必考）计算被删去区间测度、剩余区间测度如：把区间0,1均分为三(也可能4、5.)段,删去中间的开区间. 3段 5段n=1 去掉区间1个 （ ） n=2 去掉区间2个 （ ） . . . n 去掉区间2个 （ ）则去掉区间的测度为（等比数列）剩余区间测度为：mP=m0,1-1=1-1=0 mP=1-1/3=2/3P573.证明任何可数点集的外测度都是零.4.证明对于一维空间中任何外测度大于零的有界集合及任意常数，只要，就有，使.P686.证明集合的测度为零，并在上作一测度大于零的无处稠密的完备集，进而证明存在开集，使.P73截口（类似例题）1. 举例说明定理中的条件一般来说是不能取消的.2.设，都是上的几乎处处有限的可测函数，并且 ， ，必有的可测集序列，使，而在每一上都一致收敛于零.P1311.试就上的函数和函数计算和 答案 0P1502.证明，分