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文档简介

最速下降法与共轭梯度法1. 最速下降法当方程组 Ax = b (1)中的A为对称正定矩阵时，方程组Ax=b的解正好是二次函数 (2)的唯一极小值点。求解方程组(1)的问题等价与求 (3)问题。求解问题(3)的最简单的方法是所谓最速下降法，即从某个初始点x(0) 出发，沿(x)在点x(0) 处的负梯度方向 (4)(称为搜索方向)求得(x)的极小值点x(1) , 即 (5)然后从x(1) 出发，重复上面的过程得到x(2) 。如此下去,得到序列x(k) (6)可以证明，从任一初始点x(0) 出发， 用最速下降法所得到的序列x(k) 均收敛于问题(3)的解，也就是方程组(1)的解。其收敛速度取决于 其中1 ,n 分别为A的最小,最大特征值。最速下降法迭代格式：给定初值x(0) ,x(k) 按如下方法决定 例8 用最速下降法求解对称正定方程组解：过程如图所示。2. 共轭梯度法共轭梯度法简称CG(Conjugate Gradient),其基本步骤是在点x(k) 处选取搜索方向d(k) , 使其与前一次的搜索方向d(k-1) 关于A共轭，即 = 0 k=1,2, (7)然后从点x(k) 出发，沿方向d(k) 求得(x)的极小值点x(k+1) , 即 (8)如此下去, 得到序列x(k) 。不难求得(7)的解为 注意到d(k) 的选取不唯一，我们可取d(k) = -(x(k) )+k-1 d(k-1) ,由共轭的定义(7)可得 共轭梯度法的计算过程如下：第一步：去初始向量x(0) , 计算 第k+1步(k=1,2,)：计算 例8 用共轭梯度法求解对称正定方程组 解 迭代过程如
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