北京师范大学 数学模型与数学建模2 (3).pdf

三 量的比例关系与轮廓模型 1 量的比例关系 10 模型表达了不同量纲的量之间的转 换规律 20 由量纲分析原理可知 不同量纲的量 的乘幂之间一定存在比例关系 30 在同一模型中 若量 y1和 y2的量纲 分别为 y1 X 和 y2 X 则定有 y1 k y2 2 轮廓模型 直接利用不同量纲的量之间的比 例关系所得到的模型称之为轮廓模 型 3 模型举例 例 1 几何体中的长度 面积和体积 正立方体 棱长 l0 a 底面周长 l1 4a 底面 对角线长对角线长 表面积 S1 6a2 底面面积 S2 a2 对角面面积 体积 V1 a3 四棱锥体积 V2 a3 3 al2 2 al3 3 2 3 2aS 量的比例关系与轮廓模型 结论 在简单的几何体中 相应部位的面积与相应部位长度 的平方呈正比 相应部位的体积与相应部位长度 的立方呈正比 相应部位的体积与相应部位面积 的3 2次方呈正比 Si k1Lj2 V i k2Lj3 Vi k3Sj3 2 长方体 I 有棱长 a b c 总棱长L1 2 a b c 底面周长 L2 2 a b 对角线长 表面积S1 2 ab bc ca 底面面积 S2 ab 体积V1 abc 四棱锥体积 V2 1 3 abc 222 3 cbaL 若长方体 II 有棱长 a b c 且 a a b b c c m 则有L1 mL1 L2 mL2 L3 mL3 S1 m2S1 S2 m2S2 V1 m3V1 V2 m3V2 于是可得Si Lk 2 Si Lk2 Vi Lk 3 V L3 Vi Sk 3 2 Vi Sk3 2 即S k1L2 V k2L3 V k3S3 2 结论 在相似的几何体中 相应部位的面积与相应部位长度的 平方呈正比 相应部位的体积与相应部位长度的 立方呈正比 相应部位的体积与相应部位面积的 3 2次方呈正比 Si k1Lj2 Vi k2Lj3 Vi k3Sj3 2 例2 生活中的长度 面积和体积 10 纽约黑鲈的体重W和体长L W oz 17 16 17 23 26 27 41 49 L in 12 50 12 63 12 63 14 13 14 50 14 50 17 25 17 75 L31593 2015 2015 2821 3049 3049 5133 5592 W L3 1 07 0 79 0 84 0 82 0 85 0 89 0 80 0 88 20 人的体重W和身高L W kg 12 17 22 35 48 54 66 75 L cm 86 108 116 135 155 167 178 185 L3 103cm3 636 1260 1560 2460 3724 4657 5640 6332 W L3 0189 0135 0141 0142 0129 0116 0117 0118 30 蜥蜴的体长和体重 小蜥蜴体长15cm 体重为15g 当它 长到20cm长时体重为多少 20g 25g 35g 40g 例3 商品的包装与成本 商 品价格 含量价格含量 高露洁 15 7元 190g 5 8元60g 诗芬 35 9元 400ml 23 1元 200ml 富丽 8 8元450g 3 0元 150g 奇宝 5 9元 250g 4 3元 150g 单价 8 3元 100g 9元 100ml 1 9元 100g 2 3元 100g 单价 9 7元 100g 11 5元 100ml 2元 100g 2 87元 100g 建模分析为什么小包装的商品比 大包装的要贵一些 假设 10 不考虑利润及其他因素对商品价 格的影响 20 包装只计装包工时和包装材料 30 不同规格的商品装包时效率相 同 40 密合式包装 不同规格的商品包 装外观相似 参量与变量 A 每件商品中产品的成本 W 每件商品中产品的含量 B 每件商品的包装成本 B1 装包工时投入 B2 包装材料成本 S 包装材料用量 C W 总成本 c W 单位商品平均成本 模型 C W A B1 B2 A k1W B1 k2W B2 k3S k4w2 3 C W k1W k2W2 3 检验 c W k1 k2W 1 3 应用 1 价格预测 康尔乃奶粉 32 4元 400g 67 1元 900g 4 k1 42 3 k2 32 4 9 k1 92 3 k2 67 1 解得 k1 5 3791 k2 4 3192 模型 C W 5 3791 W 4 3192 W2 3 预测 W 1800 C W 126 49 W 2500 C W 154 36 实际 W 1800 C W 115 9 W 2500 C W 146 85 可赛矿泉水 1 70元 0 6升 2 20元 1 0升 0 6 k1 0 62 3k2 1 7 1 0 k1 1 02 3k2 2 2 解得 k1 1 21 k2 3 41 预测 W 1 5 C W 2 65 实际 W 1 5 C W 3 45 分析 10 不宜于预报新商品的价格 20 成本的降低率 r W dc dw 1 3 k2W 4 3 是商品量的减函数 30 支出的节省率 S W W R W 1 3 k2W 1 3 也是商品量的减函数 购买小包装的商品不合算 购买特大 包装的商品也不合算 例4 划艇比赛的成绩 问题1 划艇按艇上桨手的人数分为单 人 双人 四人和八人艇四种 赛程 2000m 记划行时间 试组建模型描述划艇的比赛成绩与艇上 运动员人数的关系 假设 10 运动员体重 W 相等 每人输出 功率 P 不变 20 艇身相似 30 艇速 v 定常 阻力 F 且与体重 W 呈正比 艇重 U 与桨手人数 n 呈正比 F 与 Sv2 呈正比 S 为浸没面积 参量 变量 n 人数 W 体重 P 输出功率 U 艇重 v 艇速 F 划艇受到的阻力 S 浸没面积 V 排水体积 D 比赛距离 T 比赛成绩 时间 模型 由假设可知 P k1W F k2Sv2 由物理知识可知 桨手输出的功完 全用于划艇克服阻力产生定常的速 度 因此有n P k4 F v 则k1 n W k4 k2 S v3 v k nW S 1 3 由阿基米德原理可知划艇排水的体积V 与载人艇的总重量呈正比 且U k3n V k5 U nW nk5 k3 W k6n 浸没面积与排水体积之间有关系 S k7V2 3 k8n2 3 代入速度的模型 可得 v k nW n2 3 1 3 kn1 9 最后得到比赛成绩的模型T D v k n 1 9 检验 划艇四次比赛的成绩 种类 成绩 划2000米时间 分 平均 单人 7 16 7 25 7 28 7 17 7 22 双人 6 87 6 94 6 95 6 77 6 88 四人 6 33 6 42 6 48 6 13 6 34 八人 5 87 5 92 5 82 5 73 5 84 根据这些数据 利用最小二乘法拟合可得 T 7 29 n 0 104 模型相当准确 问题2 如果八人艇分为重量级组和轻 量级组 规定重量级组运动员体量为86公斤 轻量级组运动员体重为73公斤 表列八人艇是重量级组的成绩 请推断 轻量级组的成绩 设 轻量级组的运动员体重 划艇浸没 面积 艇速和成绩分别为 W1 S1 v1 T1 相应的重量级组为 W2 S2 v2 T2 根据前面得到的艇速的模型 有 v1 k nW1 S1 1 3 v2 k nW2 S2 1 3 3 1 21 3 1 12 3 1 11 3 1 22 1 2 2 1 SSWW SnW SnW v v T T 根据浸没面积与排水体积的模型可知 有 可得可得 W2 W1 1 9 T1 T2 W2 W1 1 3 由于由于 W2 W1 86 73 1 178 则有则有1 018 T1 T2 W W nWU nWU S S 5 940 T2