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1 量子力学 第一章 习题 一 填空题 1 Planck 常数 h 是 是 2 用来解释光电效应的 Einstein 公式是 3 索末菲量子化条件是 4 德布罗意关系是 二 问答题 1 光电效应有哪些规律 爱因斯坦是如何解释光电效应的 2 试由爱因斯坦的光量子说 利用能量动量守恒 解释康普顿效应 3 试根据玻尔的原子模型给出里德堡常数和氢原子的玻尔半径 4 玻尔量子论的内容是什么 为什么说玻尔的量子论是是半经典的半量子的 5 什么是粒子的特性 什么是波的特性 如何理解光的波粒二象性 6 如果 Planck 常数 h 比现有值大几个量级或趋于零 其他基本常数不变 将会怎样 三 选择题 1 与量子论建立相关的现象有 反映光或电磁波具有粒子特性的现象有 说明微观粒子具有波动性的现象有 a 黑体辐射 b 光电效应 c 康普顿效应 d 戴维逊 革末实验 e 原子结构和线性光谱 f 电子的双缝衍射 g 光的干涉和衍射 h 迈克尔逊 莫雷实验 四 计算题 1 教材习题 1 1 1 2 1 4 1 5 2 设粒子限制在长 宽 高分别为 a b c 的箱内运动 试用量子化条件求粒子能量的可能取值 参考答案 一 填空题 1 普朗克常数 h 是 34 6 626 10J s 是 34 1 054 10J s 2 用来解释光电效应的爱因斯坦公式是 0 2 2 1 Whvvm 3 索莫菲量子化条件是 1 1 2 3 2 pdqnh n q 为广义坐标 p 为对应的广义动量 n 为正整数 称为量子数 对一个运动周期积分 4 德布罗意关系是 h pn 二 问答题 1 光电效应有哪些规律 爱因斯坦是如何解释光电效应的 答 光电效应的规律 1 对一定金属 存在临界频率 0 2 光电子的能量只与照射光的频率有关 与光强无关 光频率越高 光电子能量越大 光强只影响光电子数目 光强越大 光电子数目越多 3 0 时 不管光有多微弱 只要光一照上 几乎立刻 s 9 10 观测到光电子 爱因斯坦认为 辐射场是由光量子 光子 组成 即光具有粒子的特性 光子既有能量又有动量 h Ehpnk 一个光子的能量全部传递给金属中的单个电子 电子吸收一个光子后 把能量的一 部分用来挣脱金属对它的束缚 余下的一部分就为成电子离开金属表面后的动能 按能量守衡和转换定律应有 2 0 2 2 1 Whvvm 爱因斯坦光电效应方程 即光子的能量减去电子在金属中的结合能 脱出功 等于电子的最大动 能 0 W电子脱出金属表面所需要作的功 叫脱出功 1 电子要飞离金属 则至少 0 2 1 2 m v 00 Wh 即有一最低频率 而 00 hWhEk 2 一个光子的能量一次被一个电子全部吸收 没有连续性 不能累积 一个光量子激发出一个对应的电子 2 试由爱因斯坦的光量子说 利用能量动量守恒 解释康普顿效应 答 如果将这过程看成光子和物质中的电子发生弹性碰撞 康普顿效应可得到圆满解释 由 h Ehpnk 入射前后光子能量 0 0 cc EhhEhh 入 射前后光子动量 0 hE p cc h p c 入射前后电子能量 22 00 eee EcEc 入射前后电子动量 0 eee ppv 利用能量动量守恒 222 22224 0 2cos ee ee pppppppp EcEc pc 和 Ew pk 可得到康普顿散射公式 22 1 cos 24 sinsin 22 E cp eee hh ccc 由计算结果可知 波长随散射角的增大而增大 3 试根据玻尔的原子模型给出里德堡常数和氢原子的玻尔半径 答 质量为 e m的电子在氢原子内部受到的库仑力充当向心力 22 2 0 4 e ev m rr 电子作圆周运动的能量 22 2 00 1 248 n ee ETVmv rr 频率 3 0 1 224 e ve f rm r 电子在定态之间跃迁的能量满足 mn hEE 由角动量量子化条件 可将里德堡方程 H 22 111 R mn 改写为 H 22 1 R m nm mn vc n 当 n 很大时 考虑两个相邻 n 之间的跃迁 1 nm 频率 H H 223 2R11 R m c cc nn 由 得电子在定态之间跃迁的能量 2 H n hcR E n 得 可得电子运动的轨道半径 玻尔半径 2222 00 1 842 HH n en e r R hcR hc 由 得 2 2 3 1 222 0 1 0 053 416 He e rnrnm R c m 2 2 0 1979 1 44 511 4 e e cm MeVnm eV m ckeV 由对应原理 应与 一致 得 24 1 23 0 2 109737 316 4 e H e m Rcm h c 3 4 玻尔量子论的内容是什么 为什么说玻尔的量子论是是半经典的半量子的 答 玻尔原子理论的中心内容 定态假设 频率条件 量子化条件 1 定态假设定态假设 原子系统只能处于一系列不连续的能量状态 在这些状态中 虽然电子绕核作加速运动 但不辐射电磁波 这些 状态称为原子系统的稳定状态 简称定态 原子在每一个定态下能量分别都有一定的值 原子的能量只允许取量子化 的离散值 称为一个个能级 2 频率条件频率条件 原子的能量不能任意连续地改变 只能通过从一个定态到另一定态的跃迁而产生跃迁式的改变 原子从一个能量 为 n E的定态跃迁到另一能量为 m E的定态时 将发射或吸收频率为 h EE nm mn 的光子 3 量子化条件量子化条件 在量子理论中 角动量必须是 的整数倍 mvrnh 索莫菲量子化条件 1 2 pdqnh q 为广义坐标 p 为对应的广义动量 n 为 0 和正整数 称为量子数 对一个运动周期积分 玻尔的量子论正确表达了部分客观事实 揭示了部分微观客体的内在联系 并为新量子论的建立奠定了基础 但玻尔的量子论并没抛弃经典理论 只是在经典理论基础上加上一些量子化条件 因而是半经典半量子的理论 5 什么是粒子的特性 什么是波的特性 如何理解光的波粒二象性 答 粒子的特性是指具有粒子才具有的物理量 E p 波动性体现在具有波的叠加性 光在传播过程中具有 波动的特性 而在光和物质相互作用过程中 光具有粒子的特性 光既是粒子 也是波 从不同侧面揭示了光 的本质 它是粒子和波动两重性矛盾的统一 6 如果普朗克常数 h 比现有值大几个量级或趋于零 其他基本常数不变 将会怎样 答 如果普朗克常数 h 比现有值大几个量级 其他基本常数不变 由 h pn 知 相同动量大小的粒子的德布罗 意波的波长会变大 粒子的波动性会更明显 在实验中更容易观测到 如果普朗克常数 h 趋于零 相同动量大小的 粒子的德布罗意波的波长会趋于零 则粒子的波动性可忽略 量子物理回归到经典物理 三 选择题 与量子论建立相关的现象有 a b c d e f 反映光或电磁波具有粒子特性的现象有 a b d 说明微观粒子具有波动性的现象有 c d f a 黑体辐射 b 光电效应 c 康普顿效应 d 戴维逊 革末实验 e 原子结构和线性光谱 f 电子的双缝衍射 g 光的干涉和衍射 h 迈克尔逊 莫雷实验 习题 1 1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律 能量密度极大值所对应的波长 m 与温度 T 成反比 即 m T b 常量 并近似计算 b 的数值 准确到二位有效数字 解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e c hv d kT hv vv 1 18 3 3 1 以及 cv 2 ddv vv 3 得 黑体内波长介于 与 d 之间的辐射能量密度 3 332 81 dd exp1 vv hcc T hc c kT c d dv dd 5 81 d ex p1 h c h c kT 取得极大值 要求 对 的一阶导数为零 由此可求得相应的 的值 记作 m 注意需要验证 对 的二阶导数在 m 处的取值是 4 12345 0 2 0 4 0 6 0 8 1 4 94 924 944 964 98 0 005 0 01 0 015 0 02 否小于零 如果小于零 那么前面求得的 m 就是要求的 0 1 1 5 1 18 6 kT hc kT hc e kT hc e hc 0 1 1 5 kT hc e kT hc kT hc e kT hc 1 5 如果令 x kT hc 则上述方程为10 5 x x e 超越方程 首先 易知此方程有解 x 0 但经过验证 此解是平庸 的 另外的一个解可以通过 作图法 逐步近似法或者数值计算法获得 1222 2 72 0 370 40 030 010 555 e e 45 x 4 97 见图 经过验证 此解正是所 要求的 这样则有 xk hc T m 3 2 9 10 m K 这便是维恩位移定律 据此 我们知识物体温度升高的话 辐射 的能量分布的峰值向较短波长方面移动 这样便会根据热物体 如遥远星体 的发光颜色来判定温度的高低 1 2 在 0K 附近 钠的价电子能 量约为 3eV 求其德布罗意波长 解 根据德布罗意波粒二象 性的关系 可知 E hv h P 如果所考虑的粒子是非相对论性 的电子 2 cE e 动 那么 e p E 2 2 如果我们考察的是相对性的光子 那么 E pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为 3eV 远远小于电子的质量与光速平方的乘积 即eV 6 1051 0 因此利 用非相对论性的电子的能量 动量关系式 这样 便有 6 9 26 1 24 10 0 71 100 71 2 220 51 103 e e hhhc mmnm p E c E 在这里 利用了meVhc 6 1024 1 以及eVc e 62 1051 0 最后 对 Ec hc e 2 2 作一点讨论 从上式可 以看出 当粒子的质量越大时 这个粒子的波长就越短 因而这个粒子的波动性较弱 而粒子性较强 同样的 当粒 子的动能越大时 这个粒子的波长就越短 因而这个粒子的波动性较弱 而粒子性较强 由于宏观世界的物体质量普 遍很大 因而波动性极弱 显现出来的都是粒子性 这种波粒二象性 从某种意义来说 只有在微观世界才能显现 1 4 利用玻尔 索末菲的量子化条件 求 1 一维谐振子的能量 2 在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径 已知外磁场 H 10T 玻尔磁子 124 109 TJM B 试计算运能的量子化间隔 E 并与 T 4K 及 T 100K 的 热运动能量相比较 解 玻尔 索末菲的量子化条件为 1 2 pdqnh 其中 q 是微观粒子的一个广义坐标 p 是与之相对应的 广义动量 回路积分是沿运动轨道积一圈 n 是 0 和正整数 1 设一维谐振子的劲度常数为 k 谐振子质量为 于是有 2 2 2 1 2 kx p E 5 这样 便有 2 1 2 2 kxEp 这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动 一正一负正 好表示一个来回 运动了一圈 此外 根据 2 2 1 kxE 可解出 k E x 2 这表示谐振子的正负方向的最大位移 这样 根据玻尔 索末菲的量子化条件 有 22 222 111 2 2 222 1 1111 2 2 2 2 22222 xx xx xxx xxx EkxdxEkxdxnh n EkxdxEkxdxnhEkxdxh 为了积分上述方程的左边 作以下变量代换 sin 2 k E x 这样 便有 2 22 22 2 2 2 11 22 22 2cossin2coscos 22 1 2 2cos 2 nn EE EdhEdh kk n Edh k 这时 令上式左边的积分为 A 此外再构造一个积分 2 2 2 sin2 d k EB 这样 便有 2222 2222 22 2cos2cos2 2 cos ABEdEABEdEdEd kkkkk 1 这里 2 这样 就有0sin d k EBA 2 根据式 1 和 2 便有 k EA 这样 便有 1 2 2 n E k h 1 1 2 22 k n k Ehn 其中 2 h 最后 对此解作一点讨论 首先 注意到谐振子的能量被量子化了 其次 这量子化的能量是等间隔分布的 2 当电子在均匀磁场中作圆周运动时 有Bq R 2 qBRp 这时 玻尔 索末菲的量子化条件就为 2 0 1 2 qBRd Rnh 2 1 2 2 qBRnh 2 1 2 qBRn 又因为动能耐 2 2 p E 所以 有 2222 1 11 2 222222 B qB n qBRq B Rq EnBnBN 6 其中 2 q M B 是玻尔磁子 这样 发现量子化的能量也是等间隔的 而且 B BME 具体到本题 有JJE 2324 10910910 根据动能与温度的关系式 kTE 2 3 以及JeVKk 223 106 1101 可知 当温度 T 4K 时 JJE 2222 106 9106 145 1 当温度 T 100K 时 JJE 2022 104 2106 11005 1 显然 两种情况下的热运动所对应的能量要大于前 面的量子化的能量的间隔 1 5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对 如果两光子的能量相等 问要实现实种转化 光子的波长最大是 多少 解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程 如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题 严格来 说 需要用到相对性量子场论的知识去计算 修正当涉及到这个过程的运动学方面 如能量守恒 动量守恒等 我们 不需要用那么高深的知识去计算 具休到本题 两个光子能量相等 因此当对心碰撞时 转化为正风电子对反需的能 量最小 因而所对应的波长也就最长 而且 有 2 chvE e