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装订线 图像边缘检测方法的研究摘 要 数字图像边缘检测是图像分割、目标区域识别和区域形状提取等图像分析领域十分重要的基础，是图像识别中提取图像特征的一个重要方法。本文对边缘检测理论和算法作了深入的研究，具体分析了各类传统的边缘检测算法如：Roberts，Sobel，Prewitt，Kirsch，Laplace等，他们基本上都是对原始图像中像素的小邻域构造边缘检测算子，进行一阶微分或二阶微分运算，求得梯度最大值或二阶导数的过零点，最后选取适当的阈值提取边界。但这些算法均存在对噪声敏感、不能自适应选择阈值、检测效果不太理想等缺点。针对这些问题，本文引出了基于小波变换的边缘检测算法。小波变换具有良好的时频局部化特性及多分辨率特性，能够有效地分析信号的奇异性。最后用MATLAB实现该算法，实验结果表明，小波边缘检测比传统的边缘检测算法有更好的边缘检测效果。关键词： 图像处理，边缘检测，小波变换，自适应阈值ABSTRACTEdge detecting of the digital image is the base of the image analysis area,which includes the image segmentation,the target recognition and the region shape extracting and so on, and it also is an important method for image recognition to extract the images characteristics. This paper,I deeply research the theory and the algorithm of the edge detecting and analyze ,the traditional algorithms of the edge detecting,for example,Roberts,Sobel,Prewitt,Kirsch and Laplaee.All of them construct an edge detection operator for the pixels of the primitive image,do first order or second order differential,find the max gradient and the zero of the second derivative,and at last ,choose the proper value to extract the border value.But all of them have some disadvantages,such as,be sensitive for the noise,not choose the proper threshold by itself,and the detecting result is not ideal.Because of these problems,this paper introduces an edge detecting algorithm based on wavelet transform.The time-frequency localization of wavelet transform and the muliresolution wavelet transform can be used to analyze the singularity of the signal.In matlab to realize it,from the result,the edge detection on wavelet transform is better than the traditional algorithm.KEY WORDS:image processing,edge detecting,Wavelet transform,self-adaptive threhold目 录第一章 绪论11.1课题研究的目的和意义11.2图像边缘检测的发展与现状21.3本文的研究内容51.4本文的结构安排5第二章 图像边缘检测的基本方法62.1 边缘检测的内容62.2基于微分算子的边缘检测方法62.2.1基于一阶微分的边缘检测算子62.2.2基于二阶微分的边缘检测算子92.3 Canny边缘检测算法112.4经典边缘检测方法的检测结果14第三章 小波变换理论基础193.1小波变换概述193.1.1连续小波变换193.1.2离散小波变换203.1.3二进小波变换213.2 多分辨率分析213.3快速小波变换算法( Mallat 算法 )22第四章 基于小波变换的边缘检测算子264.1基于边缘检测的小波基函数选取准则264.2 B 样条小波的定义与性质274.3 基于小波变换的图像边缘检测原理274.3.1局部模极大值边缘检测的原理284.3.2 基于二维图像小波分解细节的边缘检测304.4阈值T的选择324.5基于小波变换的边缘检测算法的检测结果33结 论35致 谢36参考文献37附 录381第一章 绪论1.1课题研究的目的和意义边缘是图像的最基本特征，它包含了用于识别的有用信息，为人们描述或识别目标以及解释图像提供了一个重要的特征参数。物体的边缘是以图像局部特性的不连续性为形式出现的。从本质上说，边缘常常意味着一个区域的终结和另一个区域的开始，它普遍存在于目标与背景、目标与目标、区域与区域、基元与基元之间，是图像分割所依赖的重要特征，也是纹理特征的重要信息源和形状特征的基础。有了图像边缘，我们就可以确定物体的几何尺寸并进一步对其测量，确定物体在空间中的几何位置，确定物体的形状特征并对物体进行识别。图像的边缘信息在图像分析和计算机视觉中都是十分重要的，是图像识别中提取图像特征的一个重要属性。尽管边缘在数字图像处理中的作用非常重要，但是到目前为止还没有关于边缘的精确且被广泛承认的数学定义。这里将边缘定义为图像局部特性的不连续性，如灰度的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等。对于灰度图像，边缘是指灰度的突变，是图像中灰度变化较剧烈的地方，也即我们通常所说的信号发生奇异变化的地方。通常沿边缘走向的像素变化平缓，而垂直于边缘走向的像素变化剧烈。图像的边缘有方向和幅度两个特性。按照幅度的变化，边缘可粗略分为两种:一种是阶跃型边缘，它两边像素的灰度值有显著不同;另一种是屋顶状边缘，它位于灰度值从增加到减少的变化的转折点。图1.1给出这两种边缘的示意图。边缘检测就是要检测出图像中这种灰度的不连续性，同时确定它们在图像中的精确位置，是在局部区域上针对“点”的一种运算，表现为一种典型的信号处理问题。在图像处理、模式识别和计算机视觉中，图像的边缘检测具有极其重要的意义。在大量的视觉模块计算中，边缘检测通常是视觉计算的第一步，高层次计算机视觉处理的成功与否极大地依赖于边缘检测算子的优越性能。阶梯形边缘 屋顶形边缘 图1.1 边缘的类型 实际处理的图像一般都混有噪声，在提取边缘的同时亦需要考虑方法的抗噪性能以消除噪声干扰带来的伪边缘。而噪声消除与边缘定位是两个相互矛盾的部分，是边缘检测中的“两难”问题。如何从噪声污染的图像中准确提取图像边缘将直接影响图像的特征提取等后续处理，是图像预处理的关键一步。1.2图像边缘检测的发展与现状 由于边缘是图像的最基本特征，它有能勾画出区域的形状、能被局部定义以及能传递大部分图像信息等诸多优点，所以边缘信息的提取无论是对人类还是对机器视觉来说都是一个最重要、最经典的课题。边缘检测的定义有很多种，其中最常用的一种定义为:边缘检测是根据引起图像灰度变化的物理过程来描述图像中灰度变化的过程。 长期以来，人们一直在研究各种能较好实现边缘检测的方法但由于以下原因:图像本身的复杂性;有效边缘与噪声均为高频信号，容易混淆;光照阴影及物体表面纹理等因素在图像中均表现为边缘;对于不同的使用者来说所关心的边缘信息各不相同等因素的影响，使得边缘提取迄今为止仍然是一个难题。因此，目前对边缘检测方法的研究依然以根据具体要求设计新方法，或是对现有方法进行改进为主要方向。 已有的边缘检测方法可分为以下几类：1、经典算子法经典的边缘检测方法是以原始图像为基础，对图像的各个像素考察它的某个领域内灰度阶跃变化，利用边缘邻近一阶或二阶方向导数变化规律检测边缘。由于边缘点往往对应于一阶微分值大的点，早期学者们提出的都是基于梯度的边缘检测算子:RobertS边缘检测算子、sobel边缘检测算子、Prewitt边缘检测算子、Kirsch边缘检测算子等。这些算子都是现在应用比较广泛的方法，它们运算量小，操作简单。但基于梯度的边缘检测算子在边缘附近区域产生的响应较宽，所以利用上述算子得到的边缘还需后续的细化处理，从而使得边缘定位精度不高一阶微分的局部最大值对应着二阶微分的过零点，即图像边缘点一阶微分的峰值处同为二阶微分的零交叉点，基于此人们提出了二阶微分算子法，拉普拉斯边缘检测算子。它在灰度阶跃边缘的两侧均有响应。其值一边为正，一边为负，而对斜坡形边缘响应为零，即值为零，并且在此零值点的两侧也有一正一负两个峰值。不论是阶跃边缘还是斜坡边缘，这一正一负两峰值的大小及走向，反映了边缘的强弱及走向。它对灰度突变更加敏感，因此使得噪声对图像的影响变大。 2、最优算子法最优算子是在经典边缘检测算子的基础上发展得来的，这类方法是根据信噪比求得检测边缘的最优滤波器。为提高传统算子的抗噪性能，Marr提出可先对图象进行高斯平滑，再使用旋转不变的拉普拉斯算子提取二阶导数的过零点以得到边缘。此过程与人类视觉观察边缘的途径很相似，简称LoG(LaplaCian。 fGauSSian)算子。数学上已经证明LoG算子是按照二阶导数零交叉点检测阶跃型边缘的最佳算子。Canny把边缘检测问题转换为检测单位函数极大值问题，根据边缘检测的有效性和定位的可靠性，研究了最优边缘检测器所需的特性，给出了评价边缘检测性能优劣的三个指标:好的信噪比;好的定位性能;对单一边缘仅有唯一响应，即单个边缘产生多个响应的概率要低，并且虚假边缘响应应得到最大抑制。这就是著名的canny算子。. Canny首次将上述三个指标用数学的形式表达出来，然后采用最优化数值方法，得到了对应给定边缘类型的最佳边缘检测模板。在二维情况下，Canny算子的方向性质使边缘检测和定位性能比LOG算子要好，具有更好的抗噪性能，而且能产生边缘梯度方向和强度两个信息，为后续处理提供了方便。但也存在不足之处，为了得到较好的结果通常需要使用较大的滤波尺度，导致一些细节丢失。 3、曲面拟合法 曲面拟合法就是把图像看作曲面，首先对图像进行某种形式的拟合，再在拟合曲面上根据拟合参数求得边缘。其基本思想是用一个平滑的曲面与待测点周围邻域内像素点的灰度值进行拟合，然后计算此曲面的一阶或二阶导数。Hueckel提出了首先用二维分段线性函数对原始图像作最佳拟合，然后用参数估计的方法进一步检测边缘，他还引进了正交基作近似简化运算。对于阶跃型边缘，Haralick提出用离散正交多项式对原始图像每一像素的某邻域作曲面最佳拟合，求得系数估计，然后在拟合曲面上求二阶方向导数的零交叉点，最终提取阶跃型边缘点。Haral1Ck的算法精度有较大提高，但由于正交多项式基构造过程复杂，灵活性差，不易表达复杂边界的形状，应用受到了限制。 4、多尺度方法 早期边缘检测的主要目标是为了处理好单一尺度上的检测和定位之间的矛盾，而忽略了在实际图像中存在的多种干扰边缘，往往影响到边缘的正确检测和定位。Rosenfeld等首先提出要把多个尺寸的算子检测到的边缘加以组合;Marr等人倡导同时使用多个尺度不同的算子，并提出了一些启发性的组合规则。这一思想后来经witkin等盯发展成了尺度空间滤波理论，说明了不同尺度上的零交叉的因果性。多尺度信号处理不仅可以辩识出信号中的重要特征，而且能以不同细节程度来构造信号的描述，非常适用于高层次的视觉处理。 小波变换是近年得到广泛应用的数学工具。与傅立叶变换和窗口傅立叶变换相比，小波变换是时间和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息，它通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅立叶变换不能解决的很多困难问题，因而被誉为“数学显微镜”。作为多尺度通道分析工具，小波变换为信号在不同尺度上的分析和表征提供了一个精确和统一的框架。 5、基于自适应平滑滤波的方法 基于自适应平滑滤波的边缘检测方法的基本思想是利用一个通用算子对信号进行平滑，该算子能使其本身与信号的局部结构相适应。利维(Lev)等人提出的一种加权模板，其系数是根据窗口的中心点及其邻近点的灰度平均值来确定。还有一种方法是选择具有与中心点灰度值最接近的邻近点，并利用这些邻近点灰度值的平均值取代中心点值。一种更复杂的方法是根据每一点的邻域的局部统计性质来确定模板的系数。吉曼(Geman)提出利用模拟退火 (SimulatedNealing)进行边缘检测的方法就属于自适应边缘检测方法。 6、松弛迭代法 有学者从边界增强的角度出发提出了松弛迭代的方法。这种方法分为二步，图像的平滑、边缘的获取、松弛迭代。它使用边缘点的位置、梯度矢量曲率等信息来初始化松弛网络像素的标一记，根据边界曲线上的点的信息在局部具有一致性和相关性，而噪声点的信息是随机的、无规律的特点，进行邻域点的信息的相互作用，增强有规律的边缘信息同时削弱无规律的噪声，通过不断的迭代对标记进行重复修正和某些约束，最后使得迭代收敛于真实的边缘。 7、数学形态学在边缘检测中的应用 数学形态学是一种非线性滤波方法，它可以用来解决抑制噪声、特征提取、边缘检测等图像处理问题。数学形态学中二值图像的形态变换是一种针对集合的处理过程，其基本运算是腐蚀和膨胀。这种算法简单，适于并行处理，且易于硬件实现，适于对二值图像进行边缘提取。灰度数学形态学是二值数学形态学对灰度图像的自然扩展。Soillel将灰度形态学的梯度与阂值相结合用于边缘检测，可较好的检测出被噪声污染图像中的边缘。8、神经网络分析法 人工神经网络是近些年来迅速发展起来的人工智能科学的一个分支，由于其强大的非线性映射功能及学习能力，神经网络在模式识等多方面取得了较成功的应用。目前神经网络的各种模型也逐步应用到边缘检测领域，由于应用神经网络提取图像边缘是利用了原图的已有知识，是从宏观上认识对象，微观上提取细节，所以它具有较强的抗噪能力。目前国内外己经有许多学者在采用神经网络进行边缘检测方面进行了相关研究，并且取得了不错的效果。9、 统计学方法 在统计学方法中，图像被看作是一个随机域，图像边缘是通过一些统计特性反映出来。近些年来用统计学的方法检测边缘己经取得了令人满意的成果。1.3本文的研究内容本文对边缘检测理论和算法作了深入的研究，具体分析了各类传统的边缘检测算法如：Roberts，Sobel，Prewitt，Kirsch，Laplaee等方法，并用MATLAB仿真图片检测边缘，比较各算法的优缺点。针对这些算法存在的问题，本文引出了基于小波变换的边缘检测算法。小波变换具有良好的时频局部化特性及多分辨率特性，能够有效地分析信号的奇异性。最后用MATLAB实现该算法，实验结果表明，小波边缘检测比传统的边缘检测算法有更好的边缘检测效果。1.4本文的结构安排第一章绪论。介绍了课题意义和图像边缘检测技术的研究现状。第二章经典边缘检测算子。先介绍了边缘介绍边缘检测方法分类，然后介绍了几种常用的边缘检测算子如Roberts算子、sobel算子、Prewitt算子、Laplaee算子、LOG算子等。并对它们的检测结果进行分析比较。第三章小波变换的理论基础。介绍了小波变换的类型，多分辨率分析理论和二进小波快速算法。阐明小波变换在信号奇异性检测方面的性质。 第四章基于小波变换的边缘检测算法。以B样条为基底的样条空间构成了信号空间的多尺度逼近，对不同尺度下的逼近信号求一阶导数，然后作模极值检测，即构成了多尺度B样条小波边缘检测算子。 第五章总结全文。第二章 图像边缘检测的基本方法2.1 边缘检测的内容一般来说边缘检测包括如下四个内容: (l)滤波:边缘检测算法主要是基于图灰度的一阶或二阶导数，但导数的计算对噪声很敏感，因此必须使用滤波器来改善与噪声有关的边缘检测器的性能。而大多数滤波器在降低噪声的同时也导致了边缘信息的损失，因此增强边缘和降低噪声是边缘检测中的一对矛盾。在滤波中我们希望降低噪声，但不对边缘产生副作用，而实际上很难做到这一点，这也是边缘检测中的一个难点。 (2)增强:增强边缘的基础是确定图像各点邻域灰度的变化值。增强算法可以将邻域(或局部)灰度有显著变化的点突显出来。边缘增强一般是通过计算梯度幅值来完成的。 (3)检测:在图像中有许多点的梯度幅值比较大，而这些点在特定的应用领域中并不都是边缘，所以应该用某种方法来确定哪些点是边缘点。最简单的边缘检测判据是利用梯度幅值阈值作为判据。(4)定位:如果某一应用场合要求确定边缘位置，则边缘的位置可在亚像素分辨率上来估计，边缘的方位也可以被估计出来。作为计算机视觉的经典性研究课题，图像边缘的研究已有较长历史，涌现了许多方法，与本文研究有关的方法主要有两大类:(l)基于空间域上微分算子的经典方法，(2)基于小波变换的检测方法。这些内容将在后面的章节中作详细介绍。2.2基于微分算子的边缘检测方法2.2.1基于一阶微分的边缘检测算子 梯度是函数变化的一种度量，而一幅图像可以看作是图像强度连续函数的取样点数组。因此，同一维情况类似，图像灰度值的显著变化可以用梯度的离散逼近函数来检测。梯度是一阶导数的二维等效式，定义为向量: （2.1）有两个重要的性质和梯度有关，一是向量的方向就是函数增大时的最大变化率方向;二是梯度的幅值方向分别由下式给出： （2.2） （2.3）对于数字图像，导数可用差分来近似，可图像的垂直和水平差分来逼近梯度算子: （2.4） 梯度算子仅计算相邻像素的灰度差，对噪声敏感，无法抑制噪声的影响。大多数梯度算子是基于方向导数掩模求卷积的方法。常用的梯度算子有：Robets算子、Sobel算子、Perwitt算子、Laplace算子等等。1.Roberts边缘检测算子 Robertst边缘检测算子首先对每一个像素计算出式(2.4)的向量，然后求出它的绝对值，再进行阈值操作。以下为Robertst边缘检测算子。 （2.5）或 （2.6）它是一个两个2x2模板作用的结果(标注.的是当前像素的位置):则 = （2.7） = （2.8）算法的步骤为： （1） 首先用两个模板分别对图像作用得到和； （2） 对，进行阈值判决，若大于阈值则相应点位于边缘处。 Roberts算子为采用对角线方向相邻两像素之差近似梯度幅值检测边缘。它适合于得到方向不同的边缘，对不同方向的边缘都比较敏感，检测水平和万垂直边缘的效果好于斜向边缘，定位精度。但是在进行差分计算的过程中对噪声敏感，即有噪声影响的像素点可能被检测为边缘点。2.Sobel边缘检测算子 前面介绍的RobertS交叉微分算子可以获得图像细节的轮廓，因为其作用模板小，所以相对计算量也小。但是由于模板尺寸是偶数，所以待处理像素不能放在模板的中心位置，这样处理的结果就会有半个像素的错位。Sobel算子是对数字图像f（i,j）的每个像素，考察它上、下、左、右邻点灰度的加权差，根据边缘点处达到极值这一现象进行边缘检测。是一种奇数大小(3x3)模板下的全方向微分算子。其表达式如下: （2.9） 卷积算子为: Sobel算子很容易在空间上实现，Sobel边缘检测方法不但产生较好的边缘检测效果，而且受噪声的影响也较小。当使用大的邻域时，抗噪声性能会更好，但这样做会增加计算量，并且得出的边缘也较粗。Sobel算子的一个核对垂直边缘影响最大，而另一个核对水平边缘影响最大。两个卷积的最大值作为像素点的输出值，运算结果是一幅边缘幅度图像。Sobel算子利用像素点上下、左右邻点的灰度加权算法，根据在边缘点处达到极值这一现象进行边缘的检测。能提供较为精确的边缘方向信息，但它同时也会检测出许多的伪边缘，边缘定位精度不够高。当对精度要求不是很高时，是一种较为常用的边缘检测方法。3.Prewitt边缘检测算子 Perwitt使用两个有向算子(一个水平的，一个垂直的)，每一个逼近一个偏导数: Perwitt边缘检测算子检测图像M的边缘，可以先分别用水平算子和垂直算子对图像进行卷积，得到的是两个矩阵，在不考虑边界的情形下也是和原图像同样大小的Ml，M2，他们分别表示图像M中相同位置处的两个偏导数。然后把Ml、MZ对应位置的两个数平方后相加得到一个新的矩阵G，G表示M中各个像素的灰度的梯度（逼近)。然后就可以通过阈值处理得到边缘图像。 Perwitt边缘检测算子和Sobel边缘检测算子的不同就在于使用的模板不一样。Prewitt模板没有把重心放在接近模板中心的像素点，导致了噪声的结构对算子的影响很大，因此，当图像的噪声是均匀分布时，用sobel算子效果比较好，当噪声靠近边缘点时，用prewitt算子效果比较好。4.Krisch边缘检测算子 Krisch算子是利用一组模板对图像中的同一像素求卷积，选取其中最大的值作为边缘强度，而将与之对应的方向作为边缘方向。采用以下8个方向的模板： Kirsch算子可检测图像各方向上的边缘避免丢失细节，但是增加了计算量。5. Robinson边缘检测算子 Robinson边缘检测算子也是一种边缘模板算子，它由理想的边缘子图像构成。该算子依次用边缘模板去检测图像，与被检测区域最为相似的模板给出最大值，用该最大值作为算子的输出值，从而使图像边缘像素得到增强。Robinson算子模板如下： Robinson边缘检测算子对噪声有平滑作用，与Roberts和Sobel算子相比，算法实现较复杂，相应的增加了计算量。 2.2.2基于二阶微分的边缘检测算子 上一节介绍的计算一阶导数，把一阶导数大于闽值的点作为边界点的方法，有可能会导致检测出的边缘点过多。一种在理论上更有效的方法是求梯度局部最大值对应的点，并认为它们是边缘点。这种去除了一阶导数中的非局部最大值的方法，可以检测出更精确的边缘。一阶导数的局部最大值对应着二阶导数的零交叉点。这样，通过找图像灰度的二阶导数的零交叉点就能找到精确边缘点。1.LaPlace边缘检测算子 Laplacian(拉普拉斯)算子是根据经过平滑的阶跃型边缘二阶导数在边缘点处是过零函数的原理构造的。拉普拉斯算子是二阶导数的二维等效式。函数f(x，y） 的拉普拉斯算子公式为: （2.10） 在数字图像中，可用差分来近似微分，的Laplace算子为： （2.11） Laplace算子的估算模块： Laplace算子的优点是各向同性、线性和位移不变，对细线和孤立点检测效果好。对灰度突变敏感，定位精度高，不但检测出了绝大部分的边缘，同时基本上没有出现伪边缘。 有两个缺点:(1)边缘的方向信息丢失;(2)Laplace算子是二阶微分，与只包一阶导数的算子相比，它对噪声更加敏感，常产生双像素的边缘，双倍加强了图像中的噪声影响，因此在实际应用中通常需要先对图像进行滤波平滑处理。2.LOG零交叉边缘检测算子 利用图像强度二阶导数的零交叉点来求边缘点的算法对噪声十分敏感，所以，希望在边缘增强前滤除噪声。为此，Marr和Hildreth将高斯滤波和拉普拉斯边缘检测结合在一起，形成LoG算子，即拉普拉斯一高斯算法，也常称为马尔 (Marr-Hildreth)算子。并研究了在高斯噪声下的LoG算子的性能，使得LoG算法更加实用化。该算子先用高斯算子对图像进行平滑，然后采用拉普拉斯算子根据二阶微分过零点来检测图像边缘。LoG滤波器的基本特征是: 1.平滑滤波器是高斯滤波器。 2.增强步骤采用二阶导数(二维拉普拉斯函数)。 3.边缘检测判据是二阶导数零交叉点并对应一阶导数的较大峰值。 4.使用线性内插方法在子像素分辨率水平上估计边缘的位置。 拉普拉斯高斯算子是两种算子的结合，既具备高斯算子的平滑特点又具备拉普拉斯算子锐化特点。平滑和锐化，积分和微分是一对矛盾的两个侧面，统一在一起后就变成了较佳因子。因为图像中包含噪声，平滑和积分可以滤掉这些噪声，消除噪声后再进行边缘检测(锐化和微分)会得到较好的效果。 这种方法的特点是图像首先与高斯滤波器进行卷积，这一步既平滑了图像又降低了噪声，孤立的噪声点和较小的结构组织将被滤除。由于平滑会导致边缘的延展，因此边缘检测只考虑那些具有局部梯度最大值的点为边缘点。这一点可以用二阶导数的零交叉点来实现。拉普拉斯函数用作二维二阶导数的近似，是因为它是一种无方向算子。为了避免检测出非显著边缘，应选择一阶导数大于某一阈值的零交叉点作为边缘点。 LoG算子的输出是通过卷积运算得到的: (2.12)根据卷积求导法有: (2.13) (2.14) 正确的选用LOG算子中的尺度参数是很重要的。直观上说，代表了对图像的平滑程度， 越大，平滑性越好（只要其中没有别的边），它有利于抑制噪声，但不利于定位精度。 越小，则边缘定位精度越高，但边缘细节变化多，信噪比低。因此应根据噪声水平和边缘定位精度的要求来决定的值。这种通过改变 获得不同细节图像的技术称为多尺度方法。它相当平滑，因此将它与图像卷积会模糊图像，并且其模糊程度与成正比。 典型的5x5大小的LoG算子模板为:滤波(通常是平滑)、增强、检测这三个边缘检测步骤对使用LoG边缘检测仍然成立，其中平滑是用高斯滤波器来完成的;增强是将边缘转换成零交叉点来实现的;边缘检测则是通过检测零交叉点来进行的。但是LoG算子有一个缺点就是:它对噪声比较敏感，它检测出的是梯度图像具有局部最大值和最小值的点，但实际上边缘只是那些梯度为局部最大的点。所以LoG边缘检测算子多算了一些点。2.3 Canny边缘检测算法 上述边缘检测算子简单易于实现，具有很好的实时性，但对噪声较敏感、抗干扰性能差，边缘不够精细。Canny于1986年提出的基于最优化算法的边缘检测算子，具有很好的信噪比和检测精度，成为近年来在数字图像处理中广泛应用的边缘检测算子。 Canny认为一个优良的边缘检测算子应具有以下三个特性: 1.好的检测结果(最优检测):不漏检真实存在的边缘，也不把非边缘点检出来，使得输出的信噪比最大。这是显然的，所有使用边缘检测做更深入工作的系统，它的性能都依赖于边缘检测的误差; 2.精确定位准则(最优检测精度):检测到的边缘点的位置要距实际边缘点的位置最近; 在实践中发现仅仅满足这两条的算子并不好，有的算子会对一个边缘产生多个响应。也就是说图像上本来只有一个边缘点，可是检测出来就会出现多个边缘点。于是再添加一个要求: 3.对同一边缘要有低的响应次数(检测点与边缘点一一对应):每一个实际存在的边缘点和检测到的边缘点是一一对应的。 在以上三个标准的指导下，Canny给出了Canny算子的实现过程： (l)用高斯滤波器平滑图像; (2)用一阶偏导的有限差分来计算梯度的幅值和方向; (3)对梯度幅值进行非极大值抑制; (4)用双阈值算法检测和连接边缘; 下面是对Canny边缘检测算法的具体介绍: (l)高斯滤波器平滑图像: Canny边缘检测算法是对信噪比与定位精度乘积的最优化逼近算子。Canny算法首先用二维高斯函数的一阶导数对图像进行平滑，设二维高斯函数为: (2.15) 其梯度向量为: (2.16)用分解的方法提高速度，把的两个滤波卷积模板分解为两个一维的行列滤波器: (2.17) (2.18) 将这两个卷积分别与图像卷积，得到输出图像 (2.19) 其中k为常数，为高斯滤波器分布参数，它决定了高斯滤波器的宽度，控制着平滑程度。对于小的滤波器，虽然定位精度高，但信噪比低;大的情况则相反。(2)计算梯度的幅值和方向传统Canny算法采用2x2邻域一阶偏导的有限差分来计算平滑后的数据数组的梯度幅值和梯度方向。其中和方向偏导数的两个数组和分别为: (2.20) (2.21) 像素的梯度幅值和梯度方向用直角坐标到极坐标的坐标转化公式来计算，用二阶范数来计算梯度幅值为： (2.22) 梯度方向为： (2.23)(3)对梯度幅值进行非极大值抑制 为了精确定位边缘，必须细化梯度幅值图像中的屋脊带，即只保留幅值局部变化最大的点，这一过程就是非极大值抑制。在非极大值抑制过程中Canny算法使用3x3大小、包含8方向的邻域对梯度幅值数组与沿梯度方向的两个梯度幅值的插值结果进行比较,是像素邻域中心处沿着梯度方向的扇形区域,非极大值抑制在此区域进行。如果邻域中心点的幅值不比梯度方向上的两个插值结果大，将此对应的边缘标志位赋值为O，认为其不是边缘;否则认为是边缘。这一过程把宽屋脊带细化为一个像素宽，并且保留了屋脊的梯度幅值。非极大值抑制的过程)用数学公式表示为: (2.24)(4)用双阈值算法检测和连接边缘 双阈值算法是对经过非极大值抑制的图像分别使用高、低两个阈值和，分割得到两个阂值边缘图像和。由于图像是由高阈值得到，因此它应该不含有假边缘，但可能在轮廓上有间断。因此双阈值算法要在中把边缘连接成轮廓，当达到轮廓端点时，该算法就在由低阈值得到的边缘图像的8邻域位置寻找可以连接到轮廓上的边缘，这样，利用递归跟踪的算法不断的在中搜集边缘，直到将中所有的间隙都连接起来为止。 Canny算法在实际应用中也存在如下问题: (1)Canny算法的噪声平滑能力与边缘定位能力相矛盾。当高斯空间系数取值较小时，边缘定位精度高，但图像平滑作用较弱，在有噪声的情况下不稳定;要获得好的噪声抑制效果，必须增大的取值，但又导致模板增大，使边缘位置偏移严重，且运算量增加。 （2）对于一幅具体图像，用canny算法检测边缘时最佳的值和梯度阈值和完全依赖人工获得，无法满足大图像库中图像边缘自动检测的要求。2.4经典边缘检测方法的检测结果 下面分别以Lena图像和叠加了高斯白噪声的Lena图像作为待检测图像，给出几种经典边缘检测方法的检测结果，如图2.1。（a）原图像 （b）Roberts算子 （c）Sobel算子 （d）Prewitt算子 （e）Kirsch算子 （f）Robinson算子 （g）拉普拉斯算子 （h）LOG算子 （g）Canny算子 图2.1 各经典边缘检测算子对原图像的边缘检测对加噪声Lena图像的边缘检测结果，如图2.2。 （a）加噪声后的图像 （b）Roberts算子 （c）Sobel算子 （d）Prewitt算子 （e）Kirsch算子 （f）LOG算子 （g）Canny算子图2.2 对加噪声Lena图像的边缘检测结果各种方法的性能比较： 从图2.1对Lena图像和图2.2对Lena加噪声图像的边缘检测结果可以看出:对于基于梯度的边缘检测算子，它们的模板都比较简单，操作方便，但是得到的边缘较粗，算子对噪声敏感。其中，与采用2x2模板的Roberst算子相比，采用3x3模板的算子的边缘检测效果较好并且抗噪性能更强。在没有噪声的情况下，拉普拉斯算子、LoG算子以及Canny算子都可以得到很好的检测效果。但是LOG算子总会产生伪边缘，这和其过零点的检测方法有关。当有噪声时，二者之间的差别很大。拉普拉斯算子边缘定位精度高，它是二阶微分算子，与基于梯度的边缘检测算子相比，它对噪声更加敏感，扩大了噪声对图像的影响，加噪后的边缘检测效果明显下降。LOG算子的抗噪能力比基于梯度的边缘检测算子和拉普拉斯算子都有提高，它得到的边缘连续性也较好，而且能够提取对比度较低的边缘。使用LoG算子时，参数a的选取很关键，只有选取的模板大小合适，才能实现边缘保持和噪声平滑间的最佳折衷。当有噪声时，其检测到的伪边缘也相应增多，而且LOG算子的卷积模板通常都较大，计算复杂度较高。与以上方法相比，Canny算子具有最好的边缘检测性能和抗噪声性能，它能够得到单像素宽的边缘，且得到的图像边缘较完整，取得了令人满意的边缘检测结果。以上各种边缘检测算法都只是单一尺度的边缘检测，而小波变换具有多分辨率特性可以较好的检测图像边缘，现引出小波变换在边缘检测中的应用，为此先介绍小波变换的理论基础。第三章 小波变换理论基础3.1小波变换概述 小波变换是一种信号的时频分析方法，它具有多分辨率分析的特性，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变，但形状可以改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率；在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，适合于检测正常信号中夹带的瞬态反常现象，并展示其成分。小波变换是近年来应用数学和工程学科中的一个迅速发展起来的新兴领域，是目前国际上公认的信号信息获取与处理领域的高新技术，是多学科关注的热点，是信号处理的前沿课题。 小波变换在信号分析中具有以下优点： (1) 具有多分辨率的特点，即能够通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺度细化分析； (2) 可以看成品质因数恒定，相对带宽恒定的一组带通滤波器在不同尺度下对信号的滤波，特别适合于对非平稳信号进行分析； (3) 适当的选择小波基函数，使之在时域上为有限支撑，在频域上也比较集中，则可以保证小波变换在时频域中都能够具有很强的表征信号局部特征的能力，有利于检测信号的瞬态变化或奇异点。本章主要介绍了小波变换的基本理论，并在探讨小波变换的多分辨分析特性的同时，研究了著名的 Mallat 小波快速分解算法。3.1.1连续小波变换 小波，即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为 0 的波形。它有两个特点：一是“小”，即在时域都具有紧支集或近似紧支集；二是正负交替的“波动性”，即直流分量为零。 小波函数的确切定义为:设为一平方可积函数，即，若其傅立叶变换满足条件: （3.1）则称为一个基本小波或小波母函数，并称上式为小波函数的可容许性条件。小波基函数的定义:将小波母函数进行伸缩和平移，设其尺度因子为。，平移因子为，令其伸缩平移后的函数为，则有: （3.2） 由于尺度因子，平移因子是取连续变化的值，因此称为连续小波基函数。 将任意空间中的函数，即，在小波基下进行展开，称这种展开为函数的连续小波变换(CWT)，其表达式为: （3.3） 尺度因子的作用是将基本小波做伸缩，a越大越宽。在不同尺度下小波的持续时间随a的加大而增宽，幅度则与成反比减小，但波的形状保持不变。针对具体的应用场合，设计不同的小波基函数是实现信号最佳分解和处理的必要前提，也是小波理论研究的重要内容。由此可见: 1.如果是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具有表征分析信号频域上局部性质的能力。只要改变就可以表征在附近的局部性质。 2.其品质因数(带宽/中心频率)不随尺度而变化。总之，从频域上看，用不同尺度作小波变换大致相当于用一组带通滤波器对信号进行处理。当值较小时，时间轴上观察范围小，而在频域上相当于用较高的频率作分辨率较高的分析，即用高频小波作细致观察。当较大时，时间轴上考察范围大，而在频域上相当于用低频小波作概貌观察。小波变换区别于某些常用变换的一个特点是没有固定的核函数。但也不是任何函数都可用作小波变换的基本小波。简单的说，积分为零的函数都可以作为小波函数。任何变换都必须存在逆变换(亦称反变换)才有实际的意义，但不是所有变换的反变换一定存在。对小波而言，所采用的小波必须满足所谓“容许条件”时，反变换才存在。当时才能由小波变换反演到函数。此时便是对提出的容许条件。3.1.2离散小波变换在连续小波变换中，对尺度因子a 和平移因子b 进行离散化，就得到离散小波变换。取，（j，k为整数）， 则 得 到 离 散 化 的 小 波 函 数族。 （3.4）对应于离散小波的离散小波变换为 （3.5） 离散小波变换具有以下的特性： (1)是小波函数 在尺度上的伸缩和时域上的平移得到的。随着尺度 j 的变化，在频域上处于不同的频段；随着 k 的变化，,在时域上处于不同的阶段，所以离散小波变换是一种信号的时间、频率分析；(2) 当尺度 j 增大时，在时域上伸展，在频域上收缩，中心频率降低，变换的时域分辨率降低，频域分辨率提高；当尺度 j 减小时，,在时域上收缩，在频域上伸展，中心频率升高，变换的时域分辨率提高，频域分辨