盐城市南京市2020届高三年级数学第一次模拟考试解析版.pdf

1 南京市南京市 盐城市 盐城市 2020 届高三年级届高三年级第一次模拟考试第一次模拟考试 数数 学学 2020 01 注意事项 注意事项 1 本试卷共 4 页 包括填空题 第 1 题 第 14 题 解答题 第 15 题 第 20 题 两部分 本试卷满 分为 160 分 考试时间为 120 分钟 2 答题前 请务必将自己的姓名 学校 考试号写在答题纸内 试题的答案写在答题 纸 上对应题目 的答案空格内 考试结束后 交回答题卡 参考公式 参考公式 柱体体积公式 VSh 椎体体积公式 1 3 VSh 其中S为底面积 h为高 样本数据 123 n x x xx的方差 2 2 1 1 n i i sxx n 其中 1 1 n i i xx n 一 一 填空题 本大题共填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 请把答案填写在答题卡相应位置上 分 请把答案填写在答题卡相应位置上 1 已知集合 0 A 全集UR 则 UA 答案 0 解析 集合的补集 点评 考查集合的补集运算 该题属于基础题型 2 设复数2zi 其中i为虚数单位 则z z 答案 5 解析 2zi 2zi 2 224 5zziii 点评 考查共轭复数的概念和复数的四则运算 属于基础题型 3 学校准备从甲 乙 丙三位同学中随机选两位同学参加问卷调查 则甲被选中的概率为 答案 2 3 解析 列举法 甲乙 甲丙 乙丙 甲被选中的概率为 2 3 点评 考察古典概型 属于基础题 2 4 命题 cossin1R 的否定是 命题 填 真 或 假 答案 真 解析 其否定为 R cossin1 为真命题 点评 考察命题的否定 属于基础题型 5 运行如图所示的伪代码 则输出的I的值为 答案 6 解析 0 0SI 0 1SI 1 2SI 3 3SI 6 4SI 10 5SI 15 6SI 输出6i 点评 考查流程图知识点 属于基础题型 6 已知样本7 8 9 x y的平均数是9 且110 xy 则此样本的方差是 答案 2 解析 由 789 9 5 110 xy xy 解得10 11xy 或11 10 xy 则方差 22222 2 79 89 99 109 119 2 5 S 点评 考查平均数及方差的计算 属于基础题型 7 在平面直角坐标系xOy中 若抛物线 2 4yx 上的点P到其焦点的距离为3 则点P到点O的距离为 答案 2 3 解析 设点P为 00 xy 根据抛物线的性质得 0 2 3 2 x 即 2 2 2 P 得 22 2 2 2 2 3OP 点评 考查抛物线的性质 属于基础题型 8 若数列 n a是公差不为 0 的等差数列 125 ln ln lnaaa成等差数列 则 2 1 a a 的值为 答案 3 解析 由 1 lna 2 lna 5 lna成等差数列 0 0 10 1 Print S I While S SSI II EndWhile I 3 得 222 2152152151111 1 2lnlnlnlnln 4 2 aaaaaaaaaada adad 因此 21 11 13 22 3 11 22 ddd aad aa dd 点评 考查数列的基本量计算 属于基础题型 9 在三棱柱 111 ABCABC 中 点P是棱 1 CC上一点 记三棱柱 111 ABCABC 与四棱锥 11 PABB A 的体积分 别为 1 V与 2 V 则 2 1 V V 答案 3 2 解析 设 ABC SaAB 的高为h 三棱柱的高为b 则abhVahbV 3 1 2 1 21 所以 3 2 1 2 V V 点评 考察三棱柱以及棱锥的体积 需要换底 10 设函数 sin 0 0 2 f xx 的图像与y轴交点的纵坐标为 3 2 y轴右侧第一个最低点的 横坐标为 6 则 的值为 答案 7 解析 函数过 2 3 0 3 2 0 2 3 sin 2 3 0 f 由 k xkxx 2 6 5 2 23 1 3 sin 令7 66 7 1 xk 点评 考察正弦定理的最值问题 可以回归基本法 11 已知H是ABC的垂心 三角形三条高所在直线的交点 11 42 AHABAC 则cosBAC 的值为 答案 3 3 解析 设AB上的高为CE ACABACABAH 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 令ADAB 2 1 D为中点 4 ACADAH 2 1 2 1 由三点共线定理可得 CDH 三点共线 所以ED 为同一点 22 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ACADACADADACACADBCAH 而 2 ADACAD 所以 3 3 cos 3 3 22 AC AD BACACADACAD 点评 考察垂心以及三点共线定理 求解数量积的时候需要用到垂影 12 若无穷数列 cos nR 是等差数列 则其前 10 项的和为 答案 10 解析 cosn 为周期函数 又为等差数列 所以只能为常数列 即2k 10 cos1 10nS 点评 偏难 需要了解等差数列的特点以及与余弦函数之间的关系 比较灵活 13 已知集合 16Px y x xy y 集合 12 Qx y kxbykxb 若PQ 则 12 2 1 bb k 的最 小值为 答案 4 解析 根据题意 画出集合P表示的图像 第一象限为圆 第二象限为双曲线 第三象限无图像 第四 象限为双曲线 集合Q表示的图像为两直线间的所有点 所求式表示两直线间的距离 则此距离的最小值 为四分之一圆的切线与与双曲线渐近线之间的距离 正好为四分之一圆的半径4 第一象限 22 16xy 切线方程 4 2yx 第二象限 22 16xy 渐近线方程 yx 第四象限 22 16xy 渐近线方程 yx 点评 本题主要考察数形结合的思想 综合了圆锥曲线方程 圆的方程 线性规划与直线间距离的知 识 总体计算量较小 难度适中 5 14 若对任意实数 1x 都有 2 1 21 x e xax 成立 则实数a的值为 答案 1 2 解析 令 2 21 x e f x xax 则 2 2 211 21 x exax fx xax 1当0a 时 11 2 e f 不合题意 2当0a 时 f x在 1 上单调递增 又 01f 101ff 不合题意 3当0a 时 f x在 21a 上单调递增 在 21 1a 上单调递减 又 10 22 e f a 21 210 22 a e fa a 1a 由题意需有 21 211 22 a e fa a 令 211 1ta 则10 t et 令 1 t tet 则 1 t te t 在 1 0 上单调递减 在 0 1上单调递增 t 在0t 处取得极小值也是最小值 00 0t 故当且仅当0t 即 1 2 a 时满足题意 综上所述 实数a的值为 1 2 点评 本题考查函数恒成立问题 考查数形结合思想 难度较大 二 二 解答解答题 本大题共题 本大题共 6 小题 共小题 共 90 分 分 解答题写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 解答题写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 请把答案请把答案 填写在答题卡相应位置上 填写在答题卡相应位置上 15 本小题满分 14 分 已知ABC 满足sin 2cos 6 BB 1 若 6 cos 3 C 3AC 求AB 6 2 若 0 3 A 4 cos 5 BA 求sin A 解析 1 sin2cos 6 BB 31 sincos2cos 22 BBB 33 sincos0 22 BB 13 3sincos0 22 BB 3sin0 3 B 0 B 2 333 B 0 3 B 3 B 6 cos 3 C 0 C sin0C 2 3 sin1cos 3 CC 由正弦定理 sinsin bc BC 3 sin 3 32 sin3 2 C cb B 2 由 1 得 3 B 0 3 A 0 3 AB sin0AB 4 coscos 5 BAAB 2 3 sin1cos 5 ABAB sinsinAABB 3 1434 33 sincoscossin 5 25210 ABBABB 点评 本题主要考察了正弦定理在三角形中的应用和三角函数角的变换 属于中等难度 16 本小题满分 14 分 如图 长方体 1111 ABCDABC D 已知底面ABCD是正方形 点P是侧棱 1 CC上的一点 1 若 1 AC平面PBD 求 1 PC PC 的值 2 求证 1 BDAP 解析 1 连结AC交BD于点O 连结OP 1 AC平面PBD 1 AC 平面 1 ACC 面 1 ACC面PBDPO 1 ACPO 在 1 ACC 中 1 ACPO O是正方形ABCD对角线的交点 7 AOCO 1 C PCP 1 1 PC PC 2 由 1 正方形ABCD中 BDAC 在长方体 1111 ABCDABC D 中 1 A A 平面ABCD BD 平面ABCD 1 A ABD BDAC 1 A ABD AC 平面 11 A ACC 1 A A 平面 11 A ACC 1 A AACA BD 平面 11 A ACC 1 AP 平面 11 A ACC 1 BDAP 点评 本题主要考查立体几何中直线与平面平行 直线与平面垂直的知识点 第一问直接利用线面平行 的性质定理证明即可 第二问关键在于通过证明线面垂直来证明两直线垂直 需要用到直线于平面垂直的 性质 整体难度中等 17 本小题满分 14 分 如图 是一块半径为4米的圆形铁皮 现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶 具体做法是从O中裁剪 出两块全等的圆形铁皮P与 Q做圆柱的底面 裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面 接缝忽略不计 AB为圆柱的一条母线 点AB 在O上 点P Q 在O的一条直径上 ABPQ P Q分别与 直线BCAD 相切 都与O内切 1 求圆形铁皮P半径的取值范围 8 2 请确定圆形铁皮P与 Q半径的值 使得油桶的体积最大 不取近似值 解析 1 由题意 当 CD落在圆上时 AD 2pr AB 8 4r 8 4r 2 2 pr 2 16 r 16 4 p 2 2 16 0 4 r 2 2 2 2 max 2 84 1612 16 0 0 4 16 4 Vf rrr frrr rfr f xf 点评 本题主要考察函数定义域的求解 圆柱体积的求解和导数极值的简单运用 18 本小题满分 16 分 设椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 的左右焦点分别为 12 F F 离心率是e 动点 00 P xy在椭圆C上运动 当 2 PFx 轴时 00 1 xye 1 求椭圆C的方程 2 延长 12 PF PF分别交椭圆C于点 A B A B不重合 设 1122 AFFP BFF P 求 的最小值 解析 1 由题意可知 c e a 2 PFx 轴 因为 0 1xc 将 0 c y代入椭圆方程得 2 b P c a 则 2 bc aa 则 2222 1 2babc 椭圆方程 2 2 1 2 x y 2 设点 00 P xy 11 A x y 22 B xy 已知点 12 1 0 1 0 FF 由已知 11 AFFP 则有 10 10 1xx yy 代入 2 20 0 1 1 2 x y 得到 0 13 22 x 同理得到 22 BFF P 则 2200 1 1 xyxy 9 则 20 20 1xx yy 则 0 31 22 x 则有 11 6 则有 1112 63 当且仅当时 1 3 时取等号 点评 向量与椭圆结合 运用相关点法 点参法 找到定值 利用基本不等式求最值 计算量不大 在 往年南京模拟考试中涉及到 19 本小题满分 16 分 定义 若无穷数列 n a满足 1nn aa 是公比为q的等比数列 则称数列 n a为 M q数列 设数列 n b中 13 1 7bb 1 若 2 4b 且数列 n b是 M q数列 求数列 n b的通项公式 2 设数列 n b的前n项和为 n S 且 1 1 2 2 nn bSn 请判断数列 n b是否为 M q数列 3 若数列 n b是 2 M数列 是否存在正整数 m n 使得 40394040 20192019 m n b b 若存在 请求出所有 满足条件的正整数 m n 若不满足 请说明理由 解析 1 123 2132 1 4 7 3 3 bbb bbbb 又 1nn bb 是 M q数列 1 3 nn bb 数列 n b是以 1 为首项 3 为公差的等差数列 11 332 n bnn 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 nn nn bSn bSnn 以上两式作差得 1 1 2 2 nnn bbb 10 1 1 11 3 44 1 4 3 1 4 nn n n bb b b 又 1 13 44 b 数列 1 4 n b 是以 3 4 为首项 3 为公比的等比数列 11 131311 3 33 444444 nnn nn bb 1 1 21 1 333 442 3 nnn nn nn nn bb bb bb 数列 n b是 M q数列 3 数列 n b是 2 M数列 3221 2 bbbb 解得 2 3b 1 121 22 nn nn bbbb 由累加法可得 21 n n b 1 1 2 2 211 22 2121 213 44 2121 1 n n nn n n n nn n b b b b mn 原式等价于 403914040 2 2019212019 n 即 2019 212019 2 n 10 11nm 点评 19 题是数列新定义问题 三个小题都是考察数列通项公式的求法 第一小问考察等差数列通项公 式的求法 第二小问考察构造法求数列通项公式 第三题考察累加法求数列通项公式及数列与不等式综 合 属中档难度 11 20 本小题满分 16 分 若函数 xx f xeaemx mR 为奇函数 且 0 xx 时 f x有极小值 0 f x 1 求实数a的值 2 求实数m的取值范围 3 若 0 2 f x e 恒成立 求实数m的取值范围 解析 1 f x是奇函数 10 xxxxxx f xfxeaemxeaemxaee 1a 2 xx f xeemx 设 xx g xfxeem 因为 xx g xee 单调递增 又 00 g 所以 fx在 0 单调递减 在 0 单调递增 故需 min 0 20fxfm 即2m 当2m 时 1 ln 0fm m 所以 0 0 ln xm 使 0 0fx 即 f x在 0 0 x单调递减 在 0 x 单调递增 即函数有极小值 0 f x 所以2 m 3 由 2 得 00 0 0 xx fxeem 00 xx mee 00 000 1 1 xx f xx ex e 令 1 1 xx h xx ex e 0 ln xm 1 0 x x h xxe e h x 在 0 ln m单调递减 又 2 1 h e 0 01x 12 1 2me e 点评 本题考察了函数的奇偶性 极值问题以及恒成立问题 第一小问比较简单 直接利用函数奇函数性质即可求得 第二小问通过极值问题求参数范围 要注意零点存在性定理的应用 最后一小问考察函数恒成立问题 通过构造函数求自变量取值范围从而去求参数的取值范围 有一定难 度 南京市南京市 2020 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 数学附加题数学附加题 2020 01 注意事项 1 附加题供选修物理的考生使用 2 本试卷共 40 分 考试时间 30 分钟 3 答题前 考生务必将自己的姓名 学校写在答题卡上 试题的答案写在答题卡上对应题目的答案 空格内 考试结束后 交回答题卡 21 选做题 在 选做题 在 A B C D 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 题 每小题题 每小题 10 分 共计分 共计 20 分 请在答卷卡指定区域分 请在答卷卡指定区域 内作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 内作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 2 矩阵与变换 已知圆C经矩阵 3 32 a 变换后得到圆 C 22 13xy 求实数a的值 答案 2a 解析 设圆C上点为 x y 变换后为 x y 3 32 a y x y x 3 32 axyx xyy x y 在圆 C 上 22 13xy 22 33213axyxy 即圆C的方程为 222 96121313axaxyy 2 913 612 a a 解得2a 点评 这个题考查了矩阵变换及圆的方程 属于简单题 B 选修 4 4 坐标系与参数方程 13 在极坐标系中 直线cos2 sinm 被曲线4sin 截得的弦为AB 当AB是最长弦时 求实数m 的值 答案 4m 解析 由cos2 sinm 得直线方程为2xym 4sinC 2 4 sin 即 22 4xyy 2 2 24xy 当直线过圆心时截得的弦AB最长 将 0 2代入直线方程得 02 2m 解得4m 点评 这个题考察了把极坐标化成直角坐标 及圆的弦长问题属于简单题 22 本小题满分 10 分 如图 11 AA BB是圆柱的两条母线 11 ABAB 分别经过上下底面圆的圆心 1 OO CD 是下底面与AB垂直的 直径 2 CD 1 若 1 3AA 求异面直线 1 AC与 1 B D所成角的余弦值 2 若二面角 11 ACDB 的大小为 3 求母线 1 AA的长 答案 1 7 11 2 3 解析 1 由题意得圆半径 1r 连 1 OO 以OD为x轴 OB为y轴 1 OO为z轴 建立空间直角坐标系 Oxyz 则 11 1 0 0 0 1 3 0 1 3 1 0 0 DBAC 则 11 1 1 3 1 1 3ACB D 11 1 1