Cartan型李代数的量子化和限制B型双参数量子群.doc

Cartan型李代数的量子化和限制B型双参数量子群【摘要】：本文主要包含两部分内容：第一部分研究了Cartan型单李代数中W型和S型的李双代数结构的量子化问题，具体确定了它们对应的各种新的量子群结构；第二部分通过B型双参数量子群构造并研究一类有限维点Hopf代数，即限制B型双参数量子群。1Cartan型单李代数W型和S型的量子化问题在第二章中我们首先构造了具体的Drinfeld扭，它依赖于经典的Yang-Baxterr矩阵。利用Drinfeld扭的一般量子化方法给出特征0域上广义Witt代数W上李双代数的具体的量子化。为了研究特征p域的Cartan型限制单李代数W型的量子化，我们首先研究了广义Witt代数W的“正部分”W+(它是特征0域上的无限维单李代数)的Z-形式W_Z+在特征0域上的整形式的量子化。在特征p域上，W+商去其极大理想J_(?)(定义见文中引理222)恰好为Jacobson-Witt代数W(n；(?)(即Cartan型限制单李代数W型)。我们对W_Z+在特征0域的整形式的量子化采用模约化技术：模p约化和模“限制”约化，就得到Jacobson-Witt代数W(n；(?)的限制包络代数的有限维量子化，即W(n；(?)的限制包络代数的截断的p多项式变形u_(t，q)(W(n；(?)，这是特征p域上的非交换、非余交换的有限维Hopf代数，其维数为p(1+npn)(视t为未定元)或p(npn)(t为某p多项式的根)。我们的结果包含了CGrunspan(39，JAlgebra280(2004)，145-161)给出的特征0域上n=1的情形。处理特征p域的情形，我们用到模李代数理论的一些技巧，与CGrunspan的处理39是不同的(事实上，CGrunspan对特征p域的处理是有根本性错误的)。我们发现两两不同的基本Drinfeld扭的合成仍然是Drinfeld扭，以及水平方向的Drinfeld扭，这些扭给出更多的W_Z+在特征0域上的整形式的量子化，通过约化得到更多的Cartan型单李代数W型的量子化。第三章我们用相似的方法通过比较复杂的讨论解决了特征0域上广义Cartan型S李代数及特征p域上特殊李代数S(n；(?)的量子化问题。我们还得到一般性结论，即具有不同长度的扭给出的量子化结果是不同的。特别值得指出的是，我们所得到的这些量子群结构均包含了著名的RadfordHopf代数(DERadford于七十年代中期提出，见76)作为其子Hopf代数。2限制B型双参数量子群第四章我们研究了Bergeron-Gao-Hu12定义的双参数量子群U_(r，s)(so_(2n+1)在参数r、s均为e次单位根时的e次齐次中心元生成的Hopf理想I_n，并进而构造(有限维)限制型双参数量子群u_(r，s)(so_(2n+1)，其维数是e(2n2+2n)。我们证明了这类Hopf代数是点的，利用u_(r，s)(so_(2n+1)中的斜本原元性质，确定了两个限制双参数量子群同构的充分必要条件，进一步证明了u_(r，s)(so_(2n+1)关于其Borel子代数b具有DrinfeldDouble结构。我们还完全确定了b的左右积分元。通过左右积分元及LHKauffman和DERadford51的结论给出了这类点Hopf代数存在ribbon元的充分必要条件，即u_(r，s)(so_(2n+1)有ribbon元当且仅当e是奇数。这类新的点Hopf代数给出的新的ribbon元可以提供重要的扭结不变量。代数闭域上有限维Hopf代数的分类问题至今尚未解决，那么通过各种途径构造有限维Hopf代数的例子是很有意义的。Cartan型李代数的量子化结果和限制B型双参数量子群为我们提供了新的有限维Hopf代数的例子。【关键词】：Hopf代数广义Witt代数Jacobson-Witt代数广义Cartan型S李代数特殊李代数李双代数Drinfeld扭量子化双参数量子群DrinfeldDouble积分元ribbon元【学位授予单位】：华东师范大学【学位级别】：博士【学位授予年份】：2007【分类号】：O152.5【目录】：摘要6-8Abstract8-12第一章引言12-221.1研究背景12-151.2本文的主要结果和内容安排15-161.3基础知识16-22第二章Cartan型李代数W系列的量子化22-542.1背景介绍22-232.2基础知识23-312.3广义Witt型李双代数的量子化31-402.4Jacobson-Witt型模李代数W(n;(?)的量子化40-512.5水平方向的量子化51-54第三章Cartan型李代数S系列的量子化54-803.1广义Cartan型S李代数的量子化54-603.2特殊代数S(n;(?)的量子化60-663.3基本Drinfeld扭的合成66-743.4水平方向的量子化74-80第四章限制B型双参数量子群80-1324.1基础知识80-854.2限制B型双参数量子群85-1154.3限制双参数量子群间的同