无穷远点在哪里.doc

无穷远点在哪里 两条直线至多交于一点 但是，即使在同一个平面上，两条直线也不一定非相交不可如果不相交，就说这两条直线平行 平行线不相交，它们好像笔直的铁路上的两根钢轨，距离处处相等，一同伸向远方 不过，当你顺着铁路向前方眺望的时候，你却感到，两根钢轨之间的距离越来越小终于，在地平线上，它们似乎汇合在一起了 你明白，这是视觉的假象，它们不会合为一点 但也许是因为这种假象给人们以影响吧，有不少人就说：两条平行线交于无穷远处不过，直线相交处是点，所以也说：两条平行线交于无穷远点 这种说法对吗？退一步，这种说法能讲出点什么道理吗？ 要想为“平行线交于无穷远点”找点根据，就得解释清楚什么叫“交”，什么叫“无穷远点” 数学家还真的给这种说法找到了可以自圆其说的解释 交，是好理解的两条直线有一个交点，也就是两条直线有一个公共点 两条平行直线，有什么公共的东西呢？如果有什么公共特点的话，这个公共特点也就可以勉强叫做“无穷远点”吧！“交于无穷远点”，也就是有公共的“无穷远点”！ 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，这表明，平行线有共同的方向，或者说，它们对同一直线倾斜的程度是一样的！ 两个人分别在两条直线上行走，如果两条直线不平行，他俩之间的距离最终会越走越远当两条直线平行的时候，他们才有可能永远保持着不远不近的距离 这么说，“无穷远点”就是方向，就是倾斜度每条直线有自己的倾斜度，也就是有自己的“无穷远点” 用这个观点看问题，便可以说：“平面上任意两条直线交于一点，或者是平常的点，或者是无穷远点” 望远镜能帮我们看到远方的景色，但看不到无穷远点数学家的眼光却能看到无穷远点这不是胡说，数学家真有办法把无穷远点从无穷远处拉回来，变成看得见摸得着的平平常常的点 数学家有自己的超级望远镜，这个超级望远镜叫做“射影变换” 如图，在平坦的广场上竖立两根高高的竿子，一根是AB，一根是CD它们可以看成两条平行线比这两根竿子更远的地方，有一根灯柱电灯O光芒四射，它把两根竿子的长长的影子投到地面上这两条影子，不再是平行的了！它们的延长线交于一点P，P恰在灯柱的下端！ 事实表明，在点光源照射下，平行线的影子可以不再平行了这种由点光源的投影形成的图形变换，叫做射影变换 两根竿子AB、CD，它们没有公共点，无论怎样延长，也不会相交但它们的影子WA和YC，延长之后却相交于一点P 影子上的每一点，都是竿子上某一点的投影图中Y是X的投影，W是Z的投影但是，当AB上的M的高度和光源O的高度相等的时候，OM平行于地平面，M的影子就落不到地上了M的影子哪里去了呢？让Z在AB上渐渐升高，Z越接近M，Z的影子W跑得越远Z无限逼近M的时候，W会远得难以想象所以，不妨认为，Z到达M的时候，它的影子W就到无穷远处了所以，M的影子是直线PA上的无穷远点，同样，在CD上取N使的时候，N的影子是直线PC上的无穷远点比喻永远是蹩脚的灯光下的影子虽然给我们以很大启发，但并不能圆满地解释一切当Z再升高，超过M的时候，Z的影子投入茫茫太空怎么办？AP这段虚线，又是哪一段竿子的投影？在数学家看来，所谓W是Z的影子，也就是W在直线OZ上这样，只要让Z在整条直线上滑动，看直线与广场平面交点轨迹如何变化！ 比喻永远是蹩脚的灯光下的影子虽然给我们以很大启发，但并不能圆满地解释一切当Z再升高，超过M的时候，Z的影子投入茫茫太空怎么办？AP这段虚线，又是哪一段竿子的投影？ 在数学家看来，所谓W是Z的影子，也就是W在直线OZ上这样，只要让Z在整条直线上滑动，看直线与广场平面交点轨迹如何变化！ 把OAB平面画出来看（如图），就清楚多了：原来当Z比M更高的时候，直线OZ与广场平面的交点在AP的延长线上当Z在A的下面，即Z钻入地下的时候，OZ与广场平面的交点恰在线段AP上也就是说，Z在直线AB上变动的时候，W就在直线PA上变动当Z向“天上”升，越来越高的时候，W从左方向P靠拢当Z向地下钻，越钻越深的时候，W从右方向P靠拢这样看，P就是直线AB上的无穷远点变过来的同时，可以看出，直线AB上只有一个无穷远点天上地下，两头的无穷远点是同一个 如果广场上又竖起一根斜竿EF（见上图），在点光源照射下，直线EF上的无穷远点投射到什么地方了呢？是不是仍是P呢？不是了过O作一条平行于EF的直线，交广场平面于Q，Q才是EF上无穷远点的投影 让EF绕着E在一个平面内旋转，Q就跟着变动，点Q的轨迹是一条直线既然平面上无穷远点的“影子”是直线，我们就说平面上所有的无穷远点组成一条无穷远直线 在射影变换之下，