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本章主要内容数字滤波器的基本概念模拟滤波器的设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 数字滤波器 DF 的定义输入和输出均是数字信号 通过一定运算关系 数值运算 改变输入数字信号所含频率成份的相对比例或滤除某些频率成份的器件 数字滤波器的特点 相对模拟滤波器 精度高 稳定 体积小 重量轻 不要求阻抗匹配 数字滤波器处理模拟信号通过A DC和D AC 使用数字滤波器对模拟信号的处理 6 1数字滤波器的基本概念 1 数字滤波器的分类 1 一般分类经典滤波器 输入信号中的有用的频率成分和希望滤除的频率成分占用不同的频带 通过选频滤波器达到滤波的目的 现代滤波器 信号和干扰的频带相互重叠 要利用信号的统计分布规律 从干扰中最佳提取信号 如 维纳滤波器 卡尔曼滤波器和自适应滤波器等 2 从滤波器的功能上来分类分为低通 高通 带通 带阻滤波器 6 1数字滤波器的基本概念 理想滤波器幅度特性 6 1数字滤波器的基本概念 特点 1 单位脉冲响应是非因果且无限长 不可能实现 只能尽可能逼近 2 DF的传输函数是以2 为周期 低通的中心频带处于2 的整数倍处 高通的中心频带处于 的奇数倍附近 3 从滤波器的实现网络结构或从单位脉冲响应分类无限脉冲响应 IIR 数字滤波器有限脉冲响应 FIR 数字滤波器 6 1数字滤波器的基本概念 在数字滤波器中 一般考察 0 的频域特性 在模拟滤波器中 通常考察其 0 范围内频率域的特性 N阶IIR滤波器函数 N 1阶FIR滤波器函数 2 数字滤波器的技术要求这里介绍的数字滤波器属于选频滤波器 1 数字滤波器的传输函数H ejw H ejw 系统的幅频特性 表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况 Q 系统的相频特性 反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况 6 1数字滤波器的基本概念 Q 2 数字滤波器的幅频特性 H ejw 的指标 6 1数字滤波器的基本概念 指标说明 p 通带截止频率 通带频率范围 0 p S 阻带截止频率 阻带频率范围 s C 3dB截止频率 P 通带最大衰减 S 阻带最小衰减 1 通带内幅度响应误差范围 2 阻带内幅度响应误差范围 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示 p和 s分别定义为 如将 H ej0 归一化为1 上两式则表示成当幅度衰减到 2 2倍时 所对应频率 c 此时 P 3dB 称 c为3dB截止频率 6 1数字滤波器的基本概念 3 数字滤波器设计方法IIR滤波器设计方法 1 先设计模拟滤波器 AF 的传输函数Ha s 然后按某种变换 将Ha s 转换成数字滤波器的系统函数H z 2 借助计算机辅助设计在频域或时域直接进行设计 FIR滤波器设计方法 1 经常采用的是窗函数设计法和频率采样法 2 用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计 6 1数字滤波器的基本概念 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟 且有若干典型的模拟滤波器可以选择 如 巴特沃斯 Butterworth 滤波器 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 椭圆 Kllipse 滤波器 贝塞尔 Bessel 滤波器等 这些滤波器都有严格的设计公式 现成的曲线和图表供设计人员使用 6 2模拟滤波器的设计 各种理想模拟滤波器的幅度特性 1 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 1 模拟低通滤波器的设计指标有 p s p s其中 p和 s分别称为通带截止频率和阻带截止频率 p是通带 0 p 中的最大衰减系数 s是阻带 s的最小衰减系数 6 2模拟滤波器的设计 p和 s一般用dB数表示 对于单调下降的幅度特性 可表示成 6 2模拟滤波器的设计 Ha j0 2 Ha j0 2 如果 0处幅度已归一化到1 即 Ha j0 1 图中 c称为3dB截止频率 因 2 用模拟滤波器逼近方法设计数字IIR滤波器步骤 给出模拟滤波器的技术指标 设计传输函数Ha s 使其幅度平方函数满足给定指标ap和as Ha j 2 Ha j Ha j Ha s Ha s S j 确定Ha s 系统Ha s 应是稳定的系统 因此 极点应位于S左半平面内 6 2模拟滤波器的设计 2 Butterworth低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数 Ha j 2用下式表示 6 2模拟滤波器的设计 c 幅度迅速下降 N越大 幅度下降越快 过渡带越窄 将幅度平方函数 Ha j 2写成s的函数 6 2模拟滤波器的设计 此式表明幅度平方函数有2N个极点 极点sk用下式表示 其中 k 0 1 2N 1 2N个极点等间隔分布在半径为 c的圆上 间隔是 Nrad 左半平面N个点构成Ha s 传输函数 右半平面N个点构成Ha s 传输函数 Ha s 表示为 由于各滤波器的幅频特性不同 为使设计统一 将所有的频率归一化 采用对3dB截止频率 c归一化 归一化后的Ha s 表示为 6 2模拟滤波器的设计 只要知道滤波器的阶数N 可得归一化的传输函数 去归一化p j s c 可得到实际的传输函数Ha s 令s c j c c 称为归一化频率 令p j p称为归一化复变量 归一化巴特沃斯的传输函数为 归一化极点pk ej 2k 1 2N k 0 1 N 1 6 2模拟滤波器的设计 3巴特沃斯滤波器的设计步骤 1 根据给出的技术指标 P S p S 求滤波器阶数N 设 用上式求出的N可能有小数部分 应取大于等于N的最小整数 10lg H j p 2 2 求归一化极点pk 确定归一化传输函数Ha p 根据求极点公式 pk ej 2k 1 2N k 0 1 N 1 再带入 或根据阶数N 查表P157表6 2 1得到极点和归一化传输函数 6 2模拟滤波器的设计 阻带指标有富裕度 通带指标有富裕度 3 求3dB截止频率 c由 H j 2 1 1 c 2N p时 1 p c 2N 10 p 10 4 将Ha p 去归一化 得到实际的滤波器传输函数Ha s 将p s c 代入Ha p 中得 Ha s Ha p p s c 6 2模拟滤波器的设计 表6 2 1巴特沃斯归一化低通滤波器参数 表示两极点P1 PN 2 6 2模拟滤波器的设计 6 2模拟滤波器的设计 例 已知通带截止频率fp 5kHz 通带最大衰减 p 2dB 阻带截止频率fs 12kHz 阻带最小衰减 s 30dB 按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器 解 1 设计模拟滤波器的指标为 p 2 fp 104 rad s ap 2dB s 2 fs 2 4 104 rad s as 30dB 2 确定滤波器的阶数N 6 2模拟滤波器的设计 3 求极点 6 2模拟滤波器的设计 P0 P1 P2 P3 P4 代入归一化传输函数公式 pk ej 2k 1 2N 最简便的方法 由N 5 直接查表得到 极点形式 0 3090 j0 9511 0 8090 j0 5878 1 0000分母多项式的形式 分母因式的形式 4 将Ha p 去归一化 先求3dB截止频率 c 6 2模拟滤波器的设计 5 b0 1 0000 b1 3 2361 b2 5 2361 b3 5 2361 b4 3 2361 5 将p s c代入Ha p 中得到 四 模拟滤波器的频率变换 模拟高通 带通 带阻滤波器的设计 6 2模拟滤波器的设计 利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器设计过程 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 设计技术成熟有相当简便的公式和图表 要求DF特性模仿AF的特性 实际上是个映射问题Mapping 转换后的H z 稳定且满足技术要求 对转换关系提出两点要求 1 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器 仍因果稳定的 2 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响 s平面的虚轴映射z平面的单位圆 相应的频率之间成线性关系 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 满足上述转换关系的映射方法有 脉冲响应不变法和双线性变换法 一 脉冲响应不变法的基本思想使h n 模仿ha t 让h n 正好等于ha t 的采样值二 变换方法1 设模拟滤波器Ha s 只有单阶极点 且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次 将Ha s 用部分分式表示 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 Ha s LT 1 Ha s ha t 时域采样 h n ZT h n H z 脉冲响应不变法 是一种时域上的变换方法 si为Ha s 的单阶极点 LT 1 Ha s U t 为单位阶跃函数 对ha t 进行等间隔采样 采样间隔为T 得到 对上式进行Z变换 得到数字滤波器的系统函数H z 结论 1 S平面的单极点s si映射到Z平面的极点z esiT 2 Ha s 部分分式的系数与H z 部分分式的系数相同 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 2 Ha s 有共轭复数对极点Ha s 的极点si一般是一个复数 以共轭成对的形式出现 将一对复数共轭极点放在一起 形成一个二阶基本节 AF二阶基本节形式一 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 极点 1 j 1 AF二阶基本节形式二 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 极点 1 j 1 三 S平面和Z平面之间的映射关系1 采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系 1 设ha t 的采样信号表示为 2 对进行拉氏变换 得到 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 2 模拟信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系 模拟信号ha t 的傅里叶变换Ha j 和其采样信号的傅里叶变换之间的关系满足 结论 采样信号的拉氏变换是原模拟信号的拉氏变换在S平面沿虚轴以 s 2 T为周期进行的周期延拓 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 将s j 代入上式 得 说明 采用脉冲响应不变法将AF变换为数字DF时Ha s 沿虚轴以 s 2 T为周期进行周期延拓 再经过Z eST的映射关系映射到Z平面上 从而得到H z 上面的这种转换是否满足对转换关系提出的2点要求 设 S j Z r ejw脉冲响应不变法标准映射关系 Z eSTr ejw e j T e T ej T得到 r e T w T 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 频率域的坐标变换是线性的 因果稳定模仿频响 由采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系 0时 S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外 r z 1 以上分析结论 若Ha s 是因果稳定的 则转换后的H z 也是因果稳定的 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 r e T 因果稳定的分析 当 不变 模拟角频率 变化2 T整数倍 映射值不变 S平面上每一条宽度为2 T的水平横带都重迭地映射到Z平面的整个全平面上每条水平横带的左半部分映射到Z平面单位圆内 水平横带右半部分映射到Z平面的单位圆外j 虚轴上每2 T段都对应着单位圆一周 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 z esT是周期函数 由上面分析结果 S平面与Z平面的映射关系满足转换条件 但存在着多值 s 单值 z 映射关系 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 3 DF的频响是AF频响的周期延拓 频率混叠 只有AF频响限于 T之内 DF频响才不失真地复现AF频响 否则 设计出来的DF在w 附近产生频率混叠 2 采样信号的拉氏变换是其模拟信号的拉氏变换以2 T为周期 沿虚轴进行周期化 脉冲响应不变法的应用受限只适合设计带限滤波器 如 低通 带通滤波器的设计 不适合高通 带阻滤波器的设计 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 假设没有频率混叠现象 即满足 按照上式 并将关系式s j 代入 T 代入得到 数字滤波器的频响可以很好模仿模拟滤波器的频响 四 脉冲响应不变法的优缺点优点 1 频率变换是线性关系 w T 模数字滤波器可以很好重现模拟滤波器的频响特性 2 数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应 时域特性逼近好 缺点 1 有频谱混迭失真现象 S平面到 Z平面有多值映射关系 2 由于频谱混迭 使应用受到限制 T 失真 但运算量 实现困难 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 例 已知模拟滤波器的传输函数Ha s 为用脉冲响应不变法将Ha s 转换成数字滤波器的系统函数H z 解 首先将Ha s 写成部分分式 极点为 根据 H z 的极点为 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 按照 经过整理 得到当 T 1s时用H1 z 表示 T 0 1s时用H2 z 表示 则 将Ha j H1 ejw H2 ejw 的幅度特性用它们最大值归一化后 得到它们的幅度特性曲线 如下图所示 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 很轻的混叠现象 严重的混叠现象 脉冲响应不变法的主要缺点 产生频率谱混迭现象 原因 模拟低通的最高频率超过了折叠频率 T 数字化后在w 形成频谱混叠现象 解决方法 采用非线性压缩方法 将整个频率轴上的频率范围压缩到 T之间 而后再用Z eST转换到Z平面上 6 4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 一 双线性变换法消除频谱混迭的原理1 非线性压缩 S平面 S1平面映射 双线性变换法用正切变换实现非线性频率压缩 设Ha s s j 经过非线性频率压缩后用Ha s1 s1 j 1表示 则 上式表明 当 1从 T经过0变化到 T时 则由 经过0变化到 这样实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的 T之间的转换 6 4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 T 时域采样间隔 由上面可得 1 T T 6 4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 2 S1平面到Z平面的映射 将S1平面映射到Z平面上 用标准映射Z eS1T 代入上式 3 双线性不变法的映射关系映射过程 从s平面映射到s1平面 再从s1平面映射到z平面 S平面与Z平面是一一对应的单值映射关系 消除了脉冲响应不变法的多值映射关系 消除了频谱混迭现象 只要模拟滤波器Ha s 因果稳定 其极点应位于S左半平面 转换成的H z 也是因果稳定的 位于单位圆内 6 4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 二 模拟频率 和数字频率 之间的关系将 Z ej S j 代入S Z平面映射关系式 6 4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 说明 s平面上 与z平面的 成非线性正切关系 当 增加时 增加得很快 当 趋于 时 趋于 由于这种非线性关系 消除了频率混叠现象 代价 影响数字滤波器频响逼真模拟滤波器的频响的逼真度 存在幅度失真和相位失真 三 双线性变换法特点1 优点消除了频谱混迭失真 频率映射表明S平面与Z平面是一一对应的单值映射关系 避免了脉冲响应不变法的频谱 混迭 现象 2 缺点以频率变换的非线性为代价 模拟域和数字域进行非线性映射 其瞬时响应不如脉冲响应不变法好 6 4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 四 双线性变换法的幅度失真和相位失真情况如果 的刻度是均匀的 通过非线性正切关系 映射到z平面的 刻度不均匀 随 增加越来越密 即边界频率发生畸变 如果模拟滤波器具有片段常数特性 则转换到z平面仍具有片段常数特性 适于片段常系数滤波器的设计 6 4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 幅度特性失真 相位特性失真 五 双线性变换法的预畸变对边缘临界频率点产生的畸变 可通过频率的预畸变加以校正 例 数字低通滤波器的两个截止频率 p和 s 如果按照线性变换所对应的模拟滤波器的截止频率分别为 再利用非线性的频率变换公式 得到的数字滤波器的截止频率就不等于原来的频率 解决方法 数字频率转换成模拟频率时 先进行预畸变的处理 6 4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 p p T s s T 例 例6 4 1 已知Ha s a a s a 1 RC 求H z 解 1 用脉冲响应不变法时 先确定极点 s a 则2 用双线性不变法时 6 4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 T为采样间隔 其中 设 a 1000 T 0 001和T 0 002 H1 z 和H2 z 的归一化幅频特性如图所示 6 4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 双线性变换法 脉冲响应不变法 模拟滤波器幅频特性 250Hz 500Hz 存在混叠 不存在混叠 曲线形状差别大 五 用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器步骤 1 确定数字低通滤波器的性能指标 Wp ap Ws aS 2 确定相应模拟低通滤波器的性能指标 脉冲响应不变法 W T双线性变换法 2 T tan W 预畸变 3 设计模拟低通滤波器的传输函数Ha S 4 将Ha S 转换成数字滤波器系统函数H z 利用脉冲响应不变法设计时 应先确定Ha s 极点 按Z eST映射极点 并根据P171页公式表示出H z 若利用双线性变换法 设采样间隔为T 则 6 4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 例1 要求设计一数字低通滤波器 指标为 在通带内频率低于0 2 rad