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巧构齐次方程解一类解几题在解析几何中，方程是刻画曲线性质的代数语言，而曲线又是描绘方程特征的图像语言，数与形的高度统一，使得两者浑然一体，相得益彰.在解决直线与圆锥曲线的问题时，常用方法就是将它们的方程转化为关于或的二次方程来解决，一般过程较繁.但笔者发现、如果不转化为上述方法而是构造与、有关的二元齐次方程可以有效地解决一类直线与圆锥曲线的问题，达到事半功倍的效果。一、 求参数的值例1:(2010 年全国高中数学联赛广东省预赛)是否存在实数，使直线和双曲线相交于两点A、B，且以AB为直径的圆恰过坐标系的原点？分析: 若设，则，根据此式的特征，可联想到关于的二次方程的两根之积.解:直线的方程: ，即 双曲线方程 整理得 依题意知,，这是关于的二次方程，由韦达定理知，要使以为直径的圆过原点，即, ，即， 二、 求曲线的轨迹方程例2：（2000春北京、安徽高考）如图，设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB.求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线分析：若设，则，根据此式的特征，可联想到关于的二次方程的两根之积.解：设直线的方程为: ，即 抛物线方程 即，显然，这是关于的二次方程,由韦达定理知又OAOB，即直线AB的方程可表示为 OMAB，直线OM的方程可设为 由消去，得到不难看到，直线AB的斜率不存在时，点M的坐标为，满足此方程，故所求点M的轨迹为以为圆心，以为半径的圆（去掉坐标原点）。三、求定值例3:（2009年辽宁高考卷）已知椭圆过点，两个焦点为，()求椭圆的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值。分析：设、，根据已知，即，于是可先构造关于，二元齐次方程，然后得出关于的二次方程，再借助韦达定理求解。解：()椭圆的方程为（过程略） ()设直线的方程为，即 即 椭圆方程为，即，则 将代入，得 整理得： 这是一个关于的二次方程，则由韦达定理有又由已知，即，四、求最值例4：（第十五届”希望杯”培训（高二）点在椭圆上,求的最大值解：令，即两边平方得,整理得：显然这是关于的二元齐次方程由题设可知不可能同时为0，不妨设，两边同时除以得：当时，由于关于的二次方程有实数根解之得：当综上得：,即：故的最大值为在一般情况下，构造齐次方程的方法如下:根据定点得到需构造而成的齐次方程的形式(即关于,的齐次方程)，然后将圆锥曲线方程及直线方程均转化为关于,的方
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