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第十五讲 投影矩阵与Moore-Penrose逆一、投影算子与投影矩阵设L，M为的子空间并构成直和.即，唯一的使x=y+z称y为x沿着M到L的投影。1. 定义：将任意变为其沿着M到L的投影的变换称为沿着M到L的投影算子，记为即,投影算子是线性变换，其矩阵称为投影矩阵,仍记为。2. 充要条件 引理：设n阶方阵E为幂等矩阵，则证明： 即，则定理：n阶方阵P成为投影矩阵的充要条件是P为幂等矩阵。证明：充分性。若 确为投影矩阵，下面证之 一方面，因 3. 投影矩阵的构造 设已知的子空间L、M构成直和,下面构造。 取L的一个基(设L为r维子空间)，M的一个基（则M的维数为n-r）。由直和关系知即构成的一个基。故，如令，则X Y为可逆方阵。另一方面 即 可见，的秩为r（）二、正交投影算子与正交投影矩阵L为的子空间，其正交补空间（无特别声明取）1. 定义：设L是的子空间，则称沿着到L的投影算子为正交投影算子，简记为。正交投影算子的矩阵称为正交投影矩阵，仍记为。2. 充要条件：n阶方阵P为正交投影矩阵的充要条件是P为幂等的厄米矩阵。 证明：首先证明两个引理:（1）对n阶方阵A，均有则A=0，（2）N（）=(1)证明：设A=则 另一方面，设所以 N（）=现在证明该充要条件。充分性：必要性：，为厄米矩阵。幂等已由上一定理得知。3. 正交投影矩阵的构造设L的一个基为，的一个基为。则令， 则三、投影矩阵与广义逆矩阵Moore定义：设则X为A的Moore广义逆
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