一元二次方程教材分析.doc

教材分析 北京市上地实验学校 王 鑫一、一元二次方程的教学要求二、本章内容及课时安排三、教学建议一、一元二次方程的教学要求1.与方程有关的知识安排数 与式方程 函数 一元一次方程 七(上) 二元一次方程组 七(下) 分式 八(下) (分式方程)一元二次方程 九(上)2. 对一元二次方程的学习要求新课程标准数学模型 估计方程解的过程 会解方程(组) 理解配方法 会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。检验结果是否合理 教材中本章学习目标*3. 一元二次方程的地位与作用从内容上看，教材目前只是突出最重要的基础知识和最基本的技能，教师教学时要注意把握好教学要求，本章的内容是进一步学习函数、方程、不等式等内容的基础，学生若掌握不好，会给后继的学习带来许多困难，所以教学中教师要切实关注每一个学生的学习状况.4.09年中考说明中的要求考试内容是指全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中所规定的学习内容。学习内容考试要求层次ABC一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值 一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式作简单的变形；会运用一元二次方程解决简单的实际问题5.本章知识结构图6.本章涉及到的思想方法降次,突出配方法和化归,数学建模思想二、本章内容及课时安排 全章包括三节(课时安排仅供参考)： 22.1 一元二次方程 2课时 22.2 降次 6课时 22.3 实际问题与一元二次方程 3 课时 小结 2课时三、教学建议22.1 一元二次方程： 1.本节重点：一元二次方程的定义及其根的概念。学习内容考试要求层次ABC一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值 2.、本节内容:（1）以三个实际问题为背景（引言中的雕像问题，问题1面积问题、问题2比赛中的组合数问题），归纳出了一元二次方程的概念及一般形式，给出了一元二次方程根的概念。 (2）本节最后安排的是估算方程的解（1）新课标的要求：经历用观察、画图、计算器等手段估计方程的解的过程.（2）培养学生的估算意识，锻炼、提高学生估算能力。（3）让学生体验用估算求某些一元二次方程的解有一定的困难，为学习一元二次方程的解法埋下伏笔。（4）对于基础较好的学生可以尝试用函数的观点运用图象法求近似解. 如对于 ,设,画出相应的图象,求出 时对应的即可*（3）教学中应该关注的:1.一元二次方程定义：等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式： *3.一元二次方程根的概念 方程解的定义是怎样的呢? 使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做根 解出来 解 代进去还原方程（4）例题：例1.判断下列方程是否为一元二次方程？(基本要求) 1 2 3 4567.目的:让学生了解一元二次方程的概念及一般形式.例2将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a0）因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等解：略注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例3方程（m+1）x|m|+1+（m-3）x-1=0 （1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m取何值时，方程是一元一次方程例4若关于的一元二次方程有一个根是1，则m的值是多少?(基本要求) 例5 若关于一元二次方程的常数项为0，则m为_.(基本要求) 例6 如果是关于 的方程 的根，求 a 的值.(代入时机的选择）原方程可以整理为:例7 (略高要求)如果 是关于 的一元一次方程 的根，求的值.注意审题: 一元一次方程,即且 所以,则原方程可化为:则 原式=(整体代换) = =例8若方程ax2+bx+c=0的一个根是，则a+b+c的值为 ; 代数式2009(a+b+c)的值是 ;若a-b+c=0，则此方程必有一个根是 . (基本要求)例9 已知a是方程一个根，求 的值. (略高要求)由题意可得:则 则, 原式=22.2降次解一元二次方程 解方程的基本思路（基本方法）：多元 一元（消元）高次 低次（降次）降次的方法：开平方法（配方法）、因式分解法分式 整式（去分母、换元）1.本节重点：一元二次方程的解法及根的判别式。2.教学内容分析：（1） 一般地，解任何一个代数方程（组）最终都要化归为一元一次方程来解。（2） 一元二次方程与一元一次方程相比，特殊之处在于未知数的最高次由1次升为2次,解一元二次方程基本策略是:把二次降为一次，即降次 关键步骤:各种解法(配方法,公式法,因式分解法)要创造条件实现降次 直接开平方法：通过开平方实现，把化为两个一元一次方程；（目的）配方法：一元二次方程化为的形式，从而通过开平方达到降次，化为两个一元一次方程；（工具）公式法：其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，而直接利用了配方的结论。（结果） 因式分解法：一元二次方程 通过分解因式达到降次，化成两个一元一次方程；依据 （3） 用配方法、因式分解法等解一元二次方程时，要通过适当的变形先使方程转化为一元一次方程，也就是使未知数从二次变为一次。一元二次方程的降次变形，是由一个二次方程得到两个一次方程，因此一个一元二次方程有两个根。3.考试要求：习内容考试要求层次ABC一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式作简单的变形；会运用一元二次方程解决简单的实际问题4.教学建议（1）直接开平方法:建议先复习平方根的相关知识。然后结合一组练习题让学生尝试求解，最后让学生在体验的基础上进行归纳。 练习 解下列方程:(基本要求)(1) ,(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)归纳:如果方程能化成或的形式,那么可得或 不要要求学生去死记结论而应该关注学生是如何处理(思考)的.（2）配方法建议：（1）要让学生明白为什么要进行配方，配方的目的是为用开平方法求解。（2）结合学生的实际可以先复习完全平方公式及等式性质。（先完成书上P39的练习）（3）对于不同层次的学生可作不同的要求，保证基本方法的落实。（先整理成一般形式，然后化二次项系数为1,最后配一次项系数一半的平方。） (4) 练习 用配方法解下列方程: (1) (2)(视学生的落实情况进行适当的补充) (3)(让学生体会为什么要化二次项系数为1,也可进行方法上的对比) (4) (5)(让学生体会为什么要先整理成一般式) (6) (7) (关注前后知识的联系) (8)(对比(1),系数对实根的情况有影响,为后面的学习作好铺垫) （3）公式法：是配方法的一般化结果求根公式的推导教材中的方法问题：已知ax2+bx+c=0（a0），试推导它的两个根x1=，x2=(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？) 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解：移项，得：ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得x2+x=- 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2 即（x+）2= 4a20，4a20, 当b2-4ac0时0 （x+）2=()2 直接开平方，得：x+= 即x= x1=，x2=推荐一种方法(视学生情况进行补充) 对公式法一定要落实到位,通过让学生的练习,让学生明白:运用公式法求一元二次方程的根,一要整理成一般形式,确定各项系数,二要确定判别式的正负性,三要正确套用公式（4）因式分解法：一般情况下要先整理成一般形式,最后运用因式分解化成的形式,最后转化为或,从面求解.练习 解下列一元二次方程:(可以以练习形式先复习因式分解)(1)(2)(3)(4)(方法的灵活选择)(5)(6)(不同的理解可以有不同的处理方式)(7)*（5）几种方法的对比与选择：练习：（先观察再尝试）1）x2=49 开平方法2）3x2-x=0 因式分解法3）x2-3x+2=0 因式分解法4）x2+2x+1=0 x1=x2=-1 因式分解法5）x2-2x-1=0 公式法（配方法）6） 5y2=8 开平方法7） x2-4x +3=0 因式分解法 8） x2-4x -3=0 公式法9）2x2+3x+1=0 因式分解法10）y2-2y-399=0 配方法（系数特别大） 11）2（3x-1）2-6=0 12) 2x2+1=2x 13）3（x-2）2+5(x-2)-2=0 14） (2x-3)(x-1)=2 15） 2x（x+5）=7x-116） 2x - 17）4（x-1）2=49x2重视学生对解法的落实是教学应当关注的,但并不能因此就把本节课设计老师讲学生模仿的习题课，一方面要让学生真正体会各种解法的实质与联系，另一方面更要关注学生的感受。(6)字母系数方程可适当补充例. 若关于x的方程，有两个不同的正整数根，求正整数k的值。（较高要求） 分析：本题用因式分解的方法较好，但求出k以后，要注意检验，因为题目要求有两个不同的正整数根，所以。 解：关于x的方程有两个不同的正整数根 ，将方程的左边分解因式： 点评：本题容易错在k3没有舍。所以一定要注意检验。例（2007四川绵阳）(较高要求)已知x1，x2 是关于x的方程（x2）（xm）=（p2）（pm）的两个实数根（1）求x1，x2 的值；（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值解：（1） 原方程变为：x2（m + 2）x + 2m = p2（m + 2）p + 2m， x2p2（m + 2）x +（m + 2）p = 0，（xp）（x + p）（m + 2）（xp）= 0，即 （xp）（x + pm2）= 0， x1 = p， x2 = m + 2p（2） 直角三角形的面积为=， 当且m2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为或例 (2008北京) (较高要求)已知：关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，解:（1）证明：是关于的一元二次方程，当时，即方程有两个不相等的实数根（2）解：由求根公式，得或，即为所求 5.关注配方法2009年中考说明的要求基本要求:理解配方法,会用配方法解简单数字系数的一元二次方程较高要求:会用配方法对代数式作简单的变形例题：(较高要求)1.已知,为实数,则= . 2.求的最小值 。 也可用: 3.求证:不论,为何实数,多项式的值总是正值. 也可用:4. 当x为何值时, 有最小值,并求出这个最小值.求的最小值或的最小值.5.证明：无论a取何值，关于x的方程（a2-6a+10)x2+ax+1=0都是一元二次方程.6. (P56数学活动 活动2 围矩形)用一根120cm的细绳分别围出满足下列条件的矩形：（1）面积为500cm2（2）面积为675cm2（3）面积为900cm2 试一试，能围出面积大于900cm2的矩形吗？你能解释你的结论吗？S=x（60-x）=-x2+60x=-(x-30)2+9006.一元二次方程根的判别式（1）教学要求：例 无论p取何值,方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个实数根吗?给出答案并说明理由 （2）一元二次方程根的判别式 （建议单独安排1课时）（3）一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) 根的判别式 = b2 4ac 0 方程有两个不相等的实数根 = b2 4ac = 0 方程有两个相等的实数根 = b2 4ac 0 方程没有实数根 注意：（1）利用根的判别式的前提条件是一元二次方程，即隐含 a 0； （2）注意因果关系.（分清谁是条件谁是结论）（4）通过填下面的表格，理解根的判别式性质：5例题例1 下列方程中，有两个不等实数根的是（ ）(基本要求)A BCD例2关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 (基本要求)例3已知关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，则 的取值范围是 . (基本要求)例4已知：关于的一元二次方程求证：方程有两个不相等的实数根；(略高要求)*例5用12m长的一根铁丝围成长方形（1）能否使围成的长方形面积是？为什么？（2）能围成的长方形的最大面积是多少？(略高要求)解：（1）设长方形的宽为，则长为根据题意得即此时，故此方程无实数解，所以这样的长方形不存在。（2）设围成长方形的面积为k，则有即要使方程有解，必须，即所以最大的k只能是9。即最大面积为，此时，。这时围成的图形是正方形。*例6(较高要求) 讨论下面的关于x的方程的根的情况 解：若m1时，原方程是一元二次方程，(2m)24(m1)(m2)4(3m2)*例7 (略高要求) a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程b2x2(b2c2a2)xc20没有实数根证明：因为(b2c2a2)24b2c2(b2c2a2)2bc(b2c2a2)2bc(bc)2a2(bc)2a2(bca)(bca)(bca)(bca)(要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负)因为bca，即bca0，同理bca0，又cab，即bca0又abc0，所以(bca)(bca)(bca)(bca)0 所以，原方程没有实数根例8（2007四川绵阳）(较高要求)已知x1，x2 是关于x的方程（x2）（xm）=（p2）（pm）的两个实数根（1）求x1，x2 的值；（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值解：（1） 原方程变为：x2（m + 2）x + 2m = p2（m + 2）p + 2m， x2p2（m + 2）x +（m + 2）p = 0，（xp）（x + p）（m + 2）（xp）= 0，即 （xp）（x + pm2）= 0， x1 = p， x2 = m + 2p（2） 直角三角形的面积为=， 当且m2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为或例8 (2008北京) (较高要求)已知：关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，解:（1）证明：是关于的一元二次方程，当时，即方程有两个不相等的实数根（2）解：由求根公式，得或，12344321xyO-1-2-3-4-4-3-2-1即为所求 （3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象由图象可得，当时， 22.3实际问题与一元二次方程1.教学内容：2.重点、难点：列一元二次方程解实际问题是本章的重点也是难点。3.本章出现的问题类型 22.1问题1是几何图形面积问题，问题2