五、万有引力定律.docx

第五章 万有引力与航天一、万有引力定律的发展过程1人类对于宇宙的认知过程 2开普勒三定律的发现 开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。R3T2=k （k是一个与行星无关的常数）。【例题】太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道,“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比.地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米,结合下表可知,火星与太阳之间的平均距离约为水星金星地球火星木星土星公转周期(年)0.2410.6151.01.8811.8629.5A1.2亿千米B2.3亿千米C4.6亿千米D6.9亿千米答案：B 【例题】据报道，2009年4月29日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其它行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82。该小行星绕太阳一周的时间为3.39年，直径23千米，其轨道平面与地球轨道平面呈155的倾斜。假定该小行星与地球均以太阳为中心做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太阳运动的速度大小的比值为 ABCD答案：A3万有引力定律 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体质量的乘积成正比，与他们之间距离的平方成反比。 公式：F=Gm1m2r2，G为万有引力常量，G=6.6710-11Nm2kg2.万有引力与重力。【例题】对于万有引力定律的表达式，下列说法中正确的是（ ）A公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的B当r趋于零时，万有引力趋于无限大C两物体受到的引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关D两物体受到的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力答案：AC【例题】两个质量均为M的星体,其连线的垂直平分线为HN,O为其连线的中点,如图所示,一个质量为m的物体从O沿OH方向运动,则它受到的万有引力大小变化情况是 A一直增大 B一直减小C先减小,后增大 D先增大,后减小答案：D二、万有引力定律的应用1行星的运动、人造卫星的运动研究的一般方法为:把天体或卫星的运动当作匀速圆周运动,万有引力提供向心力:即: （1）求中心天体的质量：通过观察、测量天体或卫星运行的周期及轨道半径r，把天体或卫星的运动看做匀速圆周运动，根据向心力来源于万有引力，有：，化得:【例题】已知万有引力常量G，要计算地球的质量还需要知道某些数据，现在给出下列各组数据,可以计算出地球质量的是( )A.地球公转的周期及半径 B.月球绕地球运行的周期和运行的半径C.人造卫星绕地球运行的周期和速率 D.地球半径和同步卫星离地面的高度 （2）求中心天体的密度：用上述方法求得了中心天体的质量后，如果知道中心天体的半径，利用天体的体积V=4R3/3,进而求得中心天体的密度:( 如果卫星是在贴近中心天体表面运行,则rR,则上述结果可简化为=3/GT2.)2黄金代换的应用由万有引力等于重力即可算得,即 ,得到:【例题】2007年10月24日，我国将“嫦娥一号”卫星送入太空，经过3次近月制动，卫星于11月7日顺利进入环月圆轨道在不久的将来，我国宇航员将登上月球为了测量月球的密度，宇航员用单摆进行测量：测出摆长为l，让单摆在月球表面做小幅度振动，测出振动周期为T已知引力常量为G，月球半径为R，将月球视为密度均匀的球体求：月球的密度答案： 【例题】宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处（取地球表面重力加速度g=10 m/s2，空气阻力不计）（）求该星球表面附近的重力加速度g（）已知该星球的半径与地球半径之比为R星R地=14，求该星球的质量与地球质量之比M星M地答案：（）2 m/s2 （）180【例题】“神舟五号”载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h=342 km的圆形轨道已知地球半径R=6.37103 km，地面处的重力加速度g =10 m/s2试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期T的数值（保留两位有效数字）答案：T=2= 5.4103 s3宇宙速度 第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度，也叫环绕速度。是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星作圆周运动的最大速度。 第二宇宙速度：使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 第三宇宙速度：使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。【例题】关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是（）A第一宇宙速度又叫环绕速度B第一宇宙速度又叫脱离速度C第一宇宙速度跟地球的质量无关D第一宇宙速度跟地球的半径无关答案： A【例题】若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球的1.5倍，这顺行星的第一宇宙速度约为（）A. 2 km/s B. 4 km/s C. 16 km/s D. 32 km/s答案：C【例题】已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响。（1）推导第一宇宙速度v1的表达式；（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T。答案：（1） v1=gR；（2）T=2R（R+h）2g三、宇宙飞船的变轨问题1引力做功问题 【例题】宇宙飞船运动中需要多次“轨道维持”.所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小和方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行.如果不进行“轨道维持”，由于飞船受轨道上稀薄空气的影响，轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞船的动能、引力势能（重力势能）和机械能的变化情况将会是（ ）A动能、重力势能和机械能逐渐减小B重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变C重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变D重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小答案：D【例题】物体存万有引力场中具有的势能叫做引力势能。取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m0的质点距离质量为M0的引力源中心为r0时。其引力势能（式中G为引力常数），一颗质地为m的人造地球卫星以圆形轨道环绕地球飞行，已知地球的质量为M，由于受高空稀薄空气的阻力作用。卫星的圆轨道半径从r1逐渐减小到r2。若在这个过程中空气阻力做功为Wf，则在下面给出的Wf的四个表达式中正确的是（ ）ABCD 答案：B2轨道的变化与速度的关系绕地球运行的卫星速度增大时，对向心力的要求增大，向心力不变则卫星要做离心运动，轨道半径增大，但卫星在向高轨道运动的过程中，由于要克服重力做功，卫星速度减小，卫星稳定运行时，运动的速度v=GMr，所以卫星在高轨道运动的速度小于卫星速度增大前在原轨道运动的速度。绕地球运行的卫星速度减小时，需要的向心力减小，而向心力不变则卫星要做向心运动，轨道半径减小，但卫星在向低轨道运动过程中，重力做正功，卫星速度增大，卫星稳定时，运动速度v=GMr，所以，卫星在低轨道运动的速度大于卫星速度减小前在原轨道上运动的速度。【例题】在地球大气层外有很多太空垃圾绕地球转动，可视为绕地球做匀速圆周运动。每到太阳活动期，由于受太阳的影响，地球大气层的厚度增加，从而使得一些太空垃圾进入稀薄大气层，运动半径开始逐渐变小，但每一周仍可视为匀速圆周运动。若在这个过程中某块太空垃圾能保持质量不变，则这块太空垃圾的（）A线速度将逐渐变小B加速度将逐渐变小C运动周期将逐渐变小D机械能将逐渐变大答案：CPQ312【例题】发射地球同步卫星要经过三个阶段：先将卫星发射至近地圆轨道1，然后使其沿椭圆轨道2运行，最后将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。当卫星分别在轨道1、2、3上正常运行时，则以下说法正确的是（ ）A卫星在轨道3上的运行速率大于7.9km/sB卫星在轨道3上的机械能小于它在轨道1上的机械能C卫星在轨道3上的运行速率大于它在轨道1上的运行速率D卫星分别沿轨道1和轨道2经过Q点时的加速度相等答案：D四、特殊的天体问题1双星问题 两棵靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是（ ）A.它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比B.它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比C.它们做圆周运动的半径与其质量成正比D.它们做圆周运动的半径与其质量成反比答案：BD【例题】现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点。众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，如图所示，两星各以一定速率绕其连线上某一点匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起。已知双星质量分别为m1、m2，它们间的距离始终为L，引力常量为G，求：（1）双星旋转的中心O到m1的距离；（2）双星的转动周期。 答案：（1）x= （2） T=2L。2其他特殊天体 中子星 中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T1/30s。向该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解。计等时星体可视为均匀球体。（引力常数G6.671011m3/kgs2）答案：=1.271014kg/m3 【例题】天文观测上的脉冲星就是中子星，其密度比原子核还要大，中子星表面有极强的磁场，由于处于高速旋转状态，使得它发出的电磁波辐射都是“集束的”，像一个旋转的“探照灯”，我们在地球上只能周期性地接收到电磁波脉冲（如图所示），设我们每隔0.1 s接收一次中子星发出的电磁波脉冲，万有引力常量G=6.6710-11 Nm2/kg2，球的体积V =（1）为保证该中子星赤道上任意质点不会飞出，求该中子星的最小密度（2）在（1）中条件下，若该中子星半径为 r =10 km，求中子星上极点A的重力加速度g. 黑洞 逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞。【例题】英国新科学家（New Scientist）杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约45km，质量M和半径R的关系满足（其中c为光速，G为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（ ） A108m/s2B1010m/s2C1012m/s2D1014m/s2答案：C【例题】已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度），其中G、ME、RE分别是引力常量、地球的质量和半径。已知G=6.6710-11 Nm2/kg2，c=2.9979108m/s，求下列问题：（1）逃逸速度大于真空中光速的天体