弧面分度凸轮轮廓误差评定的数学模型_王海燕.pdf

第 33 卷 第 11 期 1999 年 11 月 西 安 交 通 大 学 学 报 JOURNAL OF XI AN JIAOTONG UNIVERSITY Vol 33 11 Nov 1999 弧面分度凸轮轮廓误差评定的数学模型 王海燕1 赵汝嘉1 刘昌祺2 1 西安交通大学 710049 西安 2 西北轻工业学院 摘要 针对弧面分度凸轮轮廓面为一空间螺旋带 无法用常规仪器测量的问题 采用三坐标测量机 实现了对凸轮轮廓面的数据采集 运用 EB 样条理论建立了凸轮轮廓面的误差评定模型 将根据该 模型开发的误差评定软件应用于实际零件检测 证明该方法正确 简便易行 关键词 弧面分度凸轮 三坐标测量机 EB 样条 误差评定 中国图书资料分类法分类号 TP274 Error Evaluation of Globoidal Indexing Cam Profile Wang Haiyan1 Zhao Rujia1 Liu Changqi2 1 Xi an Jiaotong U niversity Xi an 710049 China 2 Northwest Institute of Light Industry Abstract The globoidal indexing cam has a spiral surface profile which can not be measured by the traditional equipment T he coordinate measuring machine is used for inspection whereby the EB spline theory is applied to develop an error evaluation model T he developed software is applied to an actual part with success Keywords globoidal indexing cam coordinate measuring machine CMM EB spline error evaluation 弧面分度凸轮机构 见图 1 被认为是目前最为 理想的分度机构 该机构不仅分度精度高 传动平 稳 而且结构紧凑 传递扭矩大 特别适用于高速 高 精度分度 1 因其分度运动曲线可设计成适用于各 种工作场合的最优运动曲线 从而在运动平稳性 降 噪 延长机构使用寿命等方面都具有良好性能 改变 凸轮的分度角可以调整动停比 很容易满足停歇运 动阶段所需要的时间 由于弧面分度凸轮轮廓面为一空间螺旋带 见 图 2 无法用常规仪器测量 缺乏精确的检测及误 差评定方法 使得加工过程得不到有效的控制 不能 保证零件的加工质量 从而限制了该机构性能的充 分发挥 对该机构的核心零件 弧面分度凸轮的 静态检测成为目前亟待解决的问题 本文研究了采用三坐标测量机的旋转工作台为 辅助装置实现凸轮的转动 用测量机的扫描程序实 现数据采集的方法 对凸轮轮廓的评定 选用 EB 样 条构造轮廓曲面 应用一种快速迭代收敛算法求空 间点到曲面的距离 实现了测头半径的补偿及凸轮 线 面 轮廓误差的评定 收稿日期 1998 12 26 作者简介 王海燕 女 1968 年 7 月生 博士生 赵汝嘉 联系人 男 机械工程学院机械工程 与自动化系 教授 图 1 弧面分度凸轮机构简图 图 2 实体造型中提取的单侧轮廓面特征 1 轮廓面的数据采集 弧面分度凸轮机构类似蜗杆副 但却不能用测 量蜗杆的仪器实现对弧面分度凸轮的检测 原因是 蜗杆为定升程的螺旋面 而弧面凸轮为变升程的螺 旋面 弧面分度凸轮机构的凸轮工作曲面由分度段 曲面和定位段环面 2 部分组成 前者推动分度盘转 位 后者使分度盘处于停歇状态 当凸轮以等角速度 2连续旋转时 推动分度盘上径向安装的圆柱滚 子 带动分度盘以变角速度 1作间歇的分度转动 三坐标测量机上凸轮的安装如图 3 所示 凸轮 以芯轴固定于旋转工作台上 Z 轴通过凸轮轴 X Y 平面为水平面 X Y Z 轴与设计坐标系一致 凸轮 轮廓面数据的采集可通过以下 2 种扫描方式获得 旋向扫描方式和径向扫描方式 图 3 旋转工作台上凸轮的测量坐标系 旋向扫描时 测头以给定的某一凸轮轮廓的半 径值沿 Z 轴方向与轮廓面接触 旋转工作台作匀速 转动 测头始终保持与凸轮轮廓面接触 测量数据点 是给定半径的圆柱面与凸轮轮廓面的交线上的点 各点沿该交线的间距由坐标测量机在测量时的步长 设定 观察凸轮轮廓面 见图 4 可以看到 其廓面螺 旋带在停歇段为等带宽 在分度段为变带宽 因此测 量时为避免碰撞或无接触 要测到轮廓面的整条啮 合带 测量半径值的设定限定在起始端最小半径和 停歇段最大半径之间 minRrise maxRdwell 径向扫描时 测头沿半径方向移动 沿 Z 向与 轮廓面接触 旋转工作台起分度作用 由于轮廓面的 螺旋带宽不同 见图 4 因此每条扫描线上按等步 距测得的点数不同 为构造测量面的需要 可在带宽 窄的区段取较小步距 宽的区段取较大步距 以求各 扫描线上测点的数目相同 图 4 右旋凸轮右侧螺旋带图 96西 安 交 通 大 学 学 报 第33 卷 由于轮廓面的分度段曲率变化大 而停歇段为 一圆锥面 因此为精确采集表面数据 提高测量效 率 在分度段可取较小的凸轮转角 1 4 停歇段 可取较大的凸轮转角 10 左右 沿径向的扫描数据 亦可在没有旋转工作台时通过测量坐标旋转功能测 得 2 误差评定的数学模型 2 1 四次 EB样条曲线 用以上 2种方法得到的实际轮廓面测量值是一 组离散的测头球心坐标 要评定实际轮廓面曲线 曲 面 上的点对理论轮廓面相应点的偏差 首先要选择 适当的插值方法将离散点拟合成曲线 曲面 在此 拟合曲线 曲面 的基础上 才能进行测头半径的补 偿 误差值的计算和实际轮廓的线 面 轮廓误差评 定 在测量数据的插值处理中选用 EB 样条来构造 被测曲线 面 原因在于四次 EB 样条在形式上使 处理逼近和插值的数学方法达到了统一 其构造的 四次 EB 样条曲线具有如下特点 2 3 1 四次 EB 样条曲线 Pi t 是由基本曲线 Gi t 经调配曲线 Fi t 调配而成的 即 Pi t Gi t kFi t 1 0 t 1 i 1 2 n 3 k 值的引入使设计者可以采取改变 k 值的方法对曲 线的形状进行调整 使其与特征多边形的差异可大 可小 当 k 0 时 Pi t Gi t 四次 EB 样条曲线 就是基本曲线 成为特征顶点的插值曲线 基本曲线 段的起始点和终止点通过相应的特征多边形顶点 ri 1 ri 2 如果按某种方式拓宽 2 个控制顶点 r0 和 rn 1 可使曲线 Gi t 通过所有的给定顶点 r1 r2 rn 如果这 n 个给定点是某条曲线上的型值 点 则曲线就是这 n 个型值点的插值曲线 2 四次 EB 样条可应用给定的一些特殊的特 征顶点来生成含有直线和尖点的曲线 3 四次 EB 样条曲线段端点处的切矢仅与基 本曲线段有关 而与调配曲线段无关 四次 EB 样条曲线的矢量方程式为 Pi t 3 j 0 Ej t ri j 2 0 t 1 i 1 2 n 3 其矩阵形式为 Pi t t 4 t3t2t 1 A kB ri 1riri 1ri 2 T 3 其中 A 1 2 1 2 1 21 2 3 25 2 1 2 1 2 3 2 33 20 1 201 20 0100 4 B 333 3 8 1204 612 60 0000 1 210 5 2 2 四次 EB样条曲面 四次 EB 样条曲面可以看作是 u v 两个方向 EB样条曲线的直积 给定 m n 个空间位置向量 ri j i 1 2 n j 1 2 m 构造曲 面 其矢量方程式为 Pi j t 3 p 0 3 q 0 Ep u Eq v Ri j 6 其矩阵形式为 Pi j u v E0 u E1 u E2 u E3 u Ri j E0 v E1 v E2 v E3 v T 0 u 1 0 v 1 i 1 2 n 3 7 其中 Ri j ri jri j 1ri j 2ri j 3 ri 1 jri 1 j 1ri 1 j 2ri 1 j 3 ri 2 jri 2 j 1ri 2 j 2ri 2 j 3 ri 3 jri 3 j 1ri 3 j 2ri 3 j 3 8 2 3 空间任一点到拟合面的距离 在计算凸轮轮廓面的误差时 需计算空间任一 点到拟合曲面的距离 本文运用了一种求空间点到 曲面距离的快速迭代收敛算法 4 5 设 K x y z 为曲面外空间的一点 见图 5 求 K 点到参数曲面 u w 的距离 图 5 中 Qi ui wi 为曲面上任意一点 作为 K 点在曲面上 的映射点 是迭代初始点 Qi 1 ui 1 wi 1 为 K 点在曲面上的垂足 s u w 为 Qi点的切平面 S 为KQi 1在切平面上的交点 当 Qi与 Qi 1重合时 KQi 1为所求点到曲面的距离 Qui Qwi为 Qi在 u w 方向上的 2 个切向量 97第 11 期 王海燕 等 弧面分度凸轮轮廓误差评定的数学模型 因此有 图 5 空间任一点到曲线的距离 S Qi Qui u Qwi w KS S K Qi K Qui u Qwi w 9 若 KQi 1为点到曲面的距离 则必然 S 与Qi 1 重合 S 亦为该点在曲面上的垂足 根据微分几何点 到平面的距离最小的条件 得 KS Qui 0 KS Qwi 0 10 将式 9 式代入式 10 得 KS Qui Qi K Qui Qu2 i u Qui Qwi w 0 KS Qwi Qi K Qwi Qui Qwi u Qw 2 i w 0 11 令 E Qu2 i F QuiQwi G Qw2i 则式 11 可表示为 K Qi Qui E u F w K Qi Qwi F u G w 12 搜索方法是求出式 12 方程组中的 u 和 w 当 u w 时 是给定任意小的正数 用 Qi 1代替 Qi进行下一轮计算 当 u w 时 迭代 停止 此时 KQi 1 K Qi 1 K Qi K S d 2 4 测头半径补偿 测量机扫描所得数据为测头球心的坐标值 实 际被测曲面是测头球心所在曲面的法向等距面 因 此 实测曲面须在各球心点 x0 y0 z0 法线方向上 减去测头半径 r 方可得到 x y z x x0 rNx N 2 x N 2 y N 2 z 1 2 y y0 rNy N 2 x N 2 y N 2 z 1 2 z z0 rNz N 2 x N 2 y N 2 z 1 2 13 在按四次 EB 样条插值的曲面上 任意一点的法矢 为 n u v Ku Kv Ku Kv 14 令 Rn Ku Kv Rnn u v Ku Kv x u y u z u xv y v z v y uzv z uyv z uxv x uzv x uyv yux v NxNyNz 则 Nx yuz v z uyv Ny z uxv x uzv Nz x uyv yux v 15 3 轮廓误差的评定 3 1 线轮廓误差的评定 文献 6 中对弧面分度凸轮线轮廓误差的评定 是以凸轮理论轮廓面方程 参见文献 6 中 r 滚子 回转半径 为定值的啮合螺旋线为理论曲线的 该方 法采用逐点比较 将凸轮轮廓面方程计算的理论螺 旋线的离散点坐标值以及各点的法向量值读入三坐 标测量机 让测头按理论点的法线方向触及测量表 面 得到的偏差值即为螺旋线的线轮廓误差 由于该 方法需将测量坐标系与理论坐标系完全重合方可得 到精确度高的评定值 所以其坐标系的对正难度高 本文运用测量机的扫描功能获得的数据不能直 接得到线轮廓误差值 也不能按啮合螺旋线扫描 但 对凸轮轮廓面上等半径螺线误差的评定 可以反映 加工表面的尺寸位置状态 通过离线数据处理也可 得到该螺旋线的轮廓误差评定值 且测量时无须对 测量坐标进行严格调整 用实际轮廓表面的扫描数据对等半径螺旋线轮 廓误差进行评定的方法为 以理论轮廓面的离散点 坐标构造曲面 求出等半径螺旋线上的点到理论轮 廓面的距离 将该距离减去测头半径即为螺旋线的 轮廓误差 测量坐标系与设计坐标系的对正无须在 测量时进行 只需在测量数据处理中加入坐标系调 98西 安 交 通 大 学 学 报 第33 卷 整程序即可 3 2 面轮廓误差的评定 文献 6 中的误差评定是以理想点和实际点间 的距离作为误差值的 但由于只有当测量坐标系与 零件坐标系完全重合时 实测点与理想数据才具有 一一对应关系 所以这种点对点的评定方法对测量 坐标系的调整要求严格 本文对面轮廓误差的评定 直接以曲面模型来描述理想曲面和实测轮廓面 从 而求出两曲面间的距离 该方法可以是由理想点构 造曲面求实测点到该曲面的距离 亦可是由实测点 构造曲面求理想点到实测曲面的距离 但必须遵守 的是 构造曲面的点阵在 u 和v 方向上均不得少于 4点 在数据处理中 需进行测量坐标系与零件坐标 系的调整 3 3 评定实例 在秦川机床厂和庆安公司的协助下 分别用 LK 及 UKM 三坐标测量机 以径向 旋向 2 种方法 对样件进行了测量 根据以上的测量和误差评定方 法 用 Visual C 开发了弧面分度凸轮的误差评定 软件 样件设计参数见表 1 图 6 所示为样件在 R 57 mm 的螺旋线上的 误差曲线图 该零件设计要求曲线误差为 0 005 mm 公差带为 0 1 mm 的双向等距配置 对该零件 的评定结果为 凸轮半径为 57 mm 的螺旋线轮廓误 差的极差为 0 086 4 mm 面轮廓误差的极差为 0 092 6 mm 表 1 测量样件设计参数 旋向曲线类型转位角停歇角分度角中心距分度盘回转半径滚子高度滚子直径 右旋变形正弦12 240 45 108 0 012 mm49 2 mm19 mm 25 0 005mm 图 6 旋向扫描螺旋线误差曲线 零件 1 R 57 mm 4 结 论 对弧