高职高等数学 第一章 函数极限连续第三节(二).pdf

沈阳工程学院 第三节 极限的运算 二 Computation of Limit 教学目的 第三节 极限的运算 二 Computation of Limit 教学目的 掌握利用两个重要极限求极限的方法 内容 内容 1 0 sin lim1 x x x 2 1 lim 1 x x e x 教学重点 教学重点 利用两个重要极限求极限 教学难点 教学难点 利用第二重要极限求极限的方法 教具 教具 多媒体课件 教学方法 教学方法 讲练结合 教学过程 1 引入新课 教学过程 1 引入新课 极限的四则运算法则只适用于一些有理分式函数 对于 x x x sin lim 0 和 1 lim 1 x x x 又如何来计算 2 教学内容 一 两个重要极限 2 教学内容 一 两个重要极限 1 1 sin lim 0 x x x 函数 sin x x 的定义域为0 x 的全体实数 当0 x 时 观察其变化趋势 x 1 00 0 100 0 010 0 001 sin x x 0 841470980 998334170 999983340 99999984 由上表可知 当0 x 时 sin 1 x x 根据极限的定义有 1 sin lim 0 x x x 注 注 为了更好利用第一个重要极限求极限 应掌握好如下模型 0 sin lim1 x x x 例例 6 求下列函数的极限 0 sin2 1 lim x x x 1 2 lim sin x x x 2 0 1 cos 3 lim x x x 解解 00 sin2sin2 1 lim2 lim2 12 2 xx xx xx 1 0 11 sinsin 1 2 lim sinlimlim1 11 x xx xx x x xx 沈阳工程学院 2 22 000 2sinsin 1 cos 22 3 limlim2 lim1 xxx xx x x xx 2 例例 7求 0 sin lim sin x ax bx 解解 000 sinsinsin limlimlim sinsinsin xxx axabxaxaaxbx bxbaxbxbaxbx 00 sin limlim11 sin xx aaxbxaa baxbxbb 2 1 lim 1 x x e x 当x 时 列出 1 1 x x 的数值 观察其变化趋势 x 10100100010000100000 1 1 x x 2 59732 70418207169220718152 71827 x 10 100 1000 10000 100000 1 1 x x 2 869792 732002 716942 71842 71830 可见 当x 或x 时 1 1 xe x 根据极限定义有 1 lim 1 x x e x 1 x t 令 t t x x t x 1 1 lim 1 lim 1 0 e 即ex x x 1 0 1 lim 注 注 上述形式也可统一为模型 1 lim1 x x e x 1 0 lim 1 x x xe 例 8例 8 求下列极限 2 1 1 lim 1 x x x 1 0 2 lim 1 2 x x x 1 3 lim 1 x x x 解解 22 2 2 111 1 lim 1lim1lim 1 xxx xxx e xxx 沈阳工程学院 11 122 22 1 2 000 2 lim 1lim1lim 1 222 xxx xxx xxx e 11 1 111 3 lim 1lim1lim 1 xxx xxx e xxx 例 9 2 lim 3 x x x x 解法一解法一令3ux 则3xu 当x 时 u 33 21111 limlim 1lim 1lim11 33 xxuu xxuu x xxuuu 3 11 lim 1lim 1 u uu e uu 解法二解法二 22 2 1lim 1 22 limlimlimlim 3 33 33 1lim 1 xx x xx x xx xxxx x x xxxx x x xx x xx 2 2 3 3 2 2 2 33 3 2 2 lim 1 lim 1 3 3 lim 1 lim 1 x x x x x x x x x xe e e x x 例 10例 10 求lim 1 bx c x a x a b c为整数 解解 111 lim 1lim 1lim11 xx aa ab cabc bx c xxx xxx aaa a x 11 lim 1lim 11 x a ab c abcab xx xx aa ee 沈阳工程学院 课堂练习 课堂练习 1 00 2 00 sin3sin2 1 lim2 lim sin5