人员疏散问题之练习论文.doc

影剧院人员分区疏散问题数学建模 小组成员：莫江媛、孙敏、王斌一 摘要 人员疏散管理是公共场所在遭遇突发事件时能够保证被困人员迅速而有效地疏散，最大限度减少生命财产损失的重要环节，因此该问题的研究具有重要的意义！。本问题要求我们提出影剧院中人员疏散的最优分区方案，还要求提供具体的指标，说明所提出的分区方案是最优的。根据常识我们提出了方案寻优指标：疏散全体人员所需时间尽量少，全体人员到达安全地域的行走距离尽量短。然后，整体考虑人员疏散过程，在影剧院人员满座时，首先，充分考虑影剧院内出口个数和宽度、座椅和通道的布局形式，由以上过程我们根据人员在建筑物内不同位置具有不同的移动特性，将建筑物在平面上划分成能反映人员具体位置的坐标网格， 按照时间最少，路径最短，建立优化模型，并用线性规划，网格划分和MATLAB优化解的方法求得了最优方案，将同一个出口的人员划分到同一个区域，从而完成了描述人员应急疏散的数学模型。关键词：人员疏散 MATLAB优化解 线性规划 网格划分二 问题重述影剧院是火灾频发场所,为其建立合适的紧急疏散方案具有重要意义。一般影剧院有固定座椅,并有多个安全出口,因此适合进行分区疏散,高效、均衡利用各个疏散出口,使疏散行动的总时间达到最小,从而将伤亡降到最低。由于观众持有标示座位号的入场券,可在售票前把分区结果标示在入场券上。这样在遭遇突发事件时,观众能按入场券上指示,迅速撤离现场。具体考虑一个影剧院,有效面积约为,满座时容纳934人。对影剧院平面图进行网格化处理的结果如图1,图中每个网格对应的空间(每个人理论所占面积);影剧院共有6个疏散出口,疏散出口宽度和通道的宽度如图1所示。根据相关资料，人员在座椅区和非座椅区的行走速度分别为0.5和1，试通过数学建模解决：对人员满座和对人员不满座时，分别提出最优分区方案，提出具体指标，并说明所提出的分区方案是最优的。图一 墙壁座椅疏散出口被疏散人员通道无效区域三 问题分析 影剧院布局左右完全对称，故我们只需研究一半的布局即可（本论文以右半边为例）。从总体来说，影剧院人员的分区疏散过程大体是：人们先从座椅区移动到通道，然后再从通道移动到疏散出口的过程。人员疏散管理是让在影剧院在遭遇突发事件时能够保证被困人员有效的疏散，最大限度的减少生命财产的损失，让所有被困人员在最短时间内逃离险区，提高其人员疏散的效率。我们可以建立在图中直角坐标系，每个人员在其位置上有属于自己的坐标，为了求得最优分区方案，我们可以假设在最理想的状态下的模型，最后加入参数调整，确保其各个出口的人数和时间达到一致。即在时间尽量小的情况下，各个区域的人员能以高效，均衡的效率全部分散出去。从细节上来说，由于影剧院的布局不同，导致在人员疏散过程中人们移动的速度和方向都不同。但是，人们都会下意识的选择离自己最近的出口和最宽的出口进行逃离。故充分考虑影剧院内出口个数和宽度、座椅和通道的布局形式，我们列出了一系列方程。求得期最长时间。最后假设参数，加以实际情况，查询相关资料，根据逃生路线动态寻优准则，从而找到人员分区疏散的一种最优方案和最短时间四 模型假设 (1) 网格划分: 对建筑物平面空间进行均匀的网格划分 ,每个网格对应一个元胞(0 . 5m 0 . 5m的空间;)。(2) 网格属性: 每个网格可能被墙壁、 障碍物、 或被疏散人员占据 ,也可能是疏散出口 ,或者为空。(3) 人员特性: 不考虑疏散人员的身体强壮程度 如：强 (青壮年 )和弱 (老幼病残 )。(4) 时间步长: 基于所有人员的位置都是同步变更的模拟规则 ,规定每个时间步长里每个人员只能移动一个网格，人员匀速运动。 (5) 可能移动方向: 在座椅区人员只能左右或者原地不动，在过道里边只能沿着平行于过道的方向行走。 （6）离疏散口近的人先出，人只要到达门口就算到达安全地带。 五 符号说明。 （1） x,y 每个格点在直角坐标系下的标（2） 到第i个出口的时间。（3） B,C,D 相应的出口。 （4）下标“1”，“2” 不同的方向，和不同的区域。 （5） a,b,c,d 区域 （6）各个符号一下图形都有解释说明。六 模型建立与求解问题一：由于剧院是个轴对称图形，以对称轴为Y轴，D门所在的直线为X轴,其交点为原点，以两个网格为一单位长度，建立直角坐标系。如图所示:根据最短路径消耗的最短时间，上面的直角坐标系右半边（即剧院的右半区域）有四块座椅区，左下角为区域a，右下角为区域b，右上角为区域c,左上角为区域d，下面我们分别讨论各区的划分情况：（一）先考虑a区：如下图所示，可用其x和y的范围来表示：， 。且a区域只有C、D两个出口，按照最优情况 由左式可知，即y9.25 时，人经过 路径到达出口C若,人经过路径到达出口D， 即 则此时，b区域划分为三个小区域b1,b2,b3.并且区域上y的范围不变 变化的只是x的范围分别为 , ， 。按照上述方法我们求出的最优路径可知：B1区的人经过路径到达出口C，经过路径到达出口D。b2区的人经过路径到达C，经过路径到达D。B3的人经过路径到达C，经过到达D。故：对于b1 我们只需考虑其在Tc1 路径用的时间即可：若即y8.5时，其往D。可看作y8时其往D 同理，对于b2，b3也如此 对于b2 坐标 4x+2y54时，往C ；对于b3 y 得: x 7.875 的区域人员都经到达B出口.。此处我们可以假设所有的人可以经过到达B出口(2) 假设: 和分别为C区人员从右边和左边到C出口所用时间. = +y-10.5+1 ; = +y 10.5+8; 令: 即 x9.25 时人员都经到达C出口. 这样C区域被x=9.25 划分为W 和W两个区域.且其范围分别为， y的范围同为 W中: ,即 +y-10.5+1 +18 y +1. 求得: y14.25 . 即该区域中人员经T到达B出口. W中: ,即 +y 10.5+8 +18 y +1 求得: 4*x+2*y65.5 时通往B出口; 4*x+2*y 得: y 17 的区域,人员都到B出口.(2) 根据以上情况可以把d区划分开,如图六所示: （图五） （图六）且y17的部分由下面所述部分给出最优分区方案（五）时间分析 ：由上面分析可知,可以总结划分好后的各个小区域（区域说明如下图所示）的人员疏散所使用的时间表达式为:从D出口出: 从C出口出: 从B出口出: 人员疏散所用的时间(即为最慢的那个人用的时间)可通过以上函数来求，,在求时B区和D区的时间时，口算可以得出，求C区的时间时根据MATLAB优化问题编程(程序见附录1，2)可得:max max max 综上所述,C出口的人很快就会走完,而此时B出口和D出口还很拥挤,这样使得C出口闲置,没有充分利用各个出口,不符合要求. 回过头来,上面分区时有块区域的人去出口C和出口D的时间相等,所以可以考虑将那区域的人分到出口C这边,这样来均衡,但是到底分多少人,这还得进一步计算.根据时间列一个表达式,来求当C的人走完时,出口D还有多少人堵在门口: 化简得： ，横纵坐标的取值范围：0x5, 10.5y17.有三个不等式做图得：: 图形解释：其中,斜线 y=2x+8.5 和直线 y=17 ,y轴,构成的三角形区域为堵在门口的人数,为30个人。(程序见附录3).若将这30个人合理分配到C,D两个出口,疏散就可以合理了.18.5秒后,当这30个人已都到通道了,根据到两个出口的距离之比为1:1,所以分15个人到C,最终得到分区图形:(图七)最后再求各个区域的时间:max max max这样三个出口就可以合理利用了,基本同时出去. （六）计算人员疏散出去到底需要多长时间: 根据资料,当人口密度为4人/时,人员的步行速度为0.35m/s.再结合实际,人员在座位区疏散时有个拥挤系数p(0p1),即在座位区的速度为0.5p m/s,同理,在通道区也有一个拥挤系数q(0.5q1),在通道区的速度为q m/s,根据上式可得疏散时间: =若取,则可得时间 max=42.6s所以，42.6s才能完全疏散.（七）结论 分区结果如图七所示，图示即为最优的分区方案。而根据修正后的速度求得的人员离开剧院的时间为max=42.6s。问题二： （一） 问题分析 上面分析了当人员满座的情况，当人员不满座时，会在各个区域内有个人数满座率，所以具体的指标就是疏散时间与人员总数之比，人数满座率，还是根据时间最短，路径最短，各个区域最慢的那个人出三个出口用的时间近似相等，三个出口均衡利用来建立模型，列出数学表达式，然后求解。（二） 模型假设 （1） 不考虑疏散人员的身体强壮程度 如：强 (青壮年 )和弱 (老幼病残 )。（2） 基于所有人员的位置都是同步变更的模拟规则 ,规定每个时间步长里每个人员只能移动一个网格，人员匀速运动。 （3） 在座椅区人员只能左右或者原地不动，在过道里边只能沿着平行于过道的方向行走。（三） 符号说明N总：不满座的总人数T :疏散总用用的时间T（i）:从第i个出口出人员疏散要用的时间S(i)：从第i个出口出要走的路程a :时间与人数的比值r(i): 人数满座率（四） 模型建立经分析，建立模型为： T=SN总/a ; T(B)=S(B)N总r(B)/a T(C)= S(C)N总r(c)/a ; T(D)=S(D)N总r(D)/a 令T(B)=T(C)=T(D)(五) 模型求解 按照剧院人员多少的不同情况，给出参数指标，进一步求解。 七 模型的评价与检验模型评价: 优点: 本文对人员位置固定的多出口场所分区疏散问题做了比较全面定量的分析.具体以一个影剧院为例划分了该影剧院的疏散区域,得出了较准确的结论.在分区时应用了线性规划,网格划分法,MATLAB求最优解的方法使得最后结果较为满意. 缺点: 由于时间的紧迫性以及自身水平有限使得所得到的模型较为粗糙.模型检验: 出口 B C D 实际人数 164 126177 理论人数 155 118 194由以上数据可看出根据门的大小计算出的理论人数与由实际划分区域得出的各区人数很相近.又根据各区人员到达各门所用的时间maxT= 26.5 s , maxT=26.5 s, maxT=25.5 s可知:各区到达各个门口的最长时间大致接近,这样所划分的区域较为合理,达到了预期效果!【附录】程