第8章 数字滤波器的响应.doc

第8章 数字滤波器的响应一个数字滤波器是一个处理离散时间信号的系统。在这章，我们研究这种脉冲和频率响应的线性定常系统。预期的学习成果包括:（i） 理解在塑造一个LTI系统时脉冲响应之间的关系、频率响应、差分方程和传递函数;（ii） 能够识别无限脉冲响应(IIR)和有限脉冲响应(FIR)滤波器，注意一个数据响应是一个可以进行离散时间信号的系统;（iii） 计算系统频率响应的能力。Response of digital filtersA digital filter is a system which processes discrete-time signals.In this chapter,the impulse and frequency responses of linear time-invariant (LTI) systems are studied.The intended learning outcomes include:(i)Understanding the relationships between impulse response ,frequency response ,difference equation and transfer function in characterizing a LTI system; (ii)Ability to identify infinite impulse response (IIR) and finite impulse response (FIR) filters;and (iii)Ability to compute system frequency response. 8.1 线性定常系统特性 图8.1显示了框图数字处理的一个模拟信号与使用一个配置线性定常能控系统。在这一章,研究脉冲响应和频率响应的过滤器处理离散LTI输入xn产生输出序列yn是我们研究的重点。 Xtxnynyt 通过前面章节,我们已经知道LTI系统可以以其脉冲响应、频率响应、差分方程和传递函数。快速回顾,如下：8.1 linear time-invariant system characterizationFigure 8.1 shows the block diagram for digital processing of an analog signal with the use of a LTI system.In this chapter,our focus is to study the impulse response and frequency response of the LTI filter which processes the discrete-time input xn to produce the output sequence yn.From previous chapters,we have learned that the FTI system can be characterized by its impulse response,frequency response,difference equation and transfer function. A quick review is given as follows脉冲响应让hn是LTI过滤器的脉冲响应。回想一下(3.17),它通过卷积来构建系统: （8.1）hn是LTI过滤器的主导时间回应。也就是说,如果hn是可用的,我们可以通过使用xn 来产生yn。事实上，脉冲响应是时域响应的过滤器。Impulse ResponseLet hn be the impulse response of the FTI filter.Recall from(3.17),it characterizes the system via the convolution:That is if hn is avaliable,we can produce yn* 频率响应 这个配置线性定常能控系统也可以特征的频率响应, 我们可根据（6.17）知道：这是离散傅里叶变换的Hn。让x和y分别是DTFTsof x和ynn。 这确实是如8.1所表示的频率。即,在时域卷积中对应于多样的频域。* 差分方程 一个LIT系统可以满足了不同方程的形式: 也就是说,我们可以使用一个差分方程来配置线性定常能控系统的特性。* 传递函数 如表格(5.41),(5.42),传递函数H(z)等于z变换的yn,y(z),然后除以z变换的xn,x(z),它是通过把z变换两边(8.3): 即,传递函数可以用来描述LTI过滤器。 然而,只有脉冲响应hn和频率响应h()可以独特的配置;不同配置线性定常能控系统方程和传递函数可能不会。一般来说,H(z)不能给到一个独特的Hn，除非收敛区(ROC)被指定。因为它的等价的传递函数，结果使得不唯一的差分方程是隐含的。 124例 8.1 通过输入xn和输出yn来给出了以下不同的方程式：yn=ayn-1+xn找出所有通过给定的Xn的值求出Yn值的途径。事实上,有两种方法来计算yn。一个简单和实用的方法是通过使用差分方程与一个给定的初始条件y-1递归并运用不同的递归方程来实现一个因果系统：Y0=ay-1+x0Y1=ay0+x1Y2=ay1+x2. . .另一方面,可以通过重组差分方程实现一个因果系统:这样的话,我们就需要一个初始的期望值y-1和期望的输入,并通过递归实现:. . .因此，可以看到，差分方程不能独特的描述系统。然而，如果假设因果关系，那么差分方程就能回应独特的LIT系统。或者,我们也可以使用相应的传递函数H【z】来研究计算yn。运用差分方程的z变换,系统传递函数Hz为: 125由于没有指定收敛域，就有两种可能情况，分别为：|Z| |a| 和|Z| |a| 或者 |aZ-1| |Pmax|。对于|Z| |a| 或者 | 5，收敛域在以最大绝对值的半径为极点的圆之外，这种情况下，该系统可能是因为系统不在单元域内，所以导致该系统不稳定。0.4 | Z | 5，虽然不具备因果关系，但由于收敛域包含单位圆，故该系统是稳定的。| Z | N时才成立。如果系统为因果系统，收敛域必须满足|Z| |Pmax|，其中|Pmax|是极值点的最大绝对值。通过收敛域，得到脉冲响应hn为： （8.6）对应于IIR和FIR滤波器，公式8.6分别有两种可能的情况，：*IIR滤波器如果n = 1或至少有一个极点,由于脉冲响应hn是无限长的，因此该系统也被称为作为IIR滤波器。FIR滤波器如果N=0或者是不存在极点，因为脉冲响应hn的时间是有限的，那么系统就称作FIR滤波器，注意IIR和FIR系统的定义对任何非因果系统都适用例8.3确定如果下列差分方程能够回应IIR和FIR系统。假设所有系统都是因果系统（a）yn=0.1yn-1+xn(b)yn=xn+2xn-1+3xn-2用z来变换（a）可以生成： Y（z）=z-1Y(z)+X(z)H(z)=它可以产生一个极点，对于因果系统，系统脉冲响应之后h(n)=(0.1)nunH(z)=,|z|0.1这是一个右侧序列和对应的一个IIR系统作为hn有着无限持续时间类似的，（b）也是这个道理：Y（z）=X(z)+2z-1X(z)+3z-2X(z)=H(z)=1+2z-1+3z-2这个就没有任何的非零极点。随后的脉冲响应：hn=n+2n-1+3n-2这对于FIR系统hn就是有持续时间的了。值得指出的是因为在这种情况下只有一个可能的时间域，那么差分方程和传递函数可以很独到的描述一个LT1 FIR系统。8.3数字滤波器的频率响应脉冲响应是hn频率响应是H(ejw)的LT1系统是通过以DTFT的hn获得的H(ejw)=依照（5.8），当有理数系统函数H（z）可用的时候频率响应也可以因此获得假设H（z）的时间域包括单位圆。例8.4运用脉冲回应的模式来画出系统的频率回应。 接下来的例7.6，我们在执行离散傅里叶变换产生更多的DTFT样本之前并在hn的结尾添加很多的零。就像是函数H（）是复杂的一样，我们如图8.2所示画出它的大小和相位响应。很明显，这个系统对应于一个低通滤波器，那就是，它提供了一个获得约【0,0.1】的频率信号，虽然其他频率的信号被抑制，但结果还是可以证实示例6.3尽管hn是有限的时间MATLAB程序就像图8.4所提供的那样。 数字滤波器的响应 图8.2：频率响应sinc hn例8.5通过传递函数hz的模式来画出系统的频率回应图示。假定H（z）的范围域包括单位圆。根据（8.8） ，我们使用MATLAB的命令代码b=1,2,3a=2,3,