量子力学复习讲义-周世勋版.doc

量子力学讲义一、量子力学是什么？ 量子力学是反映微观粒子(分子、原子、原子核、基本粒子等)运动规律的理论。研究对象：微观粒子，大致分子数量级，如分子、原子、原子核、基本粒子等。二、量子力学的基础与逻辑框架1.实验基础 微观粒子的波粒二象性：光原本是波 现在发现它有粒子性；电子等等原本是粒子 现在发现它有波动性。2.（由实验得出的）基本图象 de Broglie关系与波粒二象性 Einstein关系（对波动）：，de Broglie关系（对粒子）：，总之，3.（派生出的）三大基本特征：几率幅描述 量子化现象 不确定性关系 4.（归纳为）逻辑结构 五大公设(1)、第一公设 波函数公设：状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数性质的要求。(2)、第二公设 算符公设(3)、第三公设 测量公设 (4)、第四公设 微观体系动力学演化公设，或薛定谔方程公设(5)、第五公设 微观粒子全同性原理公设三、作用四、课程教学的基本要求教 材：量子力学教程周世勋， 高等教育出版社参考书：1. 量子力学，曾谨言，2. 量子力学苏汝铿， 复旦大学出版社3. 量子力学习题精选与剖析钱伯初，曾谨言， 科学出版社第一章 绪论1.1 辐射的微粒性1.黑体辐射所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。G. Kirchhoff（基尔霍夫）证明，对任何一个物体，辐射本领与吸收率之比是一个与组成物体的物质无关的普适函数，即 （与物质无关）。辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，以表示。在时间，从面积上发射出频率在 范围内的能量为： 的单位为；可以证明，辐射本领与辐射体的能量密度分布的关系为 （单位为）吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额。由于黑体的吸收率为，所以它的辐射本领 就等于普适函数（与物质无关）。所以黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。我们也可以以来描述。 ()A. 黑体的辐射本领实验测得黑体辐射本领与的变化关系在理论上， 维恩（Wein）根据热力学第二定律及用一模型可得出辐射本领 （k为Boltzmann常数：） 瑞利金斯（Rayleigh-Jeans）根据电动力学及统计力学严格导出辐射本领仅当频率足够低，温度足够高时（）符合实验（即）。而在很高，即很小时，发生无穷，这即紫外灾难。而维恩在低波符合，高波不符。所以，这两个公式并不完全符合实验结果，但理论给出的结论是确切无疑的。B斯忒藩玻尔兹曼定律（Stefan-Beltzmann law）他们发现，黑体辐射能量（单位时间，单位面积发射的能量）是与绝对温度 成正比 （事实上，）显然，维恩或瑞利金斯公式都得不出这样的结果。CWein位移定律维恩发现，对于一确定的，相应地有一波长，使达极大，而。即 这一定律也是无法用维恩或瑞利金斯公式给出回答。总之，在用经典物理学去解释有关黑体的辐射本领相关的实验规律时，是完全失败了。2.固体低温比热：根据经典理论，如一分子有个原子，则一克分子固体有No个自由度（No为Avogadros number，阿伏伽法罗数，）所以，固体定容比热： （为气体常数）称为能均分定律（DulogRelit经验规律）。实验发现，对单原子固体，在室温下符合，但在低温下，是以，因而理论与实验结果不符合。如何解决这些问题呢？普朗克（Planck）大胆假设：无论是黑体辐射也好，还是固体中原子振动也好，它们都是以分立的能量显示，即能量模式是不连续的。 （，） ）辐射的平均能量可如此计算得：经典的能量分布几率 （玻尔兹曼几率分布）所以对于连续分布的辐射平均能量为 而对于Planck假设的能量分布几率，则为 于是，用电动力学和统计力学导出的公式 （RayleighJeans）应改为 这就是Planck假设下的辐射本领，它与实验完全符合。 当 （高频区） （即Wein公式 ）当 （低频区） （RayleighJeans） Stefan-Boltznmann law 维恩位移定律 从而有 低温定容比热由总辐射能量密度（） (横波所受)可推出固体中原子振动能为 （即固体中声速）所以，低温下，定容比热 这一公式只适用于低温，因固体中原子振动有最高频率的限制（声波在固体中波长不短于晶格距离2倍，即，），而在低温下，高频并不激发，因此，影响可忽略（推导辐射总能时高频是计及的，但低温下高频影响可忽，所以这推出的公式只适用于低温）。3.光电效应：光电效应的主要现象：当单色光照射到金属表面上，有这样一些现象（使人迷惑的特点）：A发射光电子的生成依赖于频率，而与光强度无关。要有光电子发射，光频率就必须大于某一值，即有一最低频率。B当照射光的频率时，发射出的光电子动能大小与光强度无关。这从经典物理学基础去看是非常难以理解的，因为光的能量是正比于强度而与频率无关。因此认为光波强度增加时，光波中电场振幅增大，应该会加速电子达到较高的速度和较大的动能，从而离开金属，所以光强度越大，飞出的电子动能越大，而能有光电子产生，也并不需要大于一定频率，即与频率无关。所以，经典理论与实验截然相反。A. Einstein假设一束单色光由辐射能量大小为的量子组成，即假设光与物质粒子交换能量时，是以“微粒”形式出现，这种“微粒”带有能量。电子要飞离金属，必须克服吸引而做功（克服脱出功），所以飞出电子的动能 功函数电子吸引两个光量子的几率几乎为，所以，要飞离金属，则至少 ， 即有一最低频率。而 我们可以看到，核心的问题是一束单色光可以转移给一个电子的能量除以频率为一常数 而这一常数与，光强度，电子及金属材料无关。这一常数并不能由经典物理学中常数所给出。所以，是一个与经典物理学完全不相容的关系。4.康普顿散射（Compton scattering）实验发现，单色射线与电子作用使电子发生散射，其散射射线的波长 这样一个实验结果和特点也是经典物理无法解释的A. Einstein认为射线在与电子相互作用时是以“微粒”形式出现，因此交换能量和动量，而其能量和动量为， 假设电子开始处于静止状态，根据能量，动量守恒，有 2/c2-2 即 称为电子的康普顿散射波长，它等于 所以，从黑体辐射，固体低温比热，光电效应和康普顿散射的实验事实讨论中，我们可以得出结论：辐射除了显示其波动性外，在与物质的能量和动量的交换时，还显示出微粒性，两者之间的关系 而，。所以，起着重要的作用，很小，在很多场合，这种量子效应不显示，这时不连续连续，辐射的微粒性消失。1.2 原子结构的稳定性1.原子行星模型：卢瑟福（Rutherford）组用粒子轰击原子发现，粒子以一定几率散射在大角度方向上，每两万个粒子约有一个粒子返回，飞向源的方向，从而提出原子的行星模型。以这一模型计算散射微分截面，与实验符合得非常好。按照原子行星模型，原子中电子绕原子核运动，则电子在进行加速运动。因此会不断辐射能量（其功率为，即，为加速度）。从而应该发生原子坍塌（秒），但事实上没有出现这现象，原子基态是出奇地稳定，没有辐射发现（因负电荷粒子加速）。2.元素的线光谱 （氢原子）（类氢原子应为， ）为解释这些现象，N.Bohr（尼.玻尔）提出二点假设：(1) 原子仅能稳定地处于与分立能量（）相对应的一系列定态中，不辐射能量。(2) 原子从一个定态到另一个定态时，也就是电子从一个轨道跃迁到另一轨道时，将吸收或发射电磁辐射，其辐射的能量等于两定态的能量差，其频率为 (3)为了确定电子的轨道，即定态相应的分立能量，玻尔提出了量子化条件，即电子运动的角动量是量子化的。 （） （圆形轨道）后来，索末菲尔德（Sommerfeld）推广了这一量子化条件，对于任何一个周期运动，有量子化条件 （） 广义坐标，广义动量。 例：考虑一电子绕电荷为的原子核在一平面中运动，求其可能的定态能量。 解： 根据有心力下角动量守恒， 常数 （） 由 （） 于是有 旧量子理论虽然在解释氢原子和类氢原子上取得一定成功，但对多电子体系，半整数角动量等等无能为力，特别是人为假设（加速不辐射和量子化条件等）。因此，要求有崭新的基础来说明客观存在与经典物理学矛盾的事实。1.3 物质粒子的波动性1.德布罗意假设（de Broglie 1923年）它根据对辐射具有微粒性的研究而进一步推论，建议具有一定动量的粒子和一定波长的波相联系 即 （）称为德布罗意关系当然，能量与频率关系仍为 （称为Einstein关系）这两关系，把粒子的动力学变量与波的特征量联系起来。也就是说，对一个具有确定能量和动量的自由粒子，相应地有确定的频率和波长（波数）及一定的传播方向。而我们知道，有一定频率和波长的波（并有一定的传播方向）是一平面波 ， 通常把具有一定动量的自由粒子所联系的平面波称为德布罗意波（物质波）而一般可计算得，物质微粒的波长，氧原子尺度DNA分子尺度, 电子波长。 因此，通常物质微粒不显示出波动性，而电子在通常情况下也不显示，仅在原子尺度下才显示。波长计算 当电子 ，则 2.物质粒子波动性的实验证据A 戴维逊、革末（Davisson and Germer, P.R. 30(27) 707）当可变电子束（）照射到抛光的镍单晶上，发现在某角度方向有强的反射（即有较多电子波吸收），而满足 若，则上式与光栅衍射公式相同（），它证明了，电子入射到晶体表面，发生散射，具有波动性而相应波长 这现象无法用粒子的图象来解释。B. G.P.Thomson实验（1927年）（J.J.Thomson 1897年测定）电子通过单晶粉末，出现衍射图象，这一衍射图象反映了电子的波动性（，所以波长，可穿透厚度为的箔）。如象射线照到单晶 粉末压成的金箔上，满足一样，电子入射满足，而产生衍射。（注意现在不是明暗相间，而是电子数多少。）注意，这是小晶粒（金属箔）组成，所以晶面方向是无规的，总有一些晶粒的面与入射电子夹角满足衍射条件，而又由于是无规的（因此，对绕入射束一周，而又保持晶面与入射束的夹角不变的晶粒总是存在。）。所以，形成衍射环。这一特点，不仅电子有，后来热中子试验都有，即物质粒子还有波动性，当然，经典物理学是无法解释的。第2章 波函数和薛定谔方程 既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那么，如何理解这两属性呢？它们如何统一起来？ 经典物理观点必须被修改。主要表现：a. 波粒两象性 （粒子） （波） （Planck假设）Einstein关系 （，） （de Broglie假设） de Broglie关系 具有确定动量的自由粒子被一平面波所描述 b. 物理量取值不一定是连续的辐射体辐射的能量取值 氢原子的能量 由于平常粒子的波长，所以观察不到干涉, 衍射现象。微观粒子，如电子，因此在原子线度下可能显示出波动性。而在宏观测量尺度下，几乎也不显示波动性。将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，这在经典物理学中看来是不可能的，因经典粒子 经典波原子性（整体性） 实在物理量的空间分布轨道 干涉，衍射这两者是不相容的。描述微观粒子既不能用经典粒子，也不能用经典波，当然也不能用经典粒子和经典波来描述。1 波函数的统计解释一、波函数的引入描述自由粒子可用平面波波函数来描述。如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，这样的微观粒子的运动状态也可以用较复杂的波完全描述。二、波函数的解释1、经典物理学中粒子与波的有关概念经典概念中粒子意味着： 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。经典概念中波意味着：1. 某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。2、对波粒二象性的两种错误的看法(1). 波由粒子组成波是由粒子组成的，把波看成是由大量粒子相互作用而在空间形成的一种疏密相间的周期分布。(2). 粒子由波组成电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 3、Born波函数的统计解释几率波波函数的统计解释（它是量子力学的基本原理）：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。 D-B所提出的由波函数所描述的“物质波”是刻画粒子在空间几率分布的几率波。波函数(r)有时也称为几率幅。五、波函数的物理意义 几率分布运动状态波函数完全描写了微观粒子的运动状态（即波函数的物理意义）经典概念和量子力学对粒子和波的理解：六、波函数的特性： 1、常数因子不定性： 和描述同一种运动状态。2、相位因子不定性： 与描述同一种运动状态，eia称为相因子。七、波函数的归一化1、几率和几率密度设体系（即粒子）的状态波函数为，则在时刻、在，的体积元内出现该粒子的几率为 （由波函数的统计解释可得）式中，C是比例常数，。 以体积元去除几率，可得到在时刻，在点附近单位体积内出现该粒子的几率，即几率密度为 在体积V内，t时刻找到粒子的几率为： 2、平方可积 平方可积一维坐标系（设沿方向）的情况下： 三维直角坐标系的情况下： 三维球坐标系的情况下： 注意：自由粒子波函数不是平方可积3、归一化波函数若y(r , t)没有归一化， （A 是大于零的常数）则有 也就是说，(A)-1/2y (x,y,z)是归一化的波函数，与y (x,y,z)描写同一几率波，(A)-1/2称为归一化因子。波函数归一化与否，并不影响概率分布有何变化。 令，由波函数的特性可知，f(x,y,z)和y (x,y,z)均描述同一状态，但是归一化波函数f(x,y,z)有如下两个特点： 求几率密度 (1) 波函数归一化条件并不是所有的波函数可按(1)式进行归一化，这种归一化条件要求波函数平方可积的，即为有限。以后,为表述简便,引进符号 归一化条件就可以简单表示为八、平面波归一化1、d 函数定义： 或等价的表示：对于x=x0领域连续的任何函数f(x)有： d函数亦可写成Fourier积分形式： 令，, 则 作变换：，d函数性质： 2、平面波归一化 其中f表示t=0时的平面波。写成分量形式 考虑一维积分 因为若取，则，于是 因为平面波可归一化为函数三维情况： 其中例1设粒子的波函数为，求(1)、在范围内找到粒子的几率：；(2)、在范围内找到粒子的几率：；(3)、在及范围内找到粒子的几率：。2 量子态叠加原理一、经典波的叠加原理 如果和是两个可能的波动过程，那么它们的线性叠加 （都是常数）也是一个可能的波动过程。二、经典统计几率相加的原则在经典统计中满足的几率相加原则是：互相排斥事件之任何一件发生的几率等于每个事件单独发生的几率之和。这里不存在相干迭加，没有出现干涉现象，它充分体现了经典物理中粒子与波这两个截然不同的概念。三、态叠加原理1、若和是体系可能实现的状态，那么它们的线性迭加（、是复常数）也是这个体系的一个可能实现的状态。 （对经典波也适用）2、若体系处于迭加态时，则体系部分处于态，部分处于态。 几率 几率 其中、已归一化。态叠加原理一般表述： 若y1，y2 ,., yn ,.是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加y= C1y1 + C2y2 + .+ Cnyn + . (其中 C1 , C2 ,.,Cn ,.为复常数)也是体系的一个可能状态。处于y态的体系，部分的处于y1态，部分的处于y2态.，部分的处于yn，.注意：波函数本身不是物理量，不能测量，但w是物理量，可以测量的。四、力学量的不确定性体系可能态，体系所处状态测力学量所得值 体系处于测力学量其值为体系处于测力学量其值为体系处于测力学量其值为测力学量不定，有多种可能值，每次测得的值是不能预先确定的，带有偶然性，但只能是可能值中的一个，而且每种可能值以确定的几率出现。五、动量空间（表象）的波函数波函数y(x,y,z)可用各种不同动量的平面波表示，下面我们给出简单证明。令 则y可按yp展开展开系数 显然，二式互为Fourier变换式，故而总是成立的。所以y(x,y,z)与c(p)一一对应，是同一量子态的两种不同描述方式。y(x,y,z)是以坐标为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标表象波函数； 是以动量为自变量的波函数，动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态。若y(x,y,z)已归一化，则也是归一化的 （证明）与y(x,y,z)具有类似的物理含义t时刻粒子出现在点附近体积元内的几率；t时刻粒子出现在点附近体积元内的几率；3 力学量的平均值和算符的引进一、力学量平均值1、仅与坐标有关的力学量平均值设y (x)是归一化波函数，|y (x)|2 是粒子出现在x点的几率密度，则 对三维情况，设y (x, y, z)是归一化波函数，|y (x, y, z)|2是粒子出现在(x, y, z)点的几率密度，则x的平均值为 若力学量F (x, y, z)仅与坐标有关，则其平均值为 若y (x, y, z)不是归一化的，则上式表为 (6)例1：一维运动的粒子处在 的状态，其中，求归一化的波函数；几率密度；在何处找到粒子的几率最大？、的值。提示：，其中a 0解：、， 取为实数， ； ； 令， ， 经验证，当时找到粒子的几率最大； （一般不采用的方法） ； 。 2、动量平均值一维情况：令y (x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为：粒子动量为px几率密度，则 二、力学量算符1、动量算符一维情况： 体系状态用坐标表象中的波函数y (x)描写时，坐标x的算符就是其自身，即 说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。而动量px在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式： 三维情况： 其中 （直角坐标系中） 称为劈形算符或Harrington或 （球坐标系中）由归一化波函数y (x)求力学量平均值时，必须把该力学量的算符夹在y* (x)和y (x)之间对全空间积分，即 A是任一力学量算符三维情况： A是任一力学量算符若波函数未归一化, 则 2、力学量的算符表示如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，那么表示这个力学量的算符由经典表示式中的、分别换成算符，而得出。即 力学量（经典表达式）算符 （量子力学中相应的算符）这是量子力学中的一个基本假设。大量实验事实表明，以上的假定是正确的，按照这个构成法则，可以得到以下几个常用的力学量算符：(1)、动能算符 在经典力学中，所以动量算符 （直角坐标系中） 称为Laplace算符或（球坐标系中） (2)、Hamilton算符在势场中V(r)的粒子 (3)、角动量算符 在直角笛卡尔坐标中的三个分量可表示为 4 薛定谔方程一、引进薛定谔方程的基本考虑1波函数所满足的方程只能含y对时间的一阶导数。 2方程应是线性的。3第三方面，方程不能包含状态参量，如p, E等， 二、自由粒子波函数所满足的方程描写自由粒子波函数: 将上式对对时间求一次微商，可得 ，即 (1)将对坐标二次微商，得： 同理有： 或 (2)(1)- (2)式 对自由粒子 所以 (3)满足上述构造方程的三个条件。方程(3)就是我们所要找的自由粒子波函数所满足的微分方程，它满足前面所述的条件。讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式写成如下方程形式： (4) 做算符替换(4)即得自由粒子满足的方程(3)。三、势场V(r)中运动的粒子 （前提是势能V(r)与无关）在经典力学中称为哈密顿函数。将其作用于波函数得：作为一种推广，我们假定(4)式成立。做(4)式的算符替换得： 式中称为体系的哈密顿算符，亦常称为哈密顿量。该方程称为Schrodinger方程，也常称为波动方程。1.5 粒子流密度和粒子数守恒定律一、定域的几率守恒 设体系状态波函数已归一化，粒子在t时刻点周围单位体积内粒子出现的几率，即几率密度是： 考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即 证：考虑Schrodinger方程及其共轭式： (1)取共轭 (2) 将 (3)在空间闭区域中将上式积分，则有：使用高斯定理,上式右边积分可化为而积分式中面积分S是体积t的表面。令，几率流密度, 是一矢量. (4) 物理意义 (4)式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。令Eq. (4)趋于，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是Eq. (4)变为： 表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。(3)式可改写为 (5) 几率守恒的微分表达式其微分形式与流体力学中连续性方程的形式相同。二、再论波函数的性质1、波函数完全描述粒子的状态2、波函数的标准条件：单值、有限、连续几率流密度矢量 （直角坐标） （球坐标）例子：由下列两个定态波函数计算几率密度，(1)、(2)、从所得结果证明：表示沿轴正方向传播的平面波；表示沿轴反方向传播的平面波。解：(1)、 。 所以表示沿轴正方向传播的平面波。 (2)、。 所以表示沿轴反方向传播的平面波。6 定态薛定谔方程一、定态Schrdinger方程 (1)与t无关时，可以分离变量 令 代入(1)式 (2) (3) 定态薛定谔方程由(2)解得 其中为任意常数。把常数放到里面去，则 (4) 体系能量有确定的值E，所以这种状态称为定态，波函数y(r,t)称为定态波函数。 定态有两个含义：1、；2、E具有确定值；（判断是否为定态的依据）空间波函数可由方程和具体问题应满足的边界条件得出。方程(3)称为定态Schrdinger方程，也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻yE(r,0)的定态波函数。二、Hamilton算符和能量本征值方程1、Hamilton算符 (2) (3) 再由Schrdinger方程：也可看出，作用于任一波函数y上的二算符, 是相当的。这两个算符都称为能量算符。与经典力学相同， 称为Hamilton量，亦称Hamilton算符。2、能量本征值方程将 改写成 三、求解定态问题的步骤1、列出定态Schrdinger方程 2、根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题，得： 本征值： E1，E2，En， 本征函数： y1，y2，yn，3、写出定态波函数即得到对应第n个本征值En的定态波函数4、通过归一化确定归一化系数Cn返回四、定态的性质1、粒子在空间几率密度与时间无关（证明）2、几率密度与时间无关 （证明）3、任何不显含t得力学量平均值与t 无关（证明）7 方势阱和方势垒 一、一维运动当粒子在势场V(x,y,z)中运动时，其 Schrodinger 方程为： 若势可写成： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式， y(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) y1(x) 二、一维无限深势阱 这是定态问题一维无限深势阱（0a）的求解解：（1）列出各势域的 S 方程 ，令，方程可简化为：(2). 写出通解 （3）使用波函数标准条件（单值性一般在球坐标系中考虑）1) 有限性：当， 当， 当，则解为 2) 连续性：， ， ， ， 能量是量子化的，不连续 （4）由归一化条件定系数A 标准形式是(0a) 能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。讨论其能量本征能为：， 1、在无限深势阱中，粒子的能量是分立，不是连续的；时能量最小，叫基态能量（）或零点能。通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。一般地说，束缚态所属的能级是分立的。2、 与x有n-1个节点。除端点外,基态波函数无节点,第一激发态有一个节点, 第k激发态有k 个节点. 3、 函数在全空间连续,但微商在x=0和a点不连续。对无限深势阱，是不连续的；对有限深势阱，是连续的。如果区域的势为，则必为0，今后不必重新解；三、宇称(1)空间反射：空间矢量反向的操作。 (2)此时如果有： 称波函数具有正宇称（或偶宇称）；称波函数具有负宇称(或奇宇称)；(3)如果在空间反射下， 则波函数没有确定的宇称。 四、有限深对称方势阱 a为阱宽，V0为势阱高度。求束缚态(0EV0)的能级所满足的方程答案： 或 其中，五、方势垒的反射与透射束缚态：当x时，y0其能量是不连续的；自由态：当x时，y不趋于零其能量是连续的。典型势垒是方势垒，其定义如下： 现在的问题是具有一定能量E的粒子沿x轴正方向射向方势垒。i) 考虑EV0的情况解：(1)、三个区域的Schrdinger方程可写为： 因为E V0时，不必重新去解因，当E V0时，b是虚数，故可令： b=ik，其中。 这样把前面公式中的b换成ik 并注意到： sin ika = isinhba 由上可知：F0，即有部分反射，这是一种量子效应；当F=0，即时，T=1，粒子产生完全透射，没有反射，这种现象称为共振透射，产生共振透射的能量称为共振能量。隧穿效应 （tunnel effect） ：粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象。3、讨论(1)、当ba 1时 透射系数则变为： 当kb（同一数量级）时，于是：粗略估计，认为kb（相当于EV0/2）,则T0 = 4是一常数。 (2)、任意形状的势垒可把任意形状的势垒分割成许多小势垒，这些小势垒可以近似用方势垒处理。对每一小方势垒透射系数 则ab贯穿势垒V(x)的透射系数等于贯穿这些小方势垒透射系数之积，即 此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。8 线性谐振子一、引言 1、何谓谐振子量子力学中的线性谐振子就是指在的势场中运动的粒子。2、为什么研究线性谐振子 二、线性谐振子1、方程的建立 线性谐振子的 Hamilton量： 则Schrdinger方程可写为 ： (1)为简单计，引入无量纲参量x代替x，令，其中，则方程可改写为 (2)此式是一变系数二阶常微分方程。其中2、求解 (1). 求渐近解当x时，lx 2，于是方程变为： (3)其解为：但因为波函数的标准条件要求当x时，y应为有限，舍去，只取，令方程(2)的解为， (2). u(x)满足的方程将y (x)表达式代入方程(3)得关于待求函数u(x)所满足的方程： (4) 二阶线性变系数常微分方程此即Hermite方程。(3). 解u(x)级数解 x=0是方程(4)的常点，所以u(x)可以表示为泰勒级数 则方程变成： 即： 从而导出系数bk的递推公式： 由上式可以看出： 因为方程是二阶微分方程，应有两个线性独立解。可分别令： b00, b1=0. ueven (x);只含偶次幂项 b10, b0=0. uodd (x).只含奇次幂项 则通解可记为： 3、应用标准条件u(x)是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。(1)=0，皆有限(2) x 需要考虑无穷级数u(x)的收敛性 当x时，u(x)的渐近行为与相同。所以总波函数有如下发散行为： ，为了满足波函数有限性要求，幂级数u(x)必须从某一项截断变成一个多项式。 bn 0, bn+2 = 0. 代入递推关系得： 因为bn 0，所以有因为于是最后得 结论：基于波函数在无穷远处的有限性条件导致了能量必须取分立值。谐振子的能级是均匀分布的，相邻的两条能级的间距为w4、 厄密多项式 Hn(x)也可写成封闭形式：Hn(x)的最高次项是(2x)n。所以：当n为偶，则厄密多项式只含x的偶次项；当n为奇，则厄密多项式只含x的奇次项。下角标n表示Hn(x)的最高次幂。yn(x)具有确定宇称 ，由厄密多项式Hn(x)决定。厄密多项式和谐振子波函数的递推关系： 基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数y(x)的递推关系： 三、实例例子：一电荷为q的一维线性谐振子受恒定弱电场e作用，电场沿正x方向,其势场为： （，若做正功，则电势下降），求能量本征值和本征函数。答案：本征能量： 本征函数：例2. 求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况 答案：，其中 第3章 量子力学中的力学量1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。 表示把函数u变成 v， 就是这种变换的算符。为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“”号。但在不会引起误解的地方，也常把“”略去。二、算符的一般特性1、线性算符满足如下