太阳、地球和月球的三体问题.doc

万有引力中的三体问题西和县第二中学 颉瑞明摘要：在学习完万有引力这一节内容后，习题中陆陆续续的出现了一些天体的有关数据，在运算中有些学生会发现，当太阳、月球和地球三者在同一条直线上时，太阳对月球的万有引力大于地球对月球的万有引力，但月球在绕着地球转而并不直接绕太阳转。针对学生的这一疑虑，本文在此做了一些计算和解释。关键字：电炉盘模型 太月地三体 地月系统 圆周运动 摄动法1 计算三者间的万有引力通过查阅相关资料得知太阳、地球和月球的质量分别为、和，太阳到月球的平均距离为，而地月之间的平均距离为【1】【2】。根据牛顿的万有引力定律得知太阳和月球之间的万有引力为：而地球与月球之间的万有引力为：很明显的太阳对月球的万有引力是地球对月的万有引力的两倍多。天体的运动可以看作是近似的圆周运动，并且受到向心力的作用。对月球而言，在太阳、地球与月球三者共线时，太阳对月球的引力与地球对月球的引力之差提供了月球做圆周运动的向心力，方向指向太阳，因此月球应该绕着太阳转，但这与我们所观察到的事实相矛盾。2 对问题的解释2.1、定性的说明通过前面的计算可以看出在计算太阳对月球和地球对月球的万有引力时用到的是牛顿的万有引力定律，而万有引力定律的适用范围是两个质点之间（或者可以看做两个质点的物体间），但是在此三体问题中，由于地球到月球之间的距离和太阳到月球之间的距离相差太大，地月间的距离相对月太间的距离不能忽略不计，在计算太阳对月球的引力时不能单纯的将月球作为质点来考虑，此时应该把地球与月球作为一个整体来对待。准确的说，是地月系统的质心在绕太阳做圆周运动。 这种情况可以用一个模型来说明，图一所示。可以把一个电炉盘的中心当 图一 家庭常用的电炉盘做太阳，螺旋电炉丝的中心则为地球，而一周同心圆上的电炉丝则为月球的轨道，这样看来，是地月系统的质心在绕太阳做圆周运动，并且还可以看出其实月球本质上还是在绕太阳转。2.2用摄动方法说明 图二 太阳对月球运动的摄动在图二中，地球是中心天体，月球是绕地球作轨道运动的天体，而太阳是摄动天体。r和R分别为月球和太阳到地球的距离。月球轨道运动的向心加速度为。太阳作为摄动天体，它对月球轨道运动产生的摄动加速度是和的向量之差，其中是太阳使月球产生的引力加速度；是太阳使地球产生的引力加速度。一般情况下，这两个加速度不在同一方向上，不能简单相减，只有在朔和望时，可以简单加以计算。在朔时， ，其中M是太阳质量，那么， 太阳的摄动影响，使月球偏向太阳的方向，也就是使月球离地球远一些。在望时， 同样的可以得到： ，负号表示太阳的摄动影响使月球偏向太阳的反方向，同样是使月球离地球远一些。摄动力的大小与摄动天体的质量成正比，与其距离的立方成反比。在其他位置，摄动力的计算因涉及方向问题而比较复杂，本文不在详细讨论。但是上面的计算可以得出两点：（1）月球绕地球公转，太阳的引力只起摄动作用，而摄动力的大小与距离的立方成反比，所以决定月球运动的主力不是来自太阳而是来自地球。（2）地球对月球的引力比太阳对月球的摄动力大90倍。尽管如此，月球受到的这一摄动力在太阳系天体中仍是相对较大的。月球绕地球公转的运动，比单纯的椭圆运动要复杂得多。要对月球精确定位是一件非常复杂得工作，通常要考虑好多因素的影响。【2】3 教学建议 在教学过程中能发现此类问题的学生一般都是比较爱算和善于思考的，提及此问题时应分学生情况而论，对于基础一般的学生可以用第一种方法简单的加以说明，而对于底子较好，勤奋好学的学生不妨灌输一些有关摄动的知识，不仅对以前所学知识的整合和拓宽知识面都有很大的帮助，还与学生的课外探究“潮汐现象”有很紧密的联系。参考文献：1. 普通高中课程标准实验教科书物理（必修2），人民教育出版社课程教材研究所、物理课程研究教材开发中心 编著，北京：人民教育