2014最新小学奥数高斯问题.doc

五年級（繁體）下冊高斯求和姓名： 班別： 日期： 得分： 高斯求和德國著名數學家高斯幼年時代聰明過人，上學時，有一天老師出了一道題讓同學們計算：123499100？老師出完題後，全班同學都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等於5050。高斯為什麼算得又快又准呢？原來小高斯通過細心觀察發現：110029939849525051。1100正好可以分成這樣的50對數，每對數的和都相等。於是，小高斯把這道題巧算為（1+100）10025050。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，並且廣泛地適用於“等差數列”的求和問題。若干個數排成一列稱為數列，數列中的每一個數稱為一項，其中第一項稱為首項，最後一項稱為末項。後項與前項之差都相等的數列稱為等差數列，後項與前項之差稱為公差。例如：（1）1，2，3，4，5，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）8，15，22，29，36，71。其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數列。由高斯的巧算方法，得到等差數列的求和公式：和=（首項+末項）項數2。例1 1231999？分析與解：這串加數1，2，3，1999是等差數列，首項是1，末項是1999，共有1999個數。由等差數列求和公式可得原式=（11999）199921999000。注意：利用等差數列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數是否構成等差數列。例2 11121331？分析與解：這串加數11，12，13，31是等差數列，首項是11，末項是31，共有31-11121（項）。原式=（11+31）212=441。在利用等差數列求和公式時，有時項數並不是一目了然的，這時就需要先求出項數。根據首項、末項、公差的關係，可以得到項數=（末項-首項）公差+1，末項=首項+公差（項數-1）。例3 371199？分析與解：3，7，11，99是公差為4的等差數列，項數=（993）4125，原式=（399）2521275。例4 求首項是25，公差是3的等差數列的前40項的和。解：末項=253（40-1）142，和=（25142）4023340。利用等差數列求和公式及求項數和末項的公式，可以解決各種與等差數列求和有關的問題。例5 在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12釐米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方釐米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數目及所用火柴數目如下表：由上表看出，各層的小三角形數成等差數列，各層的火柴數也成等差數列。解：（1）最大三角形面積為（13515）12（115）8212768（釐米2）。（2）火柴棍的數目為369+24（324）82=108（根）。答：最大三角形的面積是768釐米2，整個圖形由108根火柴擺成。例6 盒子裏放有三隻乒乓球，一位魔術師第一次從盒子裏拿出一隻球，將它變成3只球後放回盒子裏；第二次又從盒子裏拿出二隻球，將每只球各變成3只球後放回盒子裏第十次從盒子裏拿出十隻球，將每只球各變成3只球後放回到盒子裏。這時盒子裏共有多少只乒乓球？分析與解：一隻球變成3只球，實際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了22只球第十次多了210只球。因此拿了十次後，多了21222102（1210）255110（只）。加上原有的3只球，盒子裏共有球1103113（只）。綜合列式為：（3-1）（1210）32（110）1023113（只）。練習31.計算下列各題：（1）246200；（2）17192139；（3）58111450；（4）3101724101。2.求首項是5，末項是93，公差是4的等差數列的和。3.求首項是13，公差是5的等差數列的前30項的和。4.時鐘在每個整點敲打，敲打的次數等於該鐘點數，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？5.求100以內除以3餘2的所有數的和。6.在所有的兩位數中，十位數比個位數大的數共有多少個？答案與提示練習1.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780。2.1127。 提示：項數=（93-5）4+1=23。3.2565。 提示：末項=13+5（